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Distribuciones de probabilidad de variable discreta
Es el caso en el que la variable toma unos cuantos valores aislados, por ejemplo, la variable
«número obtenido» al lanzar un dado toma los valores 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Si la variable (X) es
«número de caras» al lanzar tres monedas, los posibles valores (xi) son 0, 1, 2 y 3.
Cuando realizamos repetidamente el experimento, observamos la frecuencia de los resultados y
anotamos las frecuencias relativas de los valores de la variable, estamos ante una distribución
estadística. Las distribuciones de probabilidad, son una idealización de las distribuciones
estadísticas y lo que hacemos es asignar a cada valor de la variable su probabilidad (pi).
Ambas distribuciones se representan mediante diagramas de barras. Las primeras son empíricas y
éstas son teóricas.
Una distribución de probabilidad de variable discreta es el resultado de asignar a cada valor de la
variable su probabilidad. xi → pi . Con 0 ≤ pi ≤ 1 y con ∑pi =1, es decir, la suma de todos los pi es
uno.
Ejemplos: Veamos la distribución «número obtenido» al lanzar un dado:
0,2
xi
pi
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
0,1
0
1
2
3
4
5
6
«Número de caras al lanzar tres monedas»:
0,4
xi
pi
0
1
2
3
1/8
3/8
3/8
1/8
0,3
0,2
0,1
0
0
1
2
3
Parámetros en una distribución de probabilidad discreta.
Ver la analogía con los parámetros estadísticos en la p. 248 del libro.
Ejemplo: calculamos los parámetros de la distribución «número de caras al lanzar tres monedas:
xi
pi
pi xi
pi xi 2
0
0,125
0
0
1
0,375
0,375
0,375
2
0,375
0,75
1,5
3
0,125
0,375
1,125
1
1,5
3
μ = ∑ pi xi = 1,5
σ2 = ∑ pi xi2 - μ2 = 3 – (1,5)2
σ = √0,75 = 0,866
Mirad los ejercicios resueltos y practicad con los ejercicios 1, 2 y 3 de la página 377 .
Distribución binomial
Es una distribución que corresponde a experimentos que sólo toman dos sucesos, a uno lo llamamos
éxito, y le asignamos una probabilidad p, y a su contrario, le asignamos la probabilidad q = 1 – p.
También se llaman experimentos de Bernoulli, por el matemático que lo estudió (biografía).
El ejemplo más usado es el lanzamiento de una moneda, que tiene dos sucesos cara y cruz. Si la
moneda está equilibrada, las probabilidades de ambos es 0,5. Hay otros ejemplos como el que se
explica en el libro en la p. 378, en el que los sucesos no tienen la misma probabilidad.
Lo interesante de esta distribución es que nos permite trabajar con la repetición del experimento, es
decir, con pruebas compuestas, que siempre son independientes (ver p. 358 sobre pruebas
independientes). Así, la distribución binomial nos permite responder a preguntas como: ¿cuál es la
probabilidad de obtener 2 caras al lanzar 3 monedas?
Si repetimos n veces un experimento de Bernoulli con probabilidad de éxito igual a p, la
distribución binomial se representa B(n, p). De este modo la distribución que corresponde a tres
lanzamientos de una moneda es B(3, 0,5) (observar que es lo mismo que lanzar tres monedas
debido a la independencia de las pruebas).
En este tipo de experimentos decimos que la variable X sigue una distribución B(n, p). Nos
preguntamos por la probabilidad de obtener k éxitos, que se expresa P(X=k). Para esto tenemos una
valiosa fórmula:
()
P(X=k)= n pk · qn−k
k
La expresión
( nk )
se denomina número combinatorio o binomial y se lee «n sobre k». En
realidad es una operación:
Por ejemplo:
n = n· (n−1)· ...·(n−k+1)
k · (k−1)· ...· 2· 1
k
()
12 = 12· 11· 10 · 9 = 11880 =495
4 · 3· 2·1
24
4
( )
Siguiendo el ejemplo del lanzamiento de tres monedas, vamos a calcular con esta fórmula la
probabilidad de obtener dos caras, que ya sabemos que es 3/8= 0,375.
3
P(X=2)= 3 0,5 2 · 0,53−2= · 0,5 3 =3· 0,125=0,375
1
2
( )
Los parámetros de la distribución binomial B(n, p) son (nos ahorramos los cálculos y las
demostraciones):
μ = np
σ =√npq
Mirar el ejercicio resuelto de la p. 379 y practica con los ejercicios propuestos 1 y 2 de la
misma página.
Una curiosidad relacionada con la distribución binomial es el aparato de Galton. Es una superficie
vertical en la que se distribuyen unos topes y en la parte inferior se disponen unos casilleros. El
experimento consiste en dejar caer bolitas por la superficie. Al encontrarse con un tope, cada bola
seguirá cayendo a la derecha o a la izquierda del tope. Si tiene una determinada probabilidad, p, de
seguir cayendo a la derecha, tendrá una probabilidad q = 1 – p de caer a la izquierda del tope. El
aparato está dispuesto de forma que cada bolita siempre se encuentra a lo largo de su camino con un
número determinado, n, de topes.
De esta manera una bola va encontrando distintos topes, tirando a derecha o a izquierda hasta caer
finalmente en uno de los casilleros de la parte inferior.
Si dejamos caer muchas bolitas y observamos de qué forma se colocan en los casilleros vemos que
la forma final se asemeja mucho al diagrama de barras de una distribución binomial B(n,p)
Observamos que la cantidad de casilleros necesarios para recoger todas las bolitas es uno más que la
cantidad de topes que ha de encontrarse la bola en su caída. Es análogo al lanzamiento de monedas:
si tiramos n veces una moneda, el «número de caras» puede tomar los valores del 0 a n, en total n+1
diferentes resultados.
Os dejo una enlace a una simulación de un aparato de Galton (nos ahorramos construirlo) en el que
se puede elegir el valor de p y la cantidad de casilleros (aquí llamados bins en inglés, contenedores).
Además pinchando en cada casillero, obtenemos la información detallada de la distribución.
Ejercicios y problemas recomendados:
1, 2, 5, 8, 9, 10 , 11 y 12 página 392.
Estudiar antes los ejercicios resueltos 1, 2, 3 y 4 de las páginas 388-389.