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Polígonos regulares
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POLIGONOS REGULARES
DEFINICION: Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y sus ángulos
congruentes.
DEFINICION: Un polígono esta inscrito en una circunferencia si sus vértices pertenecen a la
circunferencia y sus lados son cuerdas de la circunferencia.
DEFINICION: Un polígono es circunscrito a una circunferencia si tiene sus lados tangentes a
la circunferencia.
Todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia
ANGULO CENTRAL DE UN POLIGONO INSCRITO: Es el ángulo formado cuando se une el
centro del polígono con dos vértices consecutivos
En un polígono regular de n lados el ángulo central mide 360º/n
La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º(n-2)
180º (n  2)
Un ángulo interior de un polígono regular mide
donde n es el numero de lados.
n
APOTEMA: Es la altura de un triangulo formado por el centro del polígono regular y dos
vértices consecutivos.
ABCDEF es un hexágono regular inscrito en la circunferencia de
centro O.
360º
AOB es un ángulo central  m( AOB) 
 60º
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Suma de los ángulos interiores: 180º  6  2   720º
720º
 120º
6
En el hexágono se cumple que el radio de la circunferencia
circunscrita es igual al lado del hexágono: R  AB
OH  a es la apotema.
Medida de un ángulo interior:
TEOREMA
El valor del lado de un triangulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio R es igual a
R 3
HIPOTESIS: ABC es equilátero
O es el centro de la circunferencia
AB  BC  CA  l
TESIS: l  R 3
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1. El circuncentro es el punto donde se cortan las
mediatrices. CD es mediatriz y también es diámetro
2. CD es bisectriz de
3. m (
4.
ACB
ACD) = 30º
CAD es recto
CD
R
2
2
2
2
2
2
2
2
6. AC  CD  AD  l   2R   R  3R  l  R 3
5. AD 
1. Definición de
circuncentro
2. En un triangulo
equilátero la mediatriz es
también bisectriz
3. De 2. Los ángulos de
un triangulo equilátero
miden 60º
4. Esta inscrito en una
semicircunferencia
5. De 4 y 3. Teorema 30 –
60 – 90
6. Teorema de Pitágoras
NOTA: Si unimos los puntos medios de cada arco determinado por un triangulo equilátero
inscrito en una circunferencia, obtenemos un hexágono regular inscrito y como AD = R, el
lado de un hexágono regular es igual al radio de la circunferencia circunscrita. Las uniones
deben hacerse con los vértices del triangulo.
TEOREMA
El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es igual a R 2
1. AB  BC  CD  DA
2. m (arco AB) = m (arco BC) = m (arco CD)
= m (arco DA)
3. m (arco AB) = 90º
4. m ( AOB) = 90º
5.  AOB es rectángulo
6. l 2  R 2  R 2  l  R 2
1. De hipótesis. Definición de cuadrado
2. De 1. Por tener cuerdas congruentes
3. De 2. Una circunferencia tiene 360º
4. De 3. Por ser un ángulo central
5. De 4. Definición de triangulo rectángulo
6. De 5. Teorema de Pitágoras
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EJERCICIOS
1. Calcular la altura de un triangulo equilátero en función del radio de la circunferencia
circunscrita al triangulo.
2. Calcular la apotema del triangulo equilátero inscrito en función del radio
3. El lado de un triangulo equilátero inscrito mide 24 centímetros. Calcular a) La apotema.
b) el radio de la circunferencia c) la altura del triangulo.
4. Calcular la apotema del cuadrado inscrito, en función del radio de la circunferencia
circunscrita
5. La apotema de un cuadrado inscrito, en función del radio de la circunferencia
circunscrita
6. Sea l el lado de un octágono regular inscrito en una circunferencia de radio R, demostrar
que el lado es igual a R 2  2
7. Calcular en función del radio la apotema de un hexágono regular inscrito en una
circunferencia de radio R.
8. La apotema de un hexágono regular inscrito mide 20 centímetros. Calcular el radio y el
lado del hexágono
9. Calcular la apotema de un octágono regular de lado l inscrito en una circunferencia de
radio R, en función de R.
10. La apotema de un octágono regular inscrito mide 0.25 metros. Calcular el radio y el lado
del octágono
11. El lado de un cuadrado circunscrito a una circunferencia mide 12 centímetros. Calcular
el lado y la altura del triangulo equilátero inscrito en la misma circunferencia
12. Calcular el lado de un triangulo equilátero en función del radio r de la circunferencia
inscrita en el triangulo.
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13.
Las diagonales AD y BE de un pentágono regular ABCDE,
inscrito en una circunferencia de centro O, se cortan en P.
Demostrar que:
a) ABDE es un trapecio isósceles.
b) BCDP es un rombo
c) BP2  BE  PE
14. CDEF es un hexágono regular inscrito y L, M, N, P, Q y R son los puntos medios de los
lados, respectivamente. Demostrar que LMNPQR es un hexágono regular.
15.
ABC y DEF son triángulos equiláteros inscritos en una
circunferencia de radio R. Los lados de los triángulos se cortan
para formar un hexágono regular, hallar el lado de este hexágono
en función de R.
16. Calcular el lado de un triangulo equilátero circunscrito a una circunferencia de radio 15
cm.
17. En una circunferencia de centro O, se inscribe un pentágono regular ABCDE, se trazan
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las diagonales AC y BD que se cortan en M. Demostrar que: AM  MC  AC (AYUDA:
Demostrar primero que ABC BMC y luego que el triangulo MAB es isósceles.)
18. El hexágono regular ABCDEF esta inscrito en una circunferencia de centro O. P es el
punto medio de EF y M es el punto medio de AB , demostrar que EB es un diámetro y
que PM es paralelo a EB . Si el radio de la circunferencia es 8 cm., hallar PM.
19. ABCDEF es un hexágono regular, P es el punto medio de EF y M es el punto medio de
AB , si PM  9 encontrar la medida del lado del hexágono.
20. Un hexágono regular esta inscrito en una circunferencia de radio R. Se unen los puntos
medios de los lados consecutivos. Demostrar que se forma un hexágono regular y
calcular el lado de este hexágono en función de R.
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21.
El lado del pentágono regular mide 10 cm. Las diagonales
AC y BD se cortan en P. Calcular DP y PB. (AYUDA: Demostrar
primero que el triangulo PDC es isósceles y luego establecer una
proporción con los triángulos semejantes DCB y BPC)
22. Calcular el lado de un octágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio vale
2  2 . RTA:
2
23. Sabiendo que el lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de 7 cm. de radio vale
7 2 , hallar el lado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia. Rta: 14 cm.
24. El perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 20 2cm. Hallar el diámetro
de dicha circunferencia.
25. Se da un hexágono regular ABCDEF, inscrito en una circunferencia de radio 20
centímetros. Se trazan las diagonales AE y FB que se cortan en K. Hallar KF, KB, KE,
KA. Respuesta: KF = 10, KE = 22.16, KA = 10, KB = 22.16
26. El lado del hexágono regular ABCDEF mide 8 cm., las diagonales AD y BF se cortan en
G. 1) Hallar las medidas de los ángulos ADC, AFG,
AGF. 2) Encontrar la medida de GH, que es la
distancia de G a la diagonal AC.
27. Interiormente en un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero APB,
calcular m( APE )
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28. La apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 5 2 cm., hallar la
medida de la apotema de un triángulo equilátero que se inscribe en la misma
circunferencia.
29. El cuadrado ABCD y el triángulo equilátero AEF están inscritos en una misma
circunferencia. Calcular la medida de los arcos DF, BE, CE, FC,
ABE
30. El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero mide 5 3 , hallar el lado
del triángulo.
31. La apotema de un hexágono regular mide 3 3 , encontrar la medida del lado del
hexágono
32.
ABCDEF es un hexágono regular. Demostrar que el triángulo
ACE es equilátero. Si el lado del hexágono mide 4 cm.,
calcular la medida del lado y de la apotema del triángulo.