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1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI 2002-03
2º E.S.O.
SOLUCIONES a los problemas de la 1ª FASE
1.- Los números a partir del 1 se colocan en cuatro columnas como se muestra en la
figura.
¿En qué columna y en qué fila
Fila
Columnas
aparecerá el 2003?
A
B
C
D
1
1
2
3
4
2
8
7
6
5
3
9
10 11
12
4
16
15 14
13
5
17
...
Sol: Fila 501, Columna C.
Las estrategias pueden ser variadas. Basta observar que 2003=500*4 + 3
2.- Un número capicúa es el que es igual leído de izquierda a derecha o de derecha a
izquierda. Por ejemplo 2002 es un número capicúa.
¿ Cuántos números capicúas hay entre el 1 y el 10.000?
Sol: 189. Hay 9 de dos cifras, 90 de tres cifras y 90 de cuatro cifras
3.- Se tienen 9 bolas semejantes en apariencia, pero una es un poco más pesada que el
resto. Si sólo disponemos de una báscula de 2 brazos, ¿cuál es el menor número de
pesadas que necesitaremos para identificar la bola más pesada?
¿Y si tuviésemos 27 bolas? ¿ y 81?.¿Puedes generalizar?
Sol: Con 2 pesadas es suficiente. Se separan las bolas en tres grupo de tres y se
ponen en cada platillo dos de estos grupos. De esta forma sabemos en qué grupo de
tres está la bola más pesada. Poniendo ahora en cada platillo una bola de este grupo
tenemos la solución.
Para 27 bolas el problema es análogo: basta con 3 pesadas, haciendo tres grupos de
9 bolas. En general, si tengo n bolas necesitaré m pesadas, cumpliendo m:
3n-1 <m ≤ 3n
4.- En la figura inferior aparece un cuadrado de lado unidad en el que se inscriben
primero un círculo, luego 4, 9 y, finalmente, 16. Calcular, en cada caso, la relación
entre el área del cuadrado y la suma de todas la áreas de los círculos inscritos. ¿Cuál
sería esa relación para el caso de 10x10 círculos inscritos? ¿Por qué?
Solución: Observar que la suma de las áreas de los círculos inscritos es siempre
constante e igual a π/4.
5.- ¿Cuántos cuadrados puedes contar en la figura de abajo?
Tomando como referencia el cuadrado
más pequeño, a cuyo lado le damos el
valor de 1 unidad, nos aparecen los
cuadrados cuyos lados medirán 1, 2, 4,
6 y 8.
De 1: 16 cuadrados
De 2: 20 cuadrados
De 4: 9 cuadrados
De 6: 4 cuadrados
De 8: 1 cuadrado
TOTAL: 50 cuadrados.
(Valorar la estrategia de recuento)