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TRABAJO PRÁCTICO Nº4
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Ejercicio 1
Hallar el cociente y resto de la división de a por b en los siguientes casos:
a) a = 5
b = 28
b) a = 35
b = 19
c) a = 15
b = -78
d) a = 52
b = -28
e) a = -31
b = 59
f) a = -55
b = 13
g) a = -75
b = -328
h) a = -135
b = -47
i) a = 0
b = -45
Ejercicio 2
En cada caso indicar cociente y resto de dividir x por 13, sabiendo que x,q ∈ Z:
a) x = 13.q + 8
b) x = 13.q + 31
c) x = 13.q - 1
d) x = 13.q + 26
e) x = 13.q - 14
f) x = 39.q + 7
g) x = 26.q – 5
Ejercicio 3
a) Si el resto y cociente de b por 7 son 5 y q respectivamente, hallar los posibles
restos de la división por 7 de:
i.
2.b
ii.
–b
iii.
10.b + 1
iv.
3.b + 1
v.
–b + 3
vi.
b2 – 1
vii.
b.(b + 1)
viii.
–3.b + 8
ix.
1 – 5.b
Ejercicio 4
a) El cociente y el resto de la división de a por 11 es 21 y r respectivamente, ¿qué
puede decir del resto y cociente de?:
i.
a + 701
ii.
–a
iii.
3.a + 1
iv.
–5.a + 8
b) Sean a y b enteros, b > 0, determinar, a partir de la división de a por b, la
división por (-b) de las siguientes expresiones:
i.
-a
ii.
b–a
iii.
a.b
iv.
b2 + a
c) Determinar los números enteros n tales que, 2.n – 1 y 4.n – 1 son números
primos.
Ejercicio 5
a) El resto de la división de un número por cuatro es tres, y el resto de la división
del mismo número por nueve es cinco. Encontrar el resto de la división de ese
número por 36.
b) Se sabe que el resto de la división de 748 por un número n positivo es 20 y el
resto de la división de 1229 por n es 33. Hallar n.
c) Determinar el resto de dividir un número n por 4 sabiendo que n excede en 27
a un cierto múltiplo de 20.
d) Hallar el mayor número natural con la propiedad de que el resto de dividirlo por
16 sea el doble de su cociente.
e) Hallar el mayor número natural con la propiedad de que el cociente de dividirlo
por 12 sea el doble de su resto. que 154 y menor que 167. ¿Cuál es el cociente
de dividirlo por 12?
f) El resto de dividir un número n por 56 es igual a 18.¿Cuál es el menor número
que debe sumarse a n para obtener un múltiplo de 56?
g) Un número par es mayor que 154 y menor que 167.¿Cuál es el cociente de
dividirlo por 12?
h) Las edades de tres personas son números consecutivos. Al dividir dichos
números por 8, dos de ellos tienen cociente igual a 7 y el restante igual a 8.
¿Cuáles son las edades?
i) Un número natural n excede en 35 a un cierto múltiplo de 24. ¿Cuál es el resto
de dividirlo por 2, 3, 4, 6, 8 y 12? ¿Podría obtener una respuesta en el caso de
dividirlo por 11 ó por 5? Justifique.
j) Sea n un número impar y no divisible por 3. ¿Cuál es el resto de dividir n2 por
24?
Ejercicio 6
a) Demostrar que si dos números enteros difieren en un múltiplo de n, entonces
sus restos de dividirlos por n son iguales.
b) ¿Qué números naturales tienen la propiedad de que al dividirlos por a poseen
el mismo resto y cociente?
c) Probar que si p es un primo mayor que 30, su resto en la división por 30 es 1 ó
un número primo.
d) Probar que 3, 5 y 7 es la única terna de impares consecutivos y todos primos.
Ejercicio 7
Demostrar:
a) p primo y p ≠ ±2, ±3 ⇒ ∃ m: (p = 6.m + 1 ∨ p = 6.m - 1)
b)
c)
d)
e)
f)
mn ⇔ am - 1an - 1
3a2 + b2 ⇔ 3a ∧ 3 b
7a2 + b2 ⇔ 7a ∧ 7 b
7a3 + b3 + c3 ⇒ 7a.b.c
11a3 - b3 ⇔ 11a - b
n
n
g) 7 ∑ ai
i=1
6
⇒ 7 ∏ ai ∨ 7 n
i=1
h) Sean p, q primos, p ≠ q, p > 3, q > 3: p – q = 2n, n ∈ N ⇒ 3p + q
Ejercicio 8
Indique si son verdaderas o falsas las siguientes implicaciones. Justifique su
respuesta. Sean a, b, c enteros tales que a2 + b2 = c2, entonces:
a) a ó b es par
b) a y b son impares
c) a ó b es divisible por 3
d) a y b son divisibles por 4
e) a ó b es divisible por 5
Ejercicio 9
Probar que:
a) La suma de dos cuadrados impares nunca es un cuadrado.**
b) 4.n2 – 3 no es divisible por 7.
c) n2 – 2 no es divisible por 3
d) La suma de los cuadrados de tres números no divisibles por 3 es un
múltiplo de 3.
e) La diferencia de los cuadrados de dos números no divisibles por 3 es un
múltiplo de 3.
f) El resto de la división de cualquier primo por 30 es también un primo.
Ejercicio 10
a) Cuál es la última cifra de 35147.
b) Calcular el resto de la división de (3421098765432134567)2 por 9.
c) Un número natural excede en 35 a un cierto múltiplo de 24. ¿Cuál es el resto
de dividirlo por 8?
d) Supongamos que n es un número impar y no divisible por 3. ¿Cuál es el resto
de dividir n2 por 24?
e) ¿Cuál es el resto de dividir 3.7.11.17.19 por 13?
f) Dado: x = 321527 + 322527 + 323527 + ... + 329527 , ¿Cuál es el resto de
dividir x por 9?
g) Calcular el resto de dividir 983.692 por 13
h) Calcular el día de la semana de la fecha 23 / 2 / 1855.-