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UNIDAD 9
FIGURAS GEOMETRICAS PLANAS
Objetivo General
Al terminar esta Unidad entenderás y aplicaras los
conceptos generales de las figuras geométricas planas,
y resolverás ejercicios y problemas con figuras
geométricas planas.
Objetivos específicos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Recordaras la definición de ángulos, los tipos de ángulos
Recordaras la definición de paralelismo y perpendicularidad
Recordaras la definición de triángulo, los tipos de triángulos
Entenderás la igualdad y semejanza de los triángulos
Recordaras la definición de bisectriz, mediatriz, mediana y altura.
Recordaras los cuadriláteros y paralelogramos
Recordaras los polígonos, su definición y clasificación
Recordaras la circunferencia, el círculo y sus características
Objetivo 1. Recordaras la definición de ángulos y los tipos de ángulos
Se denomina ángulo a la abertura entre dos rectas que se encuentran. Las dos rectas que
se encuentran se llaman lados del ángulo, y el punto en que se encuentran, vértice de
ángulo.
Un ángulo puede nombrarse por tres letras, una escrita en cada uno de los lados, y la
otra en el vértice. La del vértice se nombra entre las otras dos: ángulo AOB. (Fig. 1)
A
Figura 1
O
B
Medida de los ángulos:
La unidad de medida para los ángulos es 1/360 de un perígono y se llama grado.
Se divide en 60 minutos, y el minuto en 60 segundos. La notación 5˚,13’,12” significa
cinco grados, trece minutos, doce segundos.
Paralelismo:
Dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas cuando no se cortan y, por
tanto, las parejas de puntos más próximos de ambas guardan siempre la misma
distancia.
Dos planos son paralelos cuando no se cortan y, también, los puntos más
próximos de ambos guardan siempre la misma distancia.
Teorema:
Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-internos
son iguales.
Teorema:
Si dos rectas situadas en un mismo plano forman con una recta transversal
ángulos alternos-internos iguales, esas dos rectas son paralelas
Teorema:
Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes
son iguales. (Fig. 2).
Fig. 2
Perpendicularidad:
Sean a y b dos rectas que se cortan. Las semirrectas de estas rectas forman
cuatro ángulos. Sea α uno de estos ángulos. Cualquiera de los tres ángulos restantes será
entonces adyacente del ángulo α o vertical del ángulo α. De aquí se deducen que signo
de los ángulos es recto, también son rectos los demás ángulos. En este caso decimos que
las rectas se cortan en ángulo recto y las denominamos perpendiculares. (Fig. 3).
Fig. 3
Tipos de ángulos
Clasificación de los ángulos según su medida
Ángulo recto:
Un ángulo igual a 90 grados se llama recto. (Fig. 4).
A
90°
B
O
Fig. 4
Ángulo llano:
Es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma
recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º. (Fig. 5).
A
B
O
Fig. 5
Ángulo Obtuso:
Es el ángulo que mide más de 90º pero menos de 180º. (Fig. 6).
Fig. 6
Ángulo agudo:
Es el que mide menos de 90º. (Fig. 7).
Fig. 7
Clasificación de los ángulos según su suma
Ángulos adyacentes:
Se llaman adyacentes si tienen un lado común y sus otros lados son semirrectas
complementarias. Los ángulos (a1b) y (a2b) son adyacentes. (Fig. 8).
b
a2
a1
A
Fig. 8
Teorema:
La suma de ángulos adyacentes es igual a 180 grados, y se deduce que si dos
ángulos son iguales, también son iguales sus ángulos adyacentes.
Ángulos verticales:
Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son semirrectas
complementarias de los lados del otro.
Teorema:
Los ángulos verticales son iguales.
Ángulos congruentes:
Dos ángulos son congruentes si sus medidas son iguales. (Fig. 9).
Fig. 9
Ángulos complementarios:
Dos ángulos son complementarios, y cada uno es complemento del otro, cuando
su suma es un ángulo recto. (Fig. 10).
Fig. 10
Ángulos suplementarios:
Dos ángulos son suplementarios, y cada uno es el suplemento del otro cuando su
suma es igual a dos ángulos rectos, es decir 180ْ.ْ (Fig. 11).
Fig. 11
Propiedades de los ángulos suplementarios
1.-La suma de dos ángulos adyacentes que una recta forma con otra es igual a dos
rectas.
2.-Si la suma de dos ángulos adyacentes es igual a dos ángulos rectos, los lados no
comunes están en línea recta.
Ángulos opuestos por el vértice:
Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno son
prolongaciones de los lados del otro.
Los ángulos x y z son opuestos por el vértice, y también los ángulos w e y. (Fig.
12).
Fig. 12
Ángulos formados por una transversal:
Si XY corta AB y CD los ángulos a, d, f, g se llaman ángulos internos; los b, c,
h, e, ángulos externos.
Tomados en pares, d y f, a y g, se llaman ángulos alternos-interno; b y h, c y e,
alternos-externos; b y f, c y g, e y a, h y d, correspondientes. (Fig. 13).
Fig. 13
Ángulos correspondientes con lados paralelos o con lados perpendiculares
Proporciones
Teorema de Tales:
Si los segmentos determinados en una transversal por tres o más paralelas son
iguales, también son iguales los determinados en cualquier otra transversal por las
mismas paralelas. (Fig. 14).
Fig. 14
Objetivo 2.Recordaras la definición de triángulo, los tipos de triángulos
Definición de Triángulo:
Se llama triángulo al espacio delimitado por tres rectas que se cortan.
Clasificación de los triángulos según sus lados
Escaleno: Cuado sus tres lados son desiguales. (Fig. 15).
Fig. 15
Isósceles: Cuando dos de sus lados son iguales. (Fig. 16).
Fig. 16
Equilátero: cuando sus tres lados son iguales. (Fig. 17).
Fig. 17
Clasificación de los triángulos según sus ángulos
Rectángulo: Cuando tiene un ángulo recto. (Fig. 18).
Fig. 18
Obtusángulo: Cuando tiene un ángulo obtuso. (Fig. 19).
Fig. 19
Acutángulo: Cuando sus tres ángulos son agudos. (Fig. 20).
Fig. 20
Oblicuángulo: Cuando no es rectángulo. En la siguiente imagen se forman dos
triángulos oblicuángulos ABD y BCD. (Fig. 21).
Fig. 21
Equiángulo: Cuando sus ángulos son iguales. (Fig. 22).
Fig. 22
Ejemplos
1. Escribe el nombre de los siguientes triángulos de acuerdo a su clasificación por lados
a)
b)
c)
a) Equilátero
b) Isósceles
c) Escaleno
2. Escribe el nombre de los siguientes triángulos de acuerdo a su clasificación por sus
ángulos
a)
a) Rectángulo
b) Obtusángulo
c) Acutángulo
b)
c)
Objetivo 3.Entenderás la igualdad y semejanza de los triángulos
Semejanza de Triángulos
Se llaman triángulos semejantes a los triángulos que tienen sus ángulos
respectivamente congruentes, y sus lados homólogos son proporcionales.
La relación de semejanza se denota con el símbolo ~, de esta manera la
expresión ∆ABC~ ∆A´B´C se lee: “el triángulo es semejante al triángulo ABC es
semejante al triángulo A prima, B prima, C prima”. (Fig. 23).
Fig. 23
Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.
Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido.
Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales
Teorema de Pitágoras:
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo –rectángulo es
equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos. (Fig. 24).
Fig. 24
Objetivo 4. Recordaras la definición de bisectriz, mediatriz, mediana y altura.
Bisectriz:
La bisectriz de un ángulo en general y de un ángulo de un triángulo, es la
semirrecta que biseca el ángulo, es decir, divide el ángulo en dos ángulos congruentes.
(Fig. 25).
Fig. 25
Mediatriz:
La mediatriz de un lado de un triángulo (y en general de un segmento de recta),
es la recta perpendicular a ese lado en su punto medio. (Fig. 26).
Fig. 26
Mediana:
La mediana de un triángulo, es el segmento de la recta que une un vértice con el
punto medio del lado opuesto. (Fig. 27).
Fig. 27
Altura:
La altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular que se traza
desde un vértice al lado opuesto (o a la prolongación de éste). (Fig. 28).
Fig. 28
Circuncentro:
Se llama circuncentro al punto de intersección de las mediatrices de los lados de
un triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia que contiene a los tres
vértices de triángulo. (Fig. 29).
Fig. 29
Baricentro:
Se llama baricentro (gravicentro o centroide) al punto de intersección de las
medianas de un triángulo. El baricentro es el centro de gravedad, es decir, el punto
donde está aplicado todo el peso de un cuerpo de forma triangular cuya masa está
uniformemente distribuida; de tal manera que el cuerpo estará en equilibrio si se apoya
en el baricentro. (Fig. 30).
Fig. 30
Incentro:
Se llama incentro el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos
interiores de un triángulo. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en un
triángulo, es decir, la circunferencia interior que es tangente a los tres lados del
triángulo. (Fig. 31).
Fig. 31
Ortocentro:
Se llama ortocentro al punto de intersección de la alturas (o de sus
prolongaciones)de un triángulo. (Fig. 32).
Fig. 31
Á re a d e u n t ri á ngu l o
A=
b*h
2
Ejemplo:
H a l l a r el á r e a del siguiente tr i á n gul o :
A=
11*7
= 38.5cm 2
2
Área de un triángulo rectángulo
El área de un t r iá ngul o r ec tá ngu l o es igual al pro du c t o de l o s ca t et o s
p a rt id o p or 2.
A=
b*c
2
Ejemplo:
Hallar el á re a de l t r iá ngul o r e c tá ngu l o cuyos catetos miden 3 y 4 cm.
A=
3* 4
= 6cm 2
2
Objetivo 5. Recordaras los cuadriláteros y paralelogramos
Cuadrilátero:
Es un polígono de cuatro lados. Una figura cerrada cuyos límites son cuatro
rectas, llamadas lados del cuadrilátero.
Clasificación de los cuadriláteros
Un cuadrilátero (Fig. 33) se llama trapecio (Fig. 34) si tiene dos lados paralelos
Si cada lado de un cuadrilátero es igual a su opuesto, es un paralelogramo (Fig. 35)
Fig. 33
Fig.34
Fig. 35
Un paralelogramo se llama rectángulo (Fig. 38) cuando sus cuatro ángulos son
rectos
Un paralelogramo se llama rombo (Fig. 39) cuando sus cuatro lados son iguales.
Fig. 38
Fig. 39
Base:
Se denomina base de una figura rectilínea el lado sobre el que descansa, o se
supone que descansa.
El termino base se emplea a veces en un sentido mas general. En el
paralelogramo, dos lados opuestos se llaman también base.
En el triángulo isósceles, se llama generalmente base del lado desigual; y el
vértice, del ángulo opuesto altura.
Altura:
Llámese altura de un paralelogramo o trapecio la longitud de la perpendicular
trazada de una base a la otra.
La altura de un triangulo es la longitud de la perpendicular bajada a la base
desde el vértice opuesto. (Fig. 40)
Fig. 40
Diagonal:
Se llama diagonal toda recta que une dos vértices no consecutivos de una figura
rectilínea cerrada. (Fig. 41)
Fig. 41
Teorema:
En todo paralelogramo, cada lado es igual a su opuesto
Área de un paralelogramo:
El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura.
(Fig. 42)
A = b*h
Fig. 42
Ejercicios Resueltos de Cuadriláteros.
¿Qué cuadrilátero tiene las dos diagonales iguales y sus lados son iguales dos a
dos?
Rectángulo
Si los ángulos de un cuadrilátero miden, respectivamente, 80º, 110º y 70º,
¿Cuánto medirá el ángulo que falta?
100º
¿Cuál es el paralelogramo que tiene las diagonales perpendiculares?
Rombo
Objetivo 6: Recordarás los polígonos su definición y su clasificación.
Cuerpo geométrico:
Es toda porción limitada del espacio, esté o no ocupada por materia, pues, en los
cuerpos geométricos sólo se atiende a la forma y se hace abstracción de la materia. Así,
por ejemplo, un agujero es un cuerpo geométrico aunque esté vació de la materia que lo
rodea.
Definición:
Llámese polígono a una figura plana limitada por rectas que forman una línea
quebrada cerrada.
En un polígono hay que considerar los lados, los ángulos, los vértices, las
diagonales y el perímetro.
•
Lados son las rectas que limitan el polígono (en la fig. 43 a, b, c, d).
•
Ángulos son los formados por dos lados consecutivos en el interior del polígono
(en la fig. 43 α , β , σ , y )
•
Vértices son los de los ángulos del polígono (en la fig. 43 A, B, C, D).
Fig. 43
•
Ángulos exteriores son los formados por un lado cualquiera y la prolongación
del lado adyacente (fig. 45 el ángulo a).
Cada ángulo exterior es suplemento del ángulo interior adyacente.
•
Diagonales son las rectas que unen dos vértices no consecutivos (la diagonal EC
de fig. 44).
E
D
a
E
C
D
C
F
A
B
Fig. 44
A
B
Fig. 45
Tipos de polígonos
Atendiendo al número de lados o ángulos, los polígonos se clasifican en triángulos,
cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, etc., según el número de lados que
tengan.
Los demás polígonos no tienen nombre particular; así se dice polígono de 13 lados,
polígono de 20 lados, etc.
Clasificación dependiendo los ángulos:
Polígono convexo es le que tiene todos sus ángulos menores que 180° (Fig. 46).
Fig. 46
Polígono cóncavo es el que tiene uno o varios ángulos mayores a 180° (en la Fig. 47 el
ángulo α ).
α
Fig. 47
Polígono equilátero es el que tiene todos sus lados iguales (la Fig. 48 que es un
paralelogramo).
α
α
Fig. 48
Polígono equiángulo es el que tiene todos sus ángulos iguales (Fig. 49).
Fig. 49
Polígono regular es el que a la vez es equilátero y equiángulo (Fig. 50).
Fig. 50
Suma de los ángulos internos de un polígono.
Teorema:
La suma de los ángulos internos del polígono convexo es igual a (n-2)*180°, donde n
es el número de lados del polígono.
Ejemplos:
1) Calcule cuánto vale cada ángulo de un hexágono regular, dibújelo.
Si la suma de sus ángulos internos es (6-2)*(180°) = 720°, y como con ángulos
720°
entonces cada uno mide
= 120°.
6
2) Calcule el ángulo α (considere que se trata de un polígono regular de 11
lados).
α
Primero se calculará cuánto mide cada ángulo del polígono y después, aplicando
el teorema de ángulo suplementario y mediante una resta se obtenga el valor de α , es
decir. Si la suma de los ángulos internos es igual a (11-2)*(180°) = 1620°, por lo que
1620°
= 147° 16’ 21.82 ’’. Ahora α + 147°16’ 21.82’’ =
11
180°, obteniendo α =32° 43’ 38.18’’.
cada ángulo interno vale
3) Hallar el número de lados de un polígono regular cuya suma de ángulos
internos es de 20 ángulos llanos.
Si la suma de los ángulos internos es de (n-2)*180° = 20*180, despejando n
tenemos que n = 20 + 2 = 22. Consecuentemente se trata de un polígono de 22 lados.
Suma de los ángulos externos de un polígono.
Teorema:
La suma de los ángulos externos del polígono es igual a 360°.
Demostración:
n*180°-180*(n-2) = n*180°- n*180° + 360° = 360° :donde n es el número de lados del
polígono.
Ejemplos:
1) Calcular el valor de un ángulo exterior de un dodecágono regular.
Sea 360° / n = 360° / 12 = 30°.
2) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo exterior es igual a 45°?
Si 360° / n = 45°, entonces n = 360° / 45° = 8 lados.
3) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo exterior es igual a
22.5°?
Si 360° / n = 22.5°, entonces n = 360° / 22.5° = 16 lados.
Diagonal:
Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos.
Número de diagonales de un polígono.
Si n es el número de lados de un polígono entonces el número de diagonales es
n*(n-3)
2
Ejemplos:
1) Calcular el número de diagonales de un polígono de 25 lados.
Aplicando la fórmula
n*(n-3)
, se tiene que numero de diagonales es 275.
2
2) ¿Cuántos lados tendrá un polígono de 54 diagonales?
Despejando en la formula a n, se tiene que n*(n-3) = 2*54, entonces se obtiene la
ecuación n2-3n-108 = 0, donde n tiene un valor de 12.
3) Dibuje un eneánogo y sus diagonales, y aplicando la formula verifique el
número de diagonales.
Donde el número de diagonales es 9*(9-3)
2
Polígonos regulares
= 27.
Definición:
Es aquel que tiene todos sus lados y sus ángulos iguales.
Perímetro: Es la suma de la longitud de los lados del polígono.
Ejemplos:
1) Calcule cuánto vale el perímetro de un dodecágono regular, se un lado mide
4.8 cm.
Se tendría que P = 4.8 * 12 = 57.6 cm
2) ¿Cuánto vale el perímetro de un triángulo isósceles cuya altura es de 4 cm. y
su base es de 6 cm.?
Si h =
6
x2 −  
 2
2
= 4, entonces x = 5, y P = 3* 5 = 15.
Apotema: Es la distancia entre el centro y cualquiera de los lados del polígono regular
(Fig. 51).
Fig. 51
Área de un polígono regular:
A=
perimetro * apotema
2
Ejemplos:
1) Calcule el área del siguiente hexágono regular.
Aplicando la fórmula, se tiene que perímetro = 6*12 = 72, entonces
A = 72*8.4 = 302.4cm2
2
2) ¿Cuánto vale la apotema de un pentágono regular cuya área es 30cm y un lado
mide 3cm?
Despejando el la fórmula el valor de apotema se tiene que:
Apotema =
2* A
= 2*30 = 4cm
perimetro
5*3
3) ¿Cuánto mide cada lado de un dodecágono si su área es igual a
28cm2 y su apotema mide 4cm?
Si el perímetro = (número de lados) * (lado), y despejando en la fórmula se tiene:
2* A
Lado =
, donde n = número de lados, entonces cada lado mide:
apotema * n
2* 28
7
=
cm.
4*12
6
Polígonos inscritos
Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están
contenidos en ella ( el pentágono de la Fig.52 esta inscrito).
Fig. 52
Todo polígono inscrito es regular.
El centro de un polígono inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita en él.
El radio del polígono inscrito es el radio e la circunferencia circunscrita en él.
Polígonos circunscritos
Un polígono está circunscrito en una circunferencia, si todos sus lados son
tangentes a la circunferencia (Fig.53).
Fig. 53
El polígono circunscrito toca en el punto medio de cada lado a la circunferencia
inscrita.
El centro de la circunferencia inscrita equidista de todos los lados del polígono
circunscrito.
La apotema del polígono circunscrito es el radio de la circunferencia inscrita.
Relación entre dos polígonos
Dos polígonos son mutuamente equiángulos si los ángulos de uno son
respectivamente iguales a los del otro, tomados en un mismo orden; son mutuamente
equiláteros si los lados de uno son respectivamente iguales a los del otro, tomados en un
mismo orden.
Dos polígonos son iguales si son a la vez mutuamente equiángulos y
mutuamente equiláteros, puesto que pueden hacerse coincidir en todas sus partes.
Objetivo 7: Recordarás la circunferencia, el círculo y sus características.
Circunferencia y círculo
Círculo:
Lámase círculo a una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos
equidistan de un punto inferior llamado centro, dicha curva se llama circunferencia
(Fig.54).
Fig. 54
Circunferencia:
La circunferencia de un círculo es la curva que lo limita; a su vez divide al plano
que lo contiene en 2 pares: una interior, que es el círculo, y otra exterior.
Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo
del plano al centro (Fig.55).
Interior
Exterior
Fig. 55
Radio:
Llamase a toda recta que va del centro a la circunferencia (Fig. 56).
Radio
Fig. 56
Diámetro:
Es toda recta que pasa por el centro y termina en puntos opuestos de la
circunferencia. Puesto que el diámetro es el doble del radio, todos los diámetros de una
círculo o de círculos iguales son iguales (Fig. 57).
Diámetro
Fig. 57
Arco:
Es toda parte de la circunferencia. Llámase semicircunferencia o semicírculo la
mitad de la circunferencia; y cuadrante, la cuarta parte tanto del círculo como de la
circunferencia (Fig.58).
Arco
Fig.58
Cuerda:
Toda recta que une los extremos de un arco (Fig. 59).
cuerda
Fig. 59
Ángulo central:
Con respecto a un círculo cualquiera, ángulo central es todo ángulo cuyo
vértice está en el centro del círculo.
Dícese que un ángulo central es subtendido por el arco de círculo comprendido
entre sus lados, y que éstos interceptan ese arco (en la Fig. 60 el ángulo central es θ ).
Fig. 60
Secantes y tangentes
Secante:
Es toda recta que corta la circunferencia (Fig. 61).
Secante
Fig. 61
Tangente:
Llámese tangente a un círculo, una recta de longitud ilimitada que tiene con la
circunferencia un punto en común y sólo uno (Fig. 62).
Tangente
Fig. 62
Teorema:
Si de un punto exterior a un círculo se trazan dos tangentes al círculo, las
tangentes son iguales (en la Fig. 63 son B) y forman ángulos iguales (en la Fig. 63 son
α ) con la recta trazada del mismo punto al centro del círculo (en la Fig. 63 sea A).
B
α
α
B
A
r
r
Fig. 63
Ángulo inscrito:
Es aquel cuyo vértice está en una circunferencia y cuyos lados son cuerdas (en la
Fig. 64 α ).
Fig. 64
Longitud de la circunferencia:
Es el menor de los números mayores que el perímetro de cualquier polígono
inscrito en la circunferencia (en la Fig. 65 es r).
Fig. 65
Circunferencia:
La circunferencia L del círculo esta dada por:
L = 2π r
Área del círculo:
El área del círculo es igual a A= π r 2 (Fig. 66).
Fig. 66
Área del sector circular:
Es la parte del círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente (en la Fig. 67
lo sombreado de color amarillo).
Fig. 67
La fórmula por la cual está dada dicha área es la siguiente:
r 2α
A=
2
Donde r es el radio de la circunferencia y α el ángulo en el que está comprendido
el arco de circunferencia, expresado en radianes.
o también:
A=
r 2 n°π
360°
Donde n es igual a los grados que comprende α.
Ejemplos:
1) Calcula cuánto vale la longitud de la circunferencia si el radio vale 4.5 cm.
Considerando que longitud de circunferencia es L = 2π r , sustituyendo el valor de r, se
tiene que L= 2 π *(4.5) = 28.27433cm.
2) Si la longitud de circunferencia vale 11.8 π cm., ¿Cuánto vale su respectivo
radio?
De la formula de longitud de circunferencia se despeja a r, teniendo que:
L
r=
= 1.878cm.
2π
3) Calcular cuánto vale el área de un circulo que tiene como radio 3.8 cm.
Si A= π r 2 , entonces sustituyendo A= π *(3.8) 2 , A = 45.364597
4) Sea 6.4cm2. el área de un círculo, diga cuánto vale su respectivo radio.
Se despeja de la fórmula de área la constante r, teniendo:
A
6.4
r=
=
= 1.42729.
π
π
5) Determine cuándo vale el área del sector circular, si el radio es igual a 5cm.
y el ángulo que lo comprende es de 35°.
Si A =
r 2 n°π
(5) 2 *(35°) * π
, sustituyendo se tiene que A =
, A= 7.6358cm2
360°
360°