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Proyecto Guao Seno ,Coseno y Tangente del Ángulo mitad Sea α un ángulo. Las razones trigonométricas del ángulo mitad (α/2) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de α. En particular, del coseno de α. Seno del ángulo mitad: Coseno del ángulo mitad: Tangente del ángulo mitad: Ejemplo Sea un ángulo α=60º. Las razones trigonométricas de su ángulo mitad son: Seno del ángulo mitad (60º/2): Coseno del ángulo mitad (60º/2): 1 Proyecto Guao Tangente del ángulo mitad (60º/2): Estos resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 30º. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Determinar el valor exacto de las siguiente Solución: función: Puede escribirse sen22,5° Sen 22,5° Si usamos la relación Sen = Podemos escribir que: Sen = = == = = 2 Proyecto Guao Usamos el signo positivo 45°está ubicado en el primer cuadrante, quedándonos: Sen 2. Determinar el valor exacto de las siguiente Solución: función:tg 22,5° Puede escribirse tg 22,5° Si usamos la relación: podemos escribir que: = 3. Determinar el valor exacto de las siguiente función: tg 30° Solución: Puede escribirse tg 22,5° Si usamos la relación: podemos escribir que: 3 Proyecto Guao 4. Determinar el valor exacto de cos 105° Solución Puede escribirse que y luego usar la cos 105°= expresión : Cos = Cos 105°= Cos = = = = = Nótese ,que el ángulo de referencia para 210° es 30° .Como 210° está en el III cuadrante y el coseno en éste es negativo se tendrá que cos 210°=-cos 30°=Como se ha dicho antes, la elección del signo depende del cuadrante y el coseno en el segundo cuadrante es negativo se tendrá que: Cos 105°= 5. Demostrar la siguiente identidad Solución: Se usara el cuadro de resumen de identidades. Debemos trabajar por cada miembro por separado, simplificándolo hasta obtener la misma expresión en cada miembro por 4 Proyecto Guao separado, simplificando hasta obtener la misma expresión en ambos miembros. (Sustituyendo tg = (efectuando operaciones en el numerador) (Aplicando doble c) = (multiplicando la conjugada del denominador) = Aplicando en el denominador (a+b)(a-b)=a2-b2 = (Simplificando por sen2x) = (por que Hemos logrado verificar que = que era lo que nos pedían demostrar. 6. Demostrar la siguiente identidad =1+senx Solución: (Sustituyendo por sus equivalentes) = (efectuando la suma de fracciones). = (efectuado operaciones en el numerador) = (tomando 2 factor común) 5 Proyecto Guao 1+sen a (simplificando por 2) Hemos logrado verificar que que era lo que deseamos demostrar. 7. Determinar el valor exacto de las siguiente Solución: función: Puede escribirse sen30° Sen 30° Si usamos la relación Sen = Podemos escribir que: Sen = = = == = Usamos el signo positivo 60°está ubicado en el primer cuadrante, quedándonos: Sen 8. Determinar el valor exacto de las siguiente Solución: función: Puede escribirse sen90° Sen 90° Si usamos la relación Sen = Podemos escribir que: Sen = == = = Usamos el signo negativo 180°está ubicado en el segundo 6 Proyecto Guao cuadrante, quedándonos: Sen 9. Determinar el valor exacto de cos 60° Solución Puede escribirse que y luego usar la cos 60°= expresión : Cos = Cos 60°= Cos = = = = = Usamos el signo negativo 1200°está ubicado en el segundo cuadrante, quedándonos: Sen 10. Determinar el valor exacto de cos 90° Solución Puede escribirse que y luego usar la cos 90°= expresión : Cos = Cos 90°= Cos = = = = =0 Cos 90°= Profesor: MILITZA INDABURO Fe y Alegría Versión:2016-01-06 7 Proyecto Guao Otras Referencias http://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/razonestrigonometricas-angulo-mitad/ 8