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Tópicos de Álgebra
Agosto 2015
Laboratorio # 1 Algebra de Matrices
I.- Calcular las operaciones indicadas, dadas las siguientes matrices:
−2 4
0
0
2
−1
−4 −3 5
3 2
3 1
a) ( 2 −4 1 ) b) ( 1 −5 −8) c) ( 4
)
d)
(
)
e)
(
)
1
1 ) f) (
5 4
−5 2
6 −3 −1
−2 −1
1
0
6 −7
1) 3𝐴 + 2𝐵
2) 𝐷𝐶
3) 𝐵𝐹 + 𝐸
4) 𝐴𝑡 𝐶 𝑡
5) 𝐷 − 𝐹
6) (𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 )𝐶
7) 2𝐹 𝑡 − 𝐴𝑡
II.- Hallar la matriz “X” tal que:
1) 𝑋 − 𝑆𝐴 = 𝐵
2) 𝑆𝐴 + 3𝑋 = 𝐵
Siendo
−2 3 2
𝐴 = ( 2 −1 1),
−1 −1 0
−1 4 0
𝐵 = ( 0 2 6)
−3 0 2
III.- Hallar la inversa de la siguiente matriz mediante la definición
−1 1
𝐴= (
)
3 −2
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Laboratorio # 2 Formas Reducidas
I.- Obtener la Forma Reducida Inferior (FRI) y Forma Reducida en Escalón (FRE) de las siguientes
matrices.
2 −1
3 −2
1)𝐴 = (
)
3 −1
3 7
2
2)𝐷 = (2
1
2 3
3)𝐵 = (2 1
1 1
1
2
2
0
3
1 ) 4)𝐸 = (
2
−1 −2
4
−1
5)
1
6 2
5)𝐶 = (3 3
4 6
3
1 2
1 2
11 −5 3
) 6)𝐹 = (2 4
−5 3 1
3 6
1
1 5
1 4
1 5)
3 5
−1 2 1
1 −2 3)
2 −6 5
II.- Hallar la inversa, si existe, de la matriz dada, utilizando transformaciones elementales.
2
1) 𝐷 = (3
3
−1 3
−2 7)
−1 2
2 0 4
2) 𝐶 = (0 1 1)
3 −1 1
1 1 1
3) 𝐵 = (0 2 3)
5 5 1
5 −2
−1 4
4) 𝐴 = (
3 −1
1
3
0
−1
6
4
3
2
)
0
1
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Laboratorio # 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales
I.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales dado, mediante el método indicado.
1)
𝑥 + 𝑦 + 𝑤 + 𝑧 = 11
𝑥 − 𝑤 + 3𝑧 = 14
2𝑥 + 2𝑦 − 3𝑤 = 2
𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = −4
Gauss
2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −10
3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = −9
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 19
Gauss-Jordan
2)
3)
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −6
𝑥+𝑦+𝑧 =6
𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = −8
Inverso de la matriz de coeficientes
4)
𝑥 − 2𝑧 = 12
−𝑦 + 𝑧 = 7
𝑥 + 3𝑦 = −4
Gauss
5)
4𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 0
2𝑥 − 4𝑦 − 3𝑧 = 0
6𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
Cualquier método
𝑥−𝑦−𝑧 =0
8𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 0
4𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
Cualquier método
6)
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Laboratorio # 4 Determinantes
I.-Usar el desarrollo de Laplace para evaluar las siguientes determinantes
−7 3 −8
a) | 2 −3 5 |
1 −4 2
4
b) |0
1
3 0
−2 1|
−1 4
4 −2 −6 2
−5 3
7 −6
c) |
|
−1 5
6 −2
1 −2 −4 7
II.-Resolver para x
𝑥
d) |1
3
−1
2
𝑥
4 | = −7
−2 𝑥 − 1
−𝑥
e) |1 − 𝑥
2
f)
𝑥
|𝑥 − 1
3
2
1
−1 𝑥 − 2| = −11
3
4
2 6
1 5| = 18
−2 𝑥
III.-Justifica las ecuaciones siguientes
2
g) |3
0
2
4
2
0
7 | = 3 |3
−1 −2
0
2
h) |1
3
−1 1
0 1| = 0
−1 2
i)
1 1
2| 4 3
−5 0
6
4
0
7|
−3 −2
6
2
1 6
7 |=| 8
3 7|
−8
−10 0 −8
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Laboratorio # 5 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales por
Determinantes
I.- Resolver el sistema dado por el método indicado.
1) 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 6
2𝑦 − 𝑧 = 2
𝐶𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟
−𝑥 + 𝑦 = 2
2) 6𝑧 − 10𝑤 = 9 − 3𝑥
−4𝑦 + 6𝑤 = 2 − 2𝑧
𝐶𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟
𝑥 − 2𝑦 + 8𝑧 = 10
2𝑥 − 6𝑤 − 6𝑦 = −12
3) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
−𝑦 + 2𝑧 = 8
𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎
𝑥 + 4𝑧 = −4
4) 2𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 4
−5𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 6
𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎
−5𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 2
5) 8𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 12
𝑥+𝑧 =2
𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎
4𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 6
6) 4𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 6𝑤 = 0
𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 − 10𝑤 = 0
𝐸𝑙𝑒𝑔𝑖𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜
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2𝑥 − 4𝑦 + 6𝑧 + 2𝑤 = 0
6𝑥 − 2𝑧 + 6𝑤 = 0
7) 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 𝑤 = 6
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 2𝑤 = 0
𝐸𝑙𝑒𝑔𝑖𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜
−2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 + 3𝑤 = 7
𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 − 2𝑤 = −2
II.- Determina los valores de 𝑘 tales que el sistema dado tenga:
a) Solución única
b) Ninguna solución
c) Una infinidad de soluciones
1) 𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 2
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
2) 𝑥 − 𝑦𝑘 = 3
2𝑥 − 2𝑦 = 𝑘
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Laboratorio # 6 Fracciones Parciales
I.-Indicar la descomposición en fracciones parciales de las fracciones siguientes.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
II.
𝑥+34
𝑥 2 −4𝑥−12
4𝑥 2 −15𝑥−1
(𝑥−1)2 (𝑥−3)
19𝑥 2 +50𝑥−25
3𝑥 3 −5𝑥 5
2𝑥 2 −𝑥
(𝑥−1)2 (𝑥+1)2
5𝑥 2 +8𝑦+5
(𝑥−1)(𝑥 2 +1)
5𝑦 2 +8𝑦+5
𝑦 3 +3𝑦 2 +3𝑦+2
𝑢5 +4𝑢4 −15𝑢3 −14𝑢2 +𝑢+24
(𝑢−2)2 (𝑢+1)3
Descomponer en sus fracciones parciales simples la fracción dada
1)
2)
3)
4)
5)
2𝑦 4 −4𝑦 2 −𝑦+2
(𝑦 2 −𝑦)2
𝑥 2 −4𝑥−4
𝑥 3 −2𝑥 2 +4𝑥−8
9𝑔3 +16𝑔2 +3𝑔−10
𝑔4 +5𝑔3
𝑝3 −𝑝2
𝑝4 +2𝑝2 +1
4ℎ3 −8ℎ2 −10ℎ+30
2ℎ2 +ℎ+6
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Laboratorio # 7 Logaritmos
I.- Expresar el logaritmo dado es términos de logaritmos más simples.
5
1) log 𝑎 √
2)
𝑥2𝑦
𝑧
1
log 𝑥 3 𝑦
2
3
3) log √
𝑥 2 (𝑥 + 2)
(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 3)
(𝑥 2 − 4)
4) log √
√𝑥 2 + 5
5) log
(𝑥 − 7)(𝑥 2 )
√(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1)3
II.- Expresar como un solo logaritmo
1) 4𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑥 + ln(𝑥 2 + 2)
1
2) 2𝑙𝑛𝑥 2 − 𝑙𝑛√𝑥 + ln(𝑥 + 1) − 8𝑙𝑛3
2
1
3) 𝑙𝑛𝑥 2 + 7𝑙𝑛𝑦 3 + 𝑙𝑛𝑧
3
4) 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦 + 70𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛8
5)
3
1
log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 − 8 log 𝑎 𝑥
5
2
6) 2𝑙𝑛𝑥 − ln(𝑥 + 1) − ln(𝑥 + 1) + 3𝑙𝑛𝑥 + 2𝑙𝑛𝑦 − 4𝑙𝑛𝑧
III.- Expresa "𝑥" en terminos de "𝑦".
1) ln(20 − 𝑥 2 ) = 𝑦 + 𝑙𝑛30
log 2 (𝑥 2 𝑦) = 8 log 2
5𝑥
2) 𝑦 = 𝑥
5 +1
3) log 3 (𝑥𝑦) = 3 log 3
4)
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
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Laboratorio #8 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas
I.-Resuelve las siguientes ecuaciones.
1) 7𝑥+2 = 3
2) 3𝑥+4 = 6𝑥
3) 5𝑥 = 2𝑥+5
2
4) 7𝑥 = 73𝑥+4
5) log(𝑟 + 2) = log(3𝑟 − 1)
6) log(𝑥 − 5) + log(3) = log(2𝑥)
7) log(2𝑎) = log(1 − 𝑎)
8) log 4 (𝑥) + log 4(6𝑥 − 7) = log 4 5
9) log 7 (𝑥 + 6) − log 7(𝑥 − 3) = log 7 4
10) log 8 (𝑥) = 4 log 8 (2) − log 8 (8)
11) 2 log 2 𝑥 = 4
12) 2 log(𝑥) − log(9) = 2
13) 𝑒 2𝑥 − 𝑒 𝑥 − 9 + 9𝑒 −𝑥 = 0
14) 𝑒 3𝑥 − 4𝑒 2𝑥 + 3𝑒 𝑥 − 12 = 0
15) 𝑒 3𝑥 − 2𝑒 2𝑥 + 2𝑒 𝑥 − 4 = 0
16) 20𝑒 4𝑥 − 60𝑒 2𝑥 − 200 = 0
17) 𝑒 2𝑥 − 6𝑒 𝑥 + 1 − 6𝑒 −𝑥 = 0
18) 14𝑒 2𝑥 + 28𝑒 𝑥 − 112 = 0
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Laboratorio # 9 Permutaciones y Combinaciones
I.- Simplifica la expresión dada
1)
8!
4!
2)
12!
6!∙4!
3)
9!
4!+5!
4)
6!∙7!
5!
5)
3!+4!
3!
II.-Halle “n”o “r” si
1) 𝑃(𝑛, 5) = 6 ∙ 𝑃(𝑛, 3)
2) P(n, 3) = 5 ∙ P(n − 1,2)
3) 3 ∙ C(4, r) = 4 ∙ C(3, r)
4) 12 ∙ P(7, r) = 5 ∙ P(9, r)
III.-Resuelva
1) Se tienen 6 puntos coplanares de manera que 4 de ellos si son colineales.
Determinar:
a. El número de rectas que pueden trazarse
b. El número de triángulos que pueden formarse
2) Un comerciante dispone de 4 latas idénticas de sopa de tomate, 3 latas idénticas de
sopa de elote, 2 latas idénticas de champiñones y 4 latas idénticas de apio. En
cuantas formas diferentes se puede exhibir las 10 latas?
3)
De cuantas formas se pueden hacer combinaciones de letras y dígitos en 4 espacios.
Sabiendo que el primer espacio es una letra (cualquiera del alfabeto) y los otros 3
espacios un digito?
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4) Encuentre el número de permutaciones diferentes que pueden formarse con la
palabra UANLFCFM tomadas todas a la vez
5) De cuantos modos se puede escoger un comité que está conformado por 1
presidente, 10 diputados, 10 senadores y 1 secretario si se elige entre 5 presidentes,
20 diputados, 30 senadores y 4 secretarios?
6) Cuantos números mayores a 4,500 de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 2, 3,
6, 8 sin repetir ningún digito?
7) De cuantos modos se pueden elegir 5 libros que traten de la misma materia entre 7
libros de matemáticas y 6 de física?
8) De cuantos modos se puede formar un grupo de 2 líderes y 8 trabajadores si se
eligen de un grupo de 10 líderes y 40 trabajadores?
9) De cuantas maneras puede formarse un estante con 3 libros de matemáticas, 4 de
algebra, 5 de geometría y 2 de física, de manera que los libros de la misma materia
permanezcan juntos (cada libro tiene diferente editorial)
10) De cuantas maneras se pueden elegir 6 pantalones del mismo material entre 10 de
mezclilla y 12 de algodón?
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Laboratorio # 10 Probabilidad
1) Se saca una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 3 bolas azules y 1 negra.
1. Si se devuelve la bola o la caja y se saca una segunda, ¿Cuál es la probabilidad de
que ambos sean rojas?
2. Si no se devuelve la bola a la caja y se saca una segunda. ¿Cuál es la probabilidad
de que una sea roja y una negra?
3. En este mismo caso. ¿Cuál es la probabilidad de que una sea roja y una azul?
2) Si se sacan 3 cartas de una baraja de naipes. Cuál es la probabilidad de que salgan:
1. Las 3 sean del mismo palo.
2. 2 sean reinas y 1 rey.
3. Al menos 1 corazón, 1 rey o diamante.
3) Encuentra la probabilidad de que en 4 tiros de un dado salgan:
1.
2.
3.
4.
4 tres.
Ningún 2.
2 cincos.
La suma sea mayor a 4.
4) Una bolsa contiene 5 bolas blancas, 3 negras y 2 rojas. Se sacan 3 al azar. Calcular la
probabilidad de que:
1. Las 3 sean negras.
2. 2 sean negras y una roja.
5) Calcular la probabilidad de obtener una suma de 8 en un lanzamiento de 2 dados.
6) Calcular la probabilidad de obtener una suma de 8 en un lanzamiento de 3 dados.
7) Se escoge un comité de 5 personas entre un grupo de 7 abogados, 3 ingenieros y 4
doctores. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los del comité sean de la misma
profesión?
8) Una bolsa contiene 8 pelotas negras y 3 blancas. Si se sacan 2 pelotas. Calcular la
probabilidad de que ninguna sea blanca.
1
9) Un señor compra un boleto para una rifa y su probabilidad de ganar es 100. Una señora
compra 3 boletos para participar en la misma rifa. Encuentre la probabilidad de que
ninguno de los dos gane. (Solo hay un ganador por rifa).
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Laboratorio # 11 Sucesiones
I.- Escribir los 8 primeros términos de la sucesión dada.
1)
2)
3)
4)
II. Establecer la ley de formación de las sucesiones dadas
1)
2/9, 5/13, 8/17, 11/21, 14/25, ...
2)
1/2, 4/3, 9/4, 16/5, 25/6, ...
3)
4)
III. Evaluar el Límite indicado.
1.-
2.-
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Laboratorio # 12 Series
I.- Determinar si la serie dada es convergente o divergente. Justifique su respuesta.
1)
6)
2)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
II.- Halle el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias.
1)
2)
3)
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