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CC Nª Sª del Prado. Informe­Resumen “yass”.
1er CONCURSO REGIONAL DE
PROYECTOS DE CIENCIAS
MUSEO DE LAS CIENCIAS DE CASTILLA-LA MANCHA
Modelo informe-resumen
DATOS:
Proyecto: “Yass”: El problema de los N-cuerpos desde
la perspectiva de la E.S.
Tutor/a: Rafael Eduardo Gabaldón Pacheco.
Centro: CC. Nª Sª del Prado.
Curso: 2º Bachillerato.
Localidad y Provincia: Ciudad Real.
Fotografía del equipo:
CC Nª Sª del Prado. Informe­Resumen “yass”.
ABSTRACT:
Como es bien sabido el problema de los N-cuerpos carece de solución analítica y
ha de resolverse desde el campo del cálculo numérico. En Enseñanza Secundaria resulta
factible utilizar lenguajes de alto nivel, fáciles de programar, para establecer modelos
sencillos de movimientos orbitales y poner a prueba tanto la segunda Ley de Newton
como las leyes del movimiento de Galileo aplicadas al movimiento planetario. Las
características del procesador se tornan determinantes para obtener resultados precisos
en un tiempo prudente. A cambio, la flexibilidad del programa desarrollado permitirá
realizar un estudio didáctico e interactivo del movimiento planetario.
It's well known the N-bodies problem hasn't an analitic solution and it's necessary to solve
it from the point of vew ot the numeric computation. Secondary school students can use easy
high-level programing languages to set up simple models about orbital motion and prove the
Newton's second law and the Galileo's motion laws applied to planetary motion. The processor
features are fundamental to get precise results in a short time. By other hand, the flexibility of
these programs allows theoretical and interactive studies about planetary motion.
CC Nª Sª del Prado. Informe­Resumen “yass”.
I- INTRODUCCIÓN.
EL PROBLEMA:
La Mecánica celeste tiene por objeto el estudio de los movimientos de los
cuerpos bajo influencia de las fuerzas
gravitatorias que ejercen sobre él otros
cuerpos celestes: el movimiento de 2 cuerpos aislados (problema de Kepler), el
movimiento de los planetas alrededor del Sol, de sus satélites y el cálculo de las
órbitas de planetas, cometas y asteroides. En todos los casos se aplican los principios
de la Mecánica Clásica (Ley de la Gravitación Universal de I. Newton).
El cálculo de la órbita en el caso de dos cuerpos aislados (problema de los 2Cuerpos), por ejemplo el Sol y la Tierra, supone encontrar la posición en un momento
posterior, conociendo previamente la posición y velocidad de la Tierra en un momento
inicial, y está totalmente resuelto, es decir, hay un conjunto de fórmulas que
permiten hacer dicho cálculo. Desgraciadamente, si el número de cuerpos
implicados es 3 ó más, el problema no está resuelto analíticamente, es decir,
salvo gracias a determinadas simplificaciones, la Mecánica Clásica no dispone de un
conjunto de fórmulas que proporcionen la posición y la velocidad en cualquier t
de cada uno de los N cuerpos, dadas sus masas, posiciones y velocidades
iniciales en un instante anterior.
OBJETIVO:
Ante todo establecer un modelo de movimiento orbital
que nos permita,
mediante las leyes del movimiento de Galileo y de las de la Dinámica de Newton
que conocemos de los cursos de Bachillerato, obtener una descripción numérica
precisa de cualquier órbita planetaria, a partir de la cual se puedan deducir sus
parámetros orbitales keplearianos: el periodo orbital(T), el semieje mayor de la
elipse(a), el perihelio(q) y el afelio y la excentricidad(e).
Para ello hemos partido de las siguientes...:
HIPÓTESIS:
●
Las Leyes de la Dinámica de Newton, sobre todo la 2ª y la 3ª Ley que
hemos aplicado profusamente, son factibles de aplicación en el movimiento
planetario.
●
Una órbita planetaria cuasicircular (las excentricidades de las órbitas
planetarias son casi cero) puede describirse como una sucesión “infinita” de
tramos
infinitesimales
en
los
que
las
ecuaciones
del
movimiento
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rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) establecidas por Galileo son
igualmente factibles de aplicación.
Hay que tener en cuenta que un planeta como la Tierra, por ejemplo, tiene
una aceleración centrípeta orbital que, aunque ligeramente variable, se puede
estimar en 6x10-3 m/s2, lo que da idea del “lento” cambio de dirección y sentido
que experimenta su vector velocidad y del “carácter lineal”, por tanto, del
movimiento en tramos suficientemente cortos respecto al total de la órbita.
●
El sol constituye un sistema de referencia inercial (SRI). Con el 99,9%
de la masa total del sistema solar, la influencia gravitatoria del resto de
planetas y demás cuerpos que lo componen sobre él se considera nula.
●
Por último, partimos de la hipótesis de que con lo que sabemos hasta
ahora de Física y Matemáticas, nos era posible abordar un problema real
de la envergadura del movimiento planetario considerado como un
problema de N-cuerpos y encontrar una solución aceptable y coherente
con nuestros conocimientos.
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II- METODOLOGÍA.
DISEÑO EXPERIMENTAL:
Una vez decidido el trabajo de investigación que se iba a realizar en torno al
problema de los N-cuerpos, se modelizó el movimiento planetario como una
sucesión “infinita” de tramos infinitesimales rectilíneos en los que se aplicarían
las leyes del movimiento de Galileo, a partir de unas condiciones iniciales de
posición y velocidad dadas y de la aceleración que proporcionase la 2ª Ley de
Newton.
Por supuesto, la 2ª Ley de Newton tenía en cuenta la interacción mutua de
todos los planetas entre sí tomando como sistema de referencia el sol. Así por
ejemplo, para el planeta i se tendrá:
∑ F ji = ∑ −G
m i · m j · rij 
2
r ij
= ∑ −G
mi · m j · 
r
3
r ij
= mi · ai
donde rij (i≠j) es la posición del planeta i respecto al planeta j, incluido el sol (j=0).
Por tanto, las ecuaciones del movimiento para cada tramo rectilíneo del
planeta i alrededor de su órbita serán las ecuaciones de Galileo:
2
rf =ro vo ·  t1/2· a0 ·  t y
vf =voa0 ·  t
siendo ∆t (sg) el factor de precisión en el trazado de la órbita. Cuanto menor
sea ∆t, mayor es el grado de confianza de la hipótesis de que

a sea constante
en dicho tramo y el movimiento es MRUA.
MATERIAL:
●
El intérprete de Python v. 2.4 y el compilador de C (ANSI 89).
●
El programa gráfico de tratamiento de datos “Origin” v. 7.0 y
OpenOffice v. 2.0. para sistemas GNU/Linux.
●
●
Los ordenadores donde ha corrido nuestro programa:
●
Intel Centrino, 1,6 GHz.
●
Intel P4, 3GHz.
●
G4 PowerPC, 1,4 GHz.
Y, por supuesto, las Leyes de la Dinámica de Newton y del movimiento
de Galileo (MRUA).
PROCEDIMIENTO:
Nuestro programa se llama “yass” (Yet Another Solar System) y para que viese la
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luz recurrimos al lenguaje de programación Python, el cual reúne una serie de
condiciones excelentes para la programación... Sin embargo, Python presenta un
inconveniente:
se trata de un lenguaje de programación interpretado. Esto
significaba que para realizar cálculos numéricos masivos como era el caso, los
tiempos de ejecución eran desproporcionados a medida que disminuíamos el
factor de precisión ∆t....
Véase el Anexo II- Diagrama de flujo de “Yass” como ilustración de su
funcionamiento.
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III- PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Y DISCUSIÓN.
A continuación se incluyen las tablas correspondientes a los diferentes
planetas del Sistema Solar con los valores medios de sus parámetros orbitales
keplerianos para los diferentes factores de precisión ∆t.
Cada fila corresponde a cada una de las 5 vueltas que describió el planeta
alrededor del sol:
Tabla III.1- Parámetros Orbitales keplerianos de la Tierra. Valores medios.
∆t(s)
1,0E+04
1,0E+03
1,0E+02
1,0E+01
1,0E+00
T(d)
365,277778
365,277778
365,162037
365,277778
a(AU)
0,999829
0,999801
0,999727
0,999746
Perh(AU)
0,983779
0,983698
0,999727
0,983048
Afe(AU)
1,016010
1,016041
1,016347
1,016647
e
0,016184
0,016243
0,016626
0,016906
365,277778
365,254630
365,173611
365,150463
0,999737
0,999768
0,999829
0,999801
0,982731
0,986597
0,983779
0,983698
1,016986
1,016406
1,016010
1,016041
0,017253
0,016642
0,016184
0,016243
365,127315
365,150463
365,162037
365,152778
0,999735
0,999762
0,999759
0,999777
0,983452
0,983241
0,982922
0,983419
1,016181
1,016481
1,016820
1,016306
0,016450
0,016723
0,017065
0,016533
365,162037
365,144676
365,114583
365,140046
0,999829
0,999802
0,999907
0,999764
0,983795
0,983716
0,983470
0,983260
1,015992
1,016022
1,016164
1,016465
0,016166
0,016224
0,016432
0,016705
365,149306
365,142130
365,160301
365,144444
365,113426
365,138889
365,148495
365,141111
365,160243
365,144317
365,113380
365,138750
365,148414
365,141021
0,999761
0,999813
0,999829
0,999802
0,999737
0,999764
0,999761
0,999779
0,999829
0,999802
0,999737
0,999764
0,999761
0,999779
0,982940
0,983436
0,983797
0,983718
0,983471
0,983262
0,982942
0,983438
0,983797
0,983718
0,983472
0,983262
0,982943
0,983438
1,016803
1,016289
1,015990
1,016020
1,016163
1,016464
1,016802
1,016288
1,015990
1,016020
1,016163
1,016464
1,016801
1,016288
0,017047
0,016515
0,016164
0,016222
0,016431
0,016703
0,017045
0,016513
0,016164
0,016222
0,016431
0,016703
0,017045
0,016513
En la tabla de la Tierra se observa:
●
Una clara convergencia por parte de todos los parámetros orbitales,
ya desde los factores de precisión más altos.
...
Una vez obtenidos todos los parámetros orbitales de los planetas del sistema solar,
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presentamos una tabla-resumen con los valores medios y sus errores para cada
planeta, calculados a partir de los valores de referencia de la tabla III-3.
Tabla-Resumen III.2- Parámetros orbitales keplerianos. Valores medios.
Planet
KEPLERIAN ORBITAL PARAMETERS
a(AU)
Perh(AU)
Afe(AU)
T(d)3
e2
Me
V
E
365,25463 (2,7e­4%)
0,999813 (1,9e­2%)
0,983419 (1,01e­2%)
1,016406 (2,9e­2%)
0,016642 (0,41%)
*****
*****
*****
*****
*****
Ma
J
S
U
N
P1
(1): Las condiciones iniciales (posiciones y velocidades) se obtuvieron del “Grupo de Noticias”
sfnet.harrastus.astronomia:
http://www.nic.funet.fi/~magi/artikk/usenet/sfnet.harrastus.astronomia/thread0021.html.
Plutón no se ha incluido por falta de condiciones iniciales fiables.
(2): Los valores de e en todos los planetas se han obtenido a partir de las fórmulas: Af= a(1+e)
o Perh= a(1-e).
(3): El valor de la constante de gravitación G= 6,67390E-11 empleada en los cálculos se ha
tomado de Jens Gundlach, Univ. Washington: 8-V-2000.
La siguiente tabla se ha utilizado como referencia y respecto a ella hemos
calculado los errores que figuran en la tabla anterior.
Tabla- III.3- Parámetros orbitales keplerianos de referencia.
Planet
T(d)
87,969
224,701
365,256
686,980
4332,820
10755,698
30687,153
60190,029
90553,017
1
Me
V
E4
Ma
J
S
U
N
P
KEPLERIAN ORBITAL PARAMETERS
a(AU)2
Perh(AU)3
Afe(AU)3
0,38709893
0,3069
0,4659
0,72333199
0,7179
0,7286
1,00000011
0,9833
1,0167
1,52366231
1,3797
1,6513
5,20336301
4,9526
5,4526
9,53707032
9,0041
10,0737
19,19126393
10,8282
20,0805
30,06896348
29,7865
30,3280
39,48168677
29,5793
49,2988
e
0,20563069
0,00677323
0,01671022
0,09341330
0,04859266
0,05431060
0,04716771
0,00858587
0,24880766
Fuente: JPL-NASA: http://ssd.jpl.nasa.gov/?planet_phys_par
(1): Periodo Orbital Sidéreo, es decir, tiempo respecto a las estrellas, no respecto a la Tierra
(Sinódico o aparente).
(2): 1AU= 1,49597871e11 m.
(3): Fuente: Burbano, “.......”, 2002.
(4): Valores correspondientes al baricentro Tierra-Luna respecto a la eclíptica (y equinoccio)
media de la fecha J2000.
CC Nª Sª del Prado. Informe­Resumen “yass”.
IV- CONCLUSIONES.
●
Las principales fuentes de error en el cálculo del movimiento orbital son
las siguientes:
●
Precisión limitada de los procesadores...
●
Nuestro
propio
modelo
de
órbita
seccionada
en
tramos
rectilíneos...
●
El haber referido las posiciones y velocidades planetarias
respecto al sol como sistema de referencia...
●
Dentro del error experimental, los resultados muestran que todos los
planetas, excepto Mercurio, se adaptan a la teoría clásica de Newton; el
error que presentan sus parámetros orbitales se mantiene en un valor
medio aceptable ...
●
Mercurio es el planeta que peor se adapta a la teoría clásica de
Newton; sus parámetros orbitales son los que presentan los mayores
porcentajes de error...
●
A la luz de los resultados obtenidos, por tanto, nuestro modelo de órbita
planetaria resulta eficaz para describir el movimiento planetario...
En principio, el modelo, no sólo se puede aplicar a los planetas, sino a
cualquier otro cuerpo del sistema solar que orbite alrededor del sol...
●
Nuestro programa “yass” es ya lo bastante flexible como para poder
modificar ciertas variables y estudiar «qué sucedería si...»...
●
Por último, ... fuimos capaces de encontrar una solución aceptable y
coherente al problema de los N-cuerpos...
CC Nª Sª del Prado. Informe­Resumen “yass”.
BIBLIOGRAFÍA.
●
Feynman, R. et col. “Lecturas de Física”, vol. I, sec. 9-7, 1963.
●
González M.-Pais, Ignacio, “Introducción a la Mecánica Celeste (formulación
newtoniana)”. Servicio de publicaciones Univ. de la Laguna, 2003.
●
Kittel, Ch, D., Walter, A., Malvin, “Mecánica”, cap. 9. Berkeley Physics Course,
edit. Reverté, 1973.
●
e-Bibliografía:
●
http://www.solarviews.com/eng/terms.htm#minor
●
Telnet horizons.jpl.nasa.gov 6775
●
http://ssd.jpl.nasa.gov/?planet_phys_par
●
http://adsabs.harvard.edu
●
http://www.imcce.fr
●
“Grupo de Noticias” sfnet.harrastus.astronomia:
http://www.nic.funet.fi/~magi/artikk/usenet/sfnet.harrastus.astronomia/thread0021
.html.
●
CC Nª Sª del Prado. Informe­Resumen “yass”.
ANEXOS.
ANEXO II.- DIAGRAMA DE FLUJO DE “YASS”.
INICIO
INTRODUCCIÓN DE CONSTANTES, POSICIONES Y VELOCIDADES
INICIALES, MASAS DE PLANETAS Y DEL SOL1
INTRODUCCIÓN INTERACTIVA DESDE TECLADO DE ∆t y EL/LOS
PLANETAS PARA LOS QUE SE DESEA CONOCER LOS PARÁMETROS
ORBITALES2
CÁLCULO DE LAS POSICIONES y ACELERACIONES RELATIVAS
INICIALES PARA CADA PLANETA
CÁLCULO DE LAS POSICIONES,
ACELERACIONES Y POSICIONES
RELATIVAS FINALES A PARTIR DE LOS
DATOS ANTERIORES
N
O
EL PLANETA HA
DADO 5 VUELTAS
S
I
FIN
DATOS ANTERIORES= DATOS ACTUALES
DATOS ANTERIORES
= DATOS ACTUALES
N
O
CORTA EL PLANETA
ALGÚN EJE
N
O
S
I
SALIDA DE RESULTADOS
ES EL 4º CORTE CON
LOS EJES
S
I
VUELTAS= VUELTAS +1
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ANEXO III.- EXTRACTO DEL CÓDIGO FUENTE (Python) de “YASS” (Planeta Tierra).
...
masa=array([1.98e30,3.302e23,4.8685e24,5.9736e24,6.4185e24,1.8986e27,5.6846e26,8.68
32e25,1.0243e26,1.31e22])
G=6.67e-11
E=1e3
...
#Inicialización de pos_anterior y v_anterior
....
pos_relativa_anterior=pos_relativa(pos_anterior)
a_anterior=aceleracion(pos_relativa_anterior,pos_anterior)
n=0
print "La Tierra parte desde: "
print pos_anterior[2].vector
inicial=pos_anterior[2].vector
cortar=0
while(cortar != 10): #5 vueltas
pos_actual=posicion(pos_anterior,v_anterior)
pos_relativa_actual=pos_relativa(pos_actual)
a_actual=aceleracion(pos_relativa_actual,pos_anterior)
if (pos_anterior[2].vector[0]>0 and pos_actual[2].vector[0]<0)
or (pos_anterior[2].vector[0]<0 and pos_actual[2].vector[0]>0) :
print "La Tierra esta en la vertical: "
print pos_anterior[2].vector
print pos_actual[2].vector
cortar = cortar+1
if (pos_anterior[2].vector[1]>0 and pos_actual[2].vector[1]<0)
or (pos_anterior[2].vector[1]<0 and pos_actual[2].vector[1]>0) :
print "La Tierra esta en la horizontal: "
print pos_anterior[2].vector
print pos_actual[2].vector
v_anterior = velocidad(v_anterior,a_anterior)
pos_anterior=pos_actual
a_anterior=a_actual
pos_relativa_anterior=pos_relativa_actual
n=n+1
CC Nª Sª del Prado. Informe­Resumen “yass”.
ANEXO IV.- MUESTRA PARCIAL DE SALIDA DE RESULTADOS DE “YASS”, (planeta
Tierra).
El planeta 3 corta la horizontal: 78.528819
El planeta 3 esta en la vertical:
x: ­1.804103e+05 y: ­1.519900e+11 z: 4.434164e+05
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
x: 1.127236e+05 y: ­1.519900e+11 z: 4.434122e+05
T: 94.669622
El planeta 3 esta en la horizontal:
x: 1.501095e+11 y: ­1.578869e+05 z: ­2.241591e+06
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
x: 1.501095e+11 y: 1.389318e+05 z: ­2.241592e+06
T: 190.276832
El planeta 3 esta en la vertical:
x: 2.415045e+05 y: 1.471739e+11 z: ­5.319771e+05
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
x: ­6.124877e+04 y: 1.471739e+11 z: ­5.319728e+05
T: 282.027423
******************************
EL PLANETA 3 HA DADO UNA VUELTA
******************************
El planeta 3 esta en la horizontal:
x: ­1.490159e+11 y: 1.614971e+05 z: 2.155338e+06
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
x: ­1.490159e+11 y: ­1.375012e+05 z: 2.155339e+06
T: 365.160301
a: 1.495723e+11
Perihelio: 1.471739e+11
Afelio: 1.519900e+11
e: 1.616413e­02
El planeta 3 esta en la vertical:
x: ­6.924528e+04 y: ­1.519945e+11 z: 5.209795e+05
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
x: 2.238811e+05 y: ­1.519945e+11 z: 5.209753e+05
T: 94.720922
El planeta 3 esta en la horizontal:
x: 1.500467e+11 y: ­5.904982e+04 z: ­2.184283e+06
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
x: 1.500467e+11 y: 2.378866e+05 z: ­2.184284e+06
T: 190.282861
El planeta 3 esta en la vertical:
x: 1.069657e+05 y: 1.471621e+11 z: ­7.671905e+05
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
x: ­1.958051e+05 y: 1.471621e+11 z: ­7.671868e+05
T: 281.978960
******************************
EL PLANETA 3 HA DADO UNA VUELTA
******************************
El planeta 3 esta en la horizontal:
x: ­1.490694e+11 y: 1.041876e+05 z: 1.957910e+06
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
x: ­1.490694e+11 y: ­1.947058e+05 z: 1.957912e+06
T: 365.144444
a: 1.495682e+11
Perihelio: 1.471621e+11
Afelio: 1.519945e+11
e: 1.622227e­02
...