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TRIGONOMETRIA.
1. DEFINICIONES: Consideremos en el triángulo ABC, rectángulo en C, las
razones:
C
B
A
BC
AB
AC BC ,
AB AC
que dependen del ángulo α, se llaman razones trigonométricas de dicho ángulo.
La primera se llama seno de α, y se designa por
BC
= sin α
AB
La segunda, se llama coseno de α, y se designa por
AC
= cosα
AB
La tercera se llama tangente de α y se designa por
BC
= tan α
AC
De igual modo, se definen las cofunciones trigonométricas de las precedentes,
siendo funciones tales que multiplicadas por las anteriores dan 1.
La primera se llama cosecante de α, y se designa por
AB
= cscα
BC
La segunda, se llama secante de α, y se designa por
AB
= secα
AC
La tercera se llama cotangente de α, y se designa por
AC
= cot α
BC
Sí representamos los catetos del triángulo por a y b y la hipotenusa por c, se tiene:
a
c
b
cot α =
a
sin α =
b
c
c
secα =
b
cosα =
tanα =
a
b
cscα =
c
a
Observación: Las razones trigonométricas de un ángulo α, no dependen de la
longitud del lado AB = c. En efecto, si consideramos otro triángulo A'B'C'
semejante a ABC, se tiene que
C
A
B
A'
B'
B 'C '
=
A' B '
A 'C '
=
A' B '
B 'C '
=
A 'C '
BC
= sin α
AB
AC
= cosα
AB
BC
= tan α
AC
Por lo tanto, las funciones trigonométricas de un ángulo, sólo dependen de dicho
ángulo.
LINEAS TRIGONOMETRICAS.
Sabemos que a cada ángulo le corresponde un arco de círculo, descrito con un
radio arbitrario, haciendo centro en su vértice y recíprocamente. Basta entonces,
estudiar las propiedades de los arcos para conocer la de los ángulos.
CIRCULO ORIENTADO: Un móvil puede desplazarse sobre una circunferencia en
dos sentidos opuestos: uno de ellos se llama sentido positivo y el otro sentido
negativo.
Se dice que un círculo es orientado cuando se ha elegido el sentido positivo sobre
su circunferencia.
En trigonometría el sentido positivo se considera como el descrito por el sentido
contrario a los punteros del reloj. El sentido negativo es entonces el descrito por los
punteros del reloj.
ARCO: Se llama arco al camino que recorre un móvil sobre la circunferencia en un
sentido determinado.
El punto de partida del móvil se llama origen del arco y el punto de llegada se
llama extremo del arco.
SENTIDO DEL ARCO: Un arco se llama positivo o negativo según sea recorrido en
el sentido positivo o en el sentido negativo.
LONGITUD DEL ARCO: es el número que expresa su razón a otro arco de la
misma circunferencia escogido como unidad.
En la práctica, se toma la 360 ava parte de la circunferencia o grado.
En trigonometría es a menudo útil tomar como unidad ya no una parte de la
circunferencia sino el arco cuya longitud es igual al radio del círculo considerado.
2
Es fácil expresar este arco en grados, minutos y segundos: la circunferencia de
radio R tiene por longitud 2πR y equivale a 360°, luego el arco de longitud R,
equivale a :
360° R 360°
=
= 57°17'44,8''
2π R
2π
CIRCULO TRIGONOMETRICO: En Trigonometría siempre se toma como unidad
de longitud el radio del círculo que se considera. Este círculo, cuyo radio es igual a
1, se llama círculo trigonométrico.
La circunferencia del círculo trigonométrico, es decir, el arco de 360°, tiene por
longitud 2π; la semicircunferencia o arco de 180°, tiene por longitud π; el arco de 90
°, tiene por longitud π/2.
VARIACION DE LOS ARCOS: Se ha definido la longitud, el sentido y la medida
de un arco. Se puede suponer que el punto móvil que describe el arco, no solo
recorre una parte de la circunferencia, sino que da una vuelta completa y sigue
girando, y aún puede dar en cualquier sentido un número indefinido de vueltas.
Luego el arco es una variable que puede tomar todos los valores desde -∞, a +∞.
Se tomará sobre el círculo trigonométrico un punto fijo arbitrario A, a partir del
cual se contarán todos los arcos y que se llama Origen de los arcos; en seguida se
trazan los diámetros rectangulares AA', BB' como se indica en la figura.
B
M
A' A'
A
B'
Se supone que si partimos del punto A y nos movemos sobre la
circunferencia en el sentido positivo ABA'; el arco que describe varía de una
manera continua. Este arco es nulo cuando estamos ubicados en A; después crece y
toma los valores particulares: π/2, π, 3π/2, 2π cuando nos encontramos en los
puntos B, A', B' y vuelve al punto A. Podemos imaginarnos entonces que podemos
dar no solo una sino que un número indefinido de vueltas. De igual modo
podemos hacer el análisis moviéndonos en el sentido negativo, en este caso se
toman los valores: -π/2, -π, -3π/2, -2π.
Cuando volvemos al punto A después de haber recorrido un número entero
de circunferencias, es decir una arco que tiene por longitud 2kπ, donde k
representa un número entero cualquiera positivo o negativo.
VARIACION DE LOS ANGULOS.
Mientras nos movemos indefinidamente sobre la circunferencia, el radio móvil OM
gira alrededor del centro O y genera un ángulo variable AOM que tiene la misma
medida y signo que el arco AM.
En Trigonometría, un ángulo, no será necesariamente menor que dos rectos: podrá
tomar, como el arco, todos los valores desde -∞ hasta ∞.
3
ARCOS COMPLEMENTARIOS.
Se llaman arcos complementarios, dos arcos cuya suma algebraica es igual a 90° o π
/2.
Sí un arco tiene por medida α, su complemento tiene por medida 90°-α
ARCOS SUPLEMENTARIOS.
Se llaman arcos suplementarios dos arcos cuya suma es igual a π.
Sí un arco tiene por medida α, su suplemento tiene por medida π-α
ARCOS QUE TIENEN LOS MISMOS EXTREMOS.
Dado el origen A de los arcos, a un valor dado de un arco, corresponde un extremo
determinado M; pero si recíprocamente nos damos el origen A y el extremo M, no
corresponde a estos dos puntos un extremo determinado. En efecto hemos podido
partir de A y llegar a M recorriendo un arco positivo menor que una
circunferencia, pero también hemos podido dar un número cualquiera de vueltas y
recorrer el mismo arco. Siendo α, la medida de uno de los arcos cuyo extremo es
M, los arcos: α+2π, α+4π, α+6π, o en general α=2kπ + α, con k∈ Z
FUNCIONES CIRCULARES O RAZONES TRIGONOMETRICAS.
Razones trigonométricas: Dado un ángulo AOM, se describe desde su vértice como
centro una circunferencia sobre la cual dicho ángulo, intercepte un arco AM.
S
T
M
Q
A'
T'
P
B'
A
B'
Sea A el origen del arco AM y M su extremo; por último tracemos los diámetros
rectangulares AA' y BB'.
Se llama seno de una arco la relación de la perpendicular bajada del extremo del
arco sobre el diámetro que pasa por el origen con el radio del mismo arco.
Así el seno del arco AM ó el ángulo AOM es la relación
MP
OA
Se llama tangente de un arco la relación de la perpendicular levantada en el
extremo del radio trazado por el origen y comprendida entre este origen y la
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prolongación del radio que pasa por el extremo de este arco, con el radio de este
arco.
Así, la tangente del arco AM ó del ángulo AOM es la relación
AT
OA
Se llama secante de un arco la relación de la parte de la recta OA, comprendida
entre el centro O y la tangente trazada en la extremidad del arco, con el radio de
este arco.
Así la secante del arco AM ó del ángulo AOM es la razón
OT '
.
OA
Se puede observar que OT=OT'.
Se llama coseno, cotangente, cosecante de un arco, el seno, la tangente y la secante
de su complemento.
Así el coseno del arco AM es la relación
MQ
, siendo MQ la perpendicular bajada
OB
desde el extremo del arco sobre el diámetro que pasa por el origen de los
complementos.
La cotangente del arco AM, es la relación
BS
, siendo BS la perpendicular
OB
levantada en el extremo del radio trazado por el origen de los complementos y
comprendida entre este origen y la prolongación del radio que pasa por el extremo
del arco.
La cosecante del arco AM es la razón
OS '
, siendo MS' la tangente trazada en M.
OB
Observación: Fácilmente, podemos notar que, las nuevas definiciones del seno,
coseno y tangente son idénticas a las dadas anteriormente.
LINEAS TRIGONOMETRICAS
Se conviene finalmente en tomar como longitud el radio OA del círculo
considerado. Desde luego, las seis relaciones trigonométricas del arco AM, o del
ángulo AOM se reducen a sus numeradores. Estos numeradores, son las medidas
de segmentos de rectas que toman el nombre de líneas trigonométricas.
Las definiciones que anteceden pueden entonces reemplazarse por las siguientes:
1) El seno de un arco, es el segmento de la perpendicular bajada del extremo del
arco sobre el diámetro que pasa pro el origen.
2) la Tangente de un arco es el segmento de la tangente, trazada al arco en su
origen, comprendido entre este origen y la prolongación del radio que pasa por el
extremo del arco.
3) Secante de un arco, es el segmento del diámetro del origen comprendido entre el
centro del arco y el extremo de la tangente trazada en el extremo del arco.
4) Coseno de un arco es la distancia del centro al pié del seno.
5) Cotangente es el segmento de la tangente trazada al círculo en el origen de los
complementos, comprendido entre este origen y la prolongación del radio que
pasa por el extremo del arco.
6) Cosecante es el segmento del diámetro de los complementos comprendido entre
el centro O y la tangente trazada en el extremo del arco.
Observación: Es conveniente tener presente que, el seno, el coseno, etc., son
números abstractos y no segmentos.
TEOREMA 1: Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del
radio del círculo considerado.
5
M'
M
O
P
A
P'
A'
Dem: Sea un ángulo AOM medido por el arco AM=α, descrito desde el vértice O
como centro, con el radio OA=1, y por todo otro arco A'M' descrito desde el mismo
centro con un radio cualquiera OA'=R.
Bajamos sobre OA las perpendiculares MP, M'P'; tenemos que: ∆OPM∼∆OP'M', por
lo tanto
MP
OP
OM
=
=
M 'P' O'P' O'M '
es decir
sin α cosα 1
=
=
M ' P ' OP ' R
de donde
sin α =
M 'P'
OP '
, y cosα =
R
R
Luego, cualquiera que sea el radio R, sinα es igual a la razón
igual a
M 'P'
y cos α es
R
OP '
R
Para el resto de las razones se procede de igual modo.
SIGNOS DE LAS LINEAS TRIGONOMÉTRICAS
Siendo toda línea trigonométrica un segmento de recta perpendicular a uno de los
ejes rectangulares OA, OB y teniendo su origen sobre este eje, se le atribuye el
signo + o el signo -, conforme a lo siguiente:
Todo segmento perpendicular al diámetro BB' es positivo a la derecha de este
diámetro y negativo a la izquierda.
Todo segmento perpendicular al diámetro AA' es positivo arriba de este diámetro
y negativo abajo.
Así, el seno de un arco es positivo cuando este arco termina en el 1º o en el 2º
cuadrante y negativo cuando termina en el tercer o cuarto cuadrante.
La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante y negativa en el segundo y
cuarto.
El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante y negativo en el segundo y
tercero.
La secante de un arco es siempre del mismo signo que su coseno; la cotangente es
del mismo signo que su tangente; y la cosecante del mismo signo que su seno.
6
RELACIONES ENTRE LAS LINEAS TRIGONOMETRICAS DE CIERTOS
ARCOS.
Inscribamos el círculo trigonométrico en un rectángulo M,M',M'',M''' cuyos lados
sean paralelos a los diámetros rectangulares AA',BB'. Este rectángulo se llama
rectángulo trigonométrico. Al construir las líneas trigonométricas de los arcos que
terminan en cada uno de los cuatro vértices M,M',M'',M'' se concluye que las líneas
del mismo nombre son iguales en valor absoluto. Entre las numerosas
consecuencias que se desprenden de esta observación, las siguientes son
particularmente útiles.
ARCOS QUE DIFIEREN DE UN NUMERO ENTERO DE CIRCUNFERENCIAS.
Dos arcos del mismo origen, que difieren de un número entero de circunferencias,
acaban en el mismo punto, luego tienen las mismas líneas trigonométricas.
Cualquiera que sea el arco α y el número entero k, se puede escribir:
sin(2kπ+α) = sin α
cos(2kπ+α) = cosα
tan(2kπ+α) = tanα
cot(2kπ+α) = cotα
sec(2kπ+α) = secα
csc(2kπ+α) = cscα
ARCOS SUPLEMENTARIOS
Dos arcos suplementarios AM y AM', tienen sus extremos simétricos con respecto
al diámetro BB'; luego, sus líneas trigonométricas son iguales y de signos contrarios
a excepción del seno Mp = M'P' y de las cosecantes OS=OS' que son iguales y del
mismo signo, por lo que se tiene:
sin(π-α) = sinα
csc(π-α) = cscα
cos(π-α) = -cosα
sec(π-α) = -secα
tan(π-α) = -tanα
cot(π-α) = -cotα
Por lo tanto, si se reemplaza un arco por su suplemento las líneas trigonométricas
conservan su valor absoluto y cambian de signo, a excepción del seno y la
cosecante que conservan su signo
ARCOS QUE DIFIEREN EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA.
Dos arcos AM y AM' que difieren en una semicircunferencia tienen sus extremos
diametralmente opuestas; por lo tanto sus líneas trigonométricas son iguales y de
signos contrarios a excepción de la tangente AT y la cotangente BS que son iguales
y del mismo signo, luego, se tiene:
sin(π+α) = -sinα
csc(π+α) = -cscα
cos(π+α) = -cosα
sec(π+α) = -secα
tan(π+α) = tanα
cot(π+α) = cotα.
Luego, si se agrega a un arco, o si resta de un arco una semicircunferencia, las
líneas trigonométricas conservan su valor absoluto y cambian de signo, a
excepción de la tangente y la cotangente.
ARCOS IGUALES Y DE SIGNOS CONTRARIOS.
Dos arcos iguales y de signos contrarios AM y AM', tienen sus extremos M y M'
simétricos con respecto al diámetro AA'; sus líneas trigonométricas, serán iguales
7
en valor absoluto y de signo contrarios, a excepción del coseno OP y de la secante
OT=OT' que son iguales y del mismo signo. Así podemos escribir:
sin(-α) = -sinα
csc(-α) = -cscα
cos(-α) = +cosα
sec(-α) = +secα
tan(-α) = -tanα
cot(-α) = -cotα.
Luego, si se cambia el signo de un arco, las líneas trigonométricas conservan su
valor absoluto y cambian de signo, a excepción del coseno y la secante.
REDUCCION DE UN ARCO AL PRIMER CUADRANTE
Reducir un arco al primer cuadrante, es encontrar un arco comprendido entre 0° y
90° cuyas líneas trigonométricas sean iguales en valor absoluto a las del arco dado.
Para reducir al primer cuadrante un arco dado α, sí este arco es mayor que 360°, se
divide primeramente por 360 lo que da un cuociente entero y un resto R menor que
360°. El cuociente entero, indica cuantas circunferencias enteras contiene el arco
dado, el resto informa en que cuadrante termina este arco, y por lo tanto cuales son
los signos que tienen estas líenas trigonométricas.
Sí el resto es menor que 90°, este es el arco buscado cuyas líneas trigonométricas
son iguales en valor absoluto a las de α.
Sí α es un arco del segundo cuadrante se resta 180°, la diferencia π-α, es el arco
pedido.
Sí α es un arco del tercer cuadrante se le resta 180°, el exceso α-π, es el arco pedido.
Sí α es un arco del cuarto cuadrante se le resta 360°, la diferencia 2π-α, es el arco
pedido.
Ejemplos: Reducir al primer cuadrante:
a) 1860°
1860:360=5
60
Luego la línea trigonométrica de 1860° reducida al primer cuadrante es igual a 60°.
b) 1575°
1575:360=4
135
y 180°-135°=45°.
Luego la línea trigonométrica de 1875° reducida al primer cuadrante es igual a 45°.
c) 930°
930:360=2
210
y 210° - 360° = 30°
Luego la línea trigonométrica de 930° reducida al primer cuadrante es igual a 30°.
d) 705°
705:360=1
345
y 360°-345°=15°
Luego la línea trigonométrica de 705° reducida al primer cuadrante es igual a 15°.
8
FORMULAS TRIGONOMÉTRICAS
I. RELACIONES ENTRE LAS LINEAS TRIGONOMETRICAS DE UN MISMO
ARCO.
B
S
T
M
Q
P
A'
A
O
M'
M''
Fórmulas fundamentales:
Entre las seis líneas trigonométricas de un mismo arco, existen 5 relaciones
distintas que son las fórmulas fundamentales de la trigonometría.
Sea un arco AM=α.
Construyamos sus seis líneas trigonométricas. El triángulo rectángulo OMP, da:
MP² + OP² = OM²
ó
sin²α + cos²α = 1
Los triángulos semejantes OAT y OPM, dan:
AT OA OT
=
=
PM OP OM
ó
tan α
1
secα
=
=
sin α cosα
1
de donde obtenemos: tan α =
sin α
cosα
Los triángulos semejantes OBS y OPM nos permiten escribir:
BS OB OS
=
=
OP PM OM
ó
cot α
1
cscα
=
=
cosα sin α
1
De les relaciones precedentes podemos deducir que:
a) secαcosα = 1
b) cscαsinα = 1
de donde,
9
1
,
cosα
1
cscα =
sinα
secα =
y
FORMULAS QUE DE AQUI SE DEDUCEN
Combinando entre sí las fórmulas elementales se puede establecer un gran número
de otras relaciones entre las seis líneas trigonométricas de un mismo arco.
Así obtenemos:
a) tanαcotα = 1
ó cot α =
o también
1
tan α
tan α =
1
cot α
b) Dividiendo los dos miembros de la identidad de Pitágoras por
i) cos²α, obtenemos:
1 + tan²α = sec²α
ii) sin²α, obtenemos:
1 + cot²α = csc²α
Explicación de las líneas trigonométricas de un arco en función de una de ellas.
Por medio de las cinco fórmulas fundamentales, se puede calcular todas las líneas
trigonométricas de un arco en función de una de ellas.
1) Calcular cosα y tanα en función de sinα
La identidad de Pitágoras nos da inmediatamente:
cosα = ± 1 − sin 2 α
sin α
y ya que tan α =
, tenemos:
cosα
tan α =
sin α
± 1 − sin 2 α
Fácilmente podemos explicar el signo ±. El seno, dado determina dos arcos que
terminan en dos puntos M y M' simétricos con respecto al diámetro BB'. Además
los arcos terminados en M y en M' tienen cosenos iguales y de signos contrarios,
tangentes iguales y de signos contrarios. Luego, dado el sinα, el arco α puede
terminar en M o en M'; de manera que el valor de cosα y el de tanα están
determinados en valor absoluto, pero no en signo.
Ejercicios:
1) Calcular sinα y tanα en función de cosα
2) Calcular sinα y cosα en función de tanα.
Ejercicios:
Demostrar las siguientes identidades.
1) tan α sin α + cosα = secα
10
solución
sin α
sin α + cosα =
cosα
sin 2 α
+ cosα =
cosα
sin 2 α + cos 2 α
=
cosα
1
=
cosα
secα =
2)sin 3 α + cos3 α = ( sin α + cosα )(1 − sin α cosα )
demostración: ejercicio
3) ( tan α − sin α ) + (1 − cosα ) = ( sec 2 α − 1)
2
2
2
1 + tan 2 α ⎛ 1 − tan 2 α ⎞
4)
=⎜
⎟
1 − cot 2 α ⎝ 1 − cot 2 α ⎠
5)csc 4 α − 1 = 2cot 2 α + cot 4 α
PROYECCION DE UN CONTORNO POLIGONAL EXPRESADA POR MEDIO
DE LAS FUNCIONES CIRCULARES.
Teorema: La medida de la proyección de un segmento es igual a la longitud del
segmento, multiplicada por el coseno del ángulo que forman las direcciones
positivas del eje y del segmento.
B
C
A
A
Z
C
D
D
Z
B
A'
B'
B'
A'
X
Dem:
Sea A'B' la proyección de AB sobre X'X, por el origen del segmento, tracemos la
semirrecta AZ // X'X. Sea C la intersección de AZ con la proyectante BB'.
Desde el origen A como centro, tracemos la circunferencia que tiene a AB como
radio. Esta circunferencia corta a la semirrecta AZ en un punto D que se toma
como origen de los arcos.
Cuatro casos pueden presentarse según la posición ocupada por el punto B, en el
1º, 2º, 3º ó 4º cuadrante; pero en todos los casos el ángulo ZAB tiene la misma
medida que el arco DB y según la definición del coseno se tiene siempre en
magnitud y en signo:
11
cos ( ∠ZAB ) =
AC
, de donde
AB
AC = ABcos(<ZAB).
SUMA DE ARCOS
F
B
D
C
E
I
A'
P
A
B'
El problema de la suma de los arcos tiene por objeto, calcular el seno, el coseno o la
tangente de la suma de dos arcos conociendo el seno, el coseno o la tangente de
estos arcos.
a) sin(α+β) y cos(α+β) en función de seno y coseno de cada uno de los arcos α y β.
Partiendo del origen de los arcos, llevamos uno a continuación del otro y cada uno
en su propio sentido, los arcos AC=α, CD = β. Unamos OC y OD; bajamos DI ⊥OA
y finalmente, trazamos las semirrectas IE, IF respectivamente paralelas a las
direcciones positivas de los diámetros A'A y B'B. Teniendo los dos contornos OPD
y OID igual resultante, sus proyecciones sobre un eje cualquiera, son iguales entre
sí. Podemos entonces escribir:
pr.OP + pr.OD = pr.OI + pr.ID.
(*)
Tomando como eje de proyección el diámetro BB', tenemos:
pr.OP = 0, pr PD = sin(α+β)
pr.OI = OIcos(<BOI) = OIcos(π/2 - α) = cosβsinα
pr.ID = IDcos(<FID) = IDcosα= sinβsinα
Teniendo en cuenta estos valores y la relación (*), tenemos
sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα.
b) Sí elegimos el diámetro AA' por eje de proyección, se tiene
pr.OP = cos(α+β), pr.PD = 0
(**)
pr.OI = OIcos(<AOI) = OIcosα = cosαcosβ
pr.ID = IDcos(<EID) = ID co(π/2-α) = -sinαsinβ
Nuestra relación (**), se convierte entonces en:
cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ.
c) sin(α-β) y cos(α-β), en función de los cosenos y senos de los arcos α y β.
Aplicamos las fórmulas generales ya demostradas a los arcos α y -β.
Teniendo en cuenta que:
cos(-β) = cos β, y sin(-β) = - sinβ, obtenemos:
sin(α-β) = sinαcosβ - sinβcosα
cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ.
d) Cálculo de tan(α±β) en función de tanα y tanβ.
12
La fórmula fundamental aplicada al arco (α+β) da:
tan (α + β ) =
sin (α + β )
cos (α + β )
desarrollando los términos, se tiene
tan (α + β ) =
sin α cos β + cosα sin β
cosα cos β − sin α sin β
Para obtener tangentes, dividamos el numerador y el denominador por el producto
cosαcosβ, resulta:
sin α sin β
+
cosα cos β
tan (α + β ) =
sin α sin β
1−
cosα cos β
es decir tan (α + β ) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
por otro aplicando la fórmula a los arcos α y -β, se obtiene:
tan (α - β) = tanα - tanβ
1 + tanαtanβ
Observación: Ya sabemos que tan45º = 1, luego para este caso nuestras fórmulas
precedentes se transforman en:
tan(45º+β) = 1 + tanβ
1 - tanβ
tan(45º - β) = 1 - tanβ
1 + tanβ
Ejemplos:
Expresar sin(α+β+γ) y cos(α+β+γ) en función de los senos y cosenos de los arcos α,
β, γ.
Solución:
sin (α + β + γ ) = sin ⎡⎣(α + β ) + γ ⎤⎦
= sin (α +β ) cos γ + sin γ cos (α + β )
= (sinα cosβ +cosα sinβ )cos γ + sin γ ( cosα cos β − sin α sin β )
= sinα cosβ cosγ + cosα sin β cos γ + sin γ cosα cos β − sin γ sin α sin β
FORMULAS DE MULTIPLICACION.
1) Calcular sin2α, cos2α, tan2α, conociendo el valor de sinα, cosα y tanα.
En las fórmulas de adición, hagamos β=α, entonces:
a) sin2α = sin(α+α) = sinαcosα+cosαsinα
= 2sinαcosα
b) cos2α = cos(α+α) = cosαcosα - sinαsinα
= cos²α - sin²α
c) tan2α = tan(α+α) = tanα + tanα
1-tanαtanα
= 2tanα
13
1 - tan²α
Ejemplos:
a) Expresar cada línea trigonométrica del arco 2α, en función de la línea del mismo
nombre.
b) calcular sin3α, cos3α y tan3α, en función de sinα, cos α y tanα.
Observación:
Las fórmulas anteriores, lo mismo que las relaciones fundamentales, son
identidades, es decir que se cumplen para cualquier valor del arco considerado.
Por ejemplo, haciendo α = α/2 en las fórmulas, tenemos:
sinα = 2sinα/2cosα/2
cosα = cos²α/2 - sin²α/2
tanα = 2 tanα/2
1 - tan²α/2
FORMULAS DE DIVISIÓN
El objeto de éstas fórmulas es dar el valor de sinα/2, cosα/2, tanα/2, conociendo el
valor de sinα, cosα y tanα
a) sin
α
2
y cos
α
2
en función de cosα.
Conociendo el valor de cosα, calcularemos sin
α
2
α
2
y cos
α
2
. Reemplazando α por
en la fórmula respectiva y en la identidad de Pitágoras, obtenemos el siguiente
sistema de dos ecuaciones:
α
sin 2
+ cos 2
2
cos 2
α
2
− sin 2
α
2
α
2
=1
= cosα
Sumando y restando miembro a miembro, obtenemos:
2cos 2
2sin 2
α
2
α
2
= 1 + cosα
= 1 − cosα
de donde obtenemos:
cos
sin
α
2
α
2
=±
1 + cosα
2
=±
1 − cosα
2
b) tan
α
2
, en función de cosα. Dividiendo miembro a miembro las fórmulas
obtenidas anteriormente, obtiene:
14
tan
α
=±
2
c) sin
α
2
1 − cosα
1 + cosα
y cos
α
2
en función de sinα.
dado seno α se quiere calcular sin
α
y cos
2
α
2
. Reemplazando α por
α
2
en:
sin 2α = 2sin α cosα y en la primera fórmula fundamental, obtenemos el
siguiente sistema de ecuaciones:
sin 2
α
2sin
2
α
2
+ cos 2
cos
α
2
α
2
=1
= sin α
Sumando y luego restando miembro a miembro estas dos ecuaciones se obtiene el
sistema equivalente:
α⎞
⎛ α
⎜ sin + cos ⎟ = 1 + cosα
2
2⎠
⎝
2
α⎞
⎛ α
⎜ sin − cos ⎟ = 1 − sin α
2
2⎠
⎝
2
que podemos escribir:
α
(
(
1
± 1 + cosα ± 1 − sin α
2 2
α 1
cos = ± 1 + cosα − 1 − sin α
2 2
sin
d) tan
α
2
=
)
)
en función de tanα.
Reemplazando α por
α
2
en la fórmula, se obtiene la ecuación:
tan α =
Despejando tan
α
2
2 tan
α
2
1 − tan 2
α
2
, obtenemos:
tan
α
2
=
−1 ± 1 + tan 2 α
tan α
tanα
Siendo el producto de las raíces de la ecuación igual a -1 cualquiera que sea tanα,
se tiene siempre dos raíces reales, inversas una de la otra y de signos contrarios.
FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN EN PRODUCTOS.
El objeto de estas fórmulas, es transformar en un producto una suma de senos, de
cosenos o de tangentes.
1) Transformar en producto sinα ± sinβ
Haciendo α = A + B, y β = A -B, de donde
15
α=
entonces
A+ B
2
β=
A− B
2
sin α ± sin β = sin (α + β ) ± sin (α − β ) .
Las igualdades anteriores se convierten respectivamente en:
sin α + sin β = 2sin A cos B
*
es decir
⎛ A+ B⎞
⎛ A− B⎞
sin α + sin β = 2sin ⎜
⎟ cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
y
sinα - sinβ = 2cos A sin B
es decir
**
⎛ A+ B⎞ ⎛ A− B⎞
sin α − sin β = 2cos ⎜
⎟ sin ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Observación: Las fórmulas anteriores permiten subsistir permiten subsistir a la
suma algebraica de dos senos el doble producto de un seno por un coseno.
Las relaciones * y ** pueden escribirse:
2sin a cos b = sin(A + B) + sin(A - B)
2cos a sen b = sin(A + B) - sin(A - B)
las cuales sirven para sustituir el producto de un seno y de un coseno por la suma
algebraica de dos senos.
Ejemplo:
1) Transformar la expresión:
sin α + sinβ
sinα - sinβ.
2) Transformar la expresión sinα ± cosβ
sinα ± sinβ = sinα ± sin(π/2 -β)
aplicando las fórmulas:
⎛α − β π ⎞
⎛α + β π ⎞
+ ⎟ cos ⎜
− ⎟
sin α ± sin β = 2sin ⎜
4⎠
4⎠
⎝ 2
⎝ 2
⎛α − β π ⎞ ⎛α + β π ⎞
+ ⎟ sin ⎜
− ⎟
sin α − cos β = 2cos ⎜
4⎠ ⎝ 2
4⎠
⎝ 2
Transformar en producto: cosα ± cosβ
Hacemos α = A + B y β = A - B
de donde A =
α+β
2
y
B=
α−β
2
Luego cosα ± cosβ = cos(A + B) ± cos(A - B)
Como se tiene
cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB
cos(A - B) = cosAcosB +sinAsinB
las igualdades anterior se convierten respectivamente en:
cosα+cosβ = 2cosAcosB
es decir:
⎛ A+ B⎞
⎛ A− B⎞
cosα + cos β = 2cos ⎜
⎟ cos ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
y cosα-cosβ = -2sinAsinB
16
es decir
⎛ A+ B⎞ ⎛ A− B⎞
cosα − cos β = −2sin ⎜
⎟ sin ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Transformar tanα ± tanβ
Reemplazando cada tangente, en función de seno y coseno y sumando las
fracciones obtenidas, se tiene:
tan α ± tan β =
sin α sin β sin α cos β ± cosα sin β
±
=
cosα cos β
cosα cos β
es decir:
tan α ± tan β =
sin (α ± β )
cosα cos β
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
Hemos visto que a todo punto del círculo trigonométrico, le asociamos un único
ángulo.
Definición: Se define la función
seno : → x → sinx
cos : R → R
x
cosx
y también
tan : R → R
x tanx
de igual modo se pudren definir las otras funciones, cot, sec y cosec
y
Por otro lado dado que las funciones trigonométricas no son inyectivas y por lo
tanto no son biyectivas, es conveniente restringirlas para que lo sean. Es habitual
elegir:
sin : [-π/2,π/2] → [-1,1]
x
sinx
cos: [0,π] → [-1,1]
x
cosx
ellas son biyectivas y por lo tanto son invertibles. Llamamos a sus inversas
Arcoseno y Arcocoseno y se definen como:
Arsin : [-1,1] → [-π/2,π/2]
x
Arcsinx
Arccos : [-1,1] → [0, π]
x
Arccosx
De igual modo se definen las funciones inversas de la tangente( Arcotangente), de
la secante, Arcosecante y de la cosecante (Arcocosecante).
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Def: Una ecuación trigonométrica, es una igualdad que contiene una o varias líneas
trigonométricas de arcos desconocidos y que se verifica solo para los valores
particulares de dichos arcos.
Resolver una ecuación trigonométrica, es determinar los valores del arco
desconocido.
17
ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA.
Método general: El método más general para resolver una ecuación con una
incógnita consiste en reducirla a una ecuación algebraica, tomando una línea
trigonométrica por incógnita auxiliar.
1) Se elige por incógnita, ya sea una línea trigonométrica del arco desconocido, o
una línea trigonométrica de un múltiplo o de un submúltiplo de este arco, o de
cualquier arco cuyo conocimiento traería consigo el arco pedido.
2) se reemplazan en función de la incógnita adoptada todas las otras líneas
trigonométricas que figuran en la ecuación.
3) Por medio de los procedimientos ordinarios del álgebra se resuelve la ecuación
final con respecto a la incógnita auxiliar y se discuten las raíces tomando en cuenta
las condiciones de magnitud a las cuales está sujeta esta línea trigonométrica.
4) Cada una de las raíces aceptables, produce una ecuación trigonométrica simple
de una de las formas:
sinx = a
cosx = b
tanx = c
Se determina por medio de la table de valores ( o de una calculadora), un ángulo
que verifique cada una de estas ecuaciones, después de lo cual las fórmulas de los
arcos que tienen una línea trigonométrica dada, permiten escribir todas las
soluciones.
Ejemplo:
Resolver la ecuación:
3tan²x + 5 = 7
cosx
Método 1.
Tomamos como incógnita cosx y reemplazamos tanx, en función de cosx, por lo
tanto la ecuación se transforma en:
3(1-cos²x) + 5 = 7
cos²x
cosx
2cos²x - 7cosx + 3 = 0
cos²x
2cos²x - 7cosx + 3 = 0
Esta ecuación tiene como raíces 3 y 1/2
La primera se descarta ya que es mayor que la unidad.
La ecuación entonces equivale a:
cosx = 1/2
Esta ecuación se verifica para x=60º, y en consecuencia para todos los arcos
comprendidos en la fórmula:
x= 2kπ ± π/3
Método 2.
Reemplazamos cosx en función de tanx, la ecuación, entonces se convierte en:
3tan²x + 5 = ±√(1+tan²x
pero esta ecuación no es equivalente a la propuesta, ya que con las soluciones de
ésta, admite todavía las soluciones de la ecuación:
3tan²x+5 = - 7
cosx
Elevando al cuadrado los dos miembros, llegamos a la ecuación:
9tan4x -19tan²x - 24 = 0
de donde sacamos:
tanx = ± √19±√1225
18
desechando las raíces imaginarias,
tanx = ±√3
18
de donde finalmente
x= kπ ± π/3
Siendo esencialmente positivos los primeros miembros de las ecuaciones y siendo
sus segundos miembros de signos contrarios, una solución comprendida en las
fórmulas finalmente encontradas convierten a las ecuaciones (1) o (3) según que
ella haga positivo a cosx o -cosx, es decir, según que el coseno del arco
considerado, sea positivo o negativo.
Ahora bien, los arcos comprendidos en las fórmulas (4) terminan en cuatro puntos
del círculo trigonométrico, respectivamente situados en cada uno de los cuatro
cuadrantes. Los arcos:
(2k+1)π ± π/3
cuyos extremos caen en el segundo y tercer cuadrante tienen sus cosenos negativos
y deben ser desechados. Los arcos:
2kπ ± π/3 terminados en el primer y tercer cuadrante, son los únicos que la
satisfacen.
Ejercicios:
Resolver las ecuaciones trigonométricas:
1) 2cosx + 3 = 4 cosx
2
S={4kπ ± 2π/3}
2) 3(1-cosx) = sin²x
S={2kπ}
3) sin3x = sinx
S={kπ, (2kπ1)π/4}
Aplicaciones:
Resolver la ecuación
1) asinx + bcosx = c
2) atanx + bcotx = c
3) acos x + bcos(α-x) = m
SISTEMAS DE ECUACIONES
1) Resolver el sistema:
x+y = a
sinx + siny = m /
(1)
(2)
La ecuación (1) puede escribirse
2 sin(x+y)cos(x-y) = m
2
2
de donde se saca teniendo en cuenta (1)
cos(x-y) = m
(3)
2sina/2
Esta última ecuación, exige que:
-1 ≤ m
≤ 1
2sina/2
m²
≤ 1
19
4sin²a/2
es decir:
m² ≤ 4sin²a/2
Sí se satisface esta condición, la ecuación (3) determina un ángulo α = x-y
2
que se obtiene con la calculadora, en seguida se transforma en la ecuación
algebraica
x-y = 2kπ ± α
(4)
2
Además la ecuación (1) puede escribirse:
x+y = a
(5)
2
2
Sumando y luego restando (4) y (5) miembro a miembro, se obtiene:
x = a/2 +2kπ ±α
y = a/2 - 2kπ ± α
2) Resolver el sistema
x+y = a
sinxsiny = m /
6) x + y = a
tanxtany = m
3) x+y = a
cosx + cosy = m /
7) x +y = a
tanx = p
tany q
4) x+y = a
cosx = p
cosy q________/
5) x + y = a
tanx + tany = m
ECUACIONES DONDE INTERVIENEN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS
1) Resolver la ecuación
⎛ ⎛ 3 ⎞⎞
arc(sin x ) = arc⎜ cos⎜⎜
x ⎟⎟ ⎟
⎜
⎟
2
⎠⎠
⎝ ⎝
Esta ecuación expresa que un cierto arco tiene por seno el número x y por coseno
3
x . Por la identidad de Pitágoras, esto quiere decir que la suma de los
el número
2
cuadrados de estos dos números es igual a 1.
Tenemos por lo tanto:
3
x2 + x = 1
2
1
con raíces x=-2 y por x=
2
Pero para que se acepte como raíz, debe tenerse
3
x2 ≤ 1 y
x ≤ 1 , es decir
2
2
−1 ≤ x ≤
3
2)
⎛ 1 ⎞ π
arctan x + arctan⎜
⎟=
⎝ x +1⎠ 4
20
Hagamos α = arctanx, de donde tanα = x,
y β = arctan 1 , de donde tanβ = 1 .
x+1
x+1
La ecuación puede entonces escribirse como:
α + β = π/4
tomando tangentes a los dos lados
tan(α + β ) = tanπ/4
tanα + tanβ = 1
1 - tanαtanβ
es decir
1
1
+
x x +1 = 1
1
1−
x( x + 1)
que se reduce a
x² - x - 2 = 0, que tiene como raíces a x = 2 y x = -1
VARIACIONES Y GRAFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
Siendo P un punto que se mueve en el sentido positivo en el círculo trigonométrico
partiendo desde A, varía continuamente de 0º a 360º
TABLA DE VARIACIONES
Cuando α aumenta desde
sinα
0º a 90º
90º a 180º
crece
crece
de 0 a 1
decrece
180º a 270º
270º a 360º
decrece
de 1 a 0
0 a -1
-1 a 0
♦
cosα decrece
crece
de 1 a 0
♦
tanα crece
de o a ∞
♦
cot
♦
sec
decrece
crece
0 a -1
-1 a 0
0a1
crece
de -∞ a 0
crece
de 0 a ∞
crece
de-∞ a0
decrece
decrece
de +∞ a 0
decrece
decrece
de 0 a -∞
de +∞ a o
de0a-∞
crece
de 1 a +∞
crece
de -∞ a -1
decrece
de -1 a -∞
decrece
de+∞ a1
crece
crece
decrece
♦
cosecα decrece
21
de +∞ a 1
de 1 a +∞
de -∞ a -1
de-1a-∞
♦
GRAFICO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En la siguiente tabla, los valores del ángulo x están dados en radianes.
x
sinx
cosx
tanx
cotx
secx
0
1,00
0
±∞
1,00
0,50
0,87
0,58
1,73
1,15
0,71
0,71
1,00
1,00
1,41
0,87
0,50
1,73
0,58
2,00
1,00
0
±∞
0
±∞
0,87
-0,50
1,73
-0,58
-2,00
0,71
-0,71
-1,00
-1,00
-1,41
0,50
-0,87
-0,58
-1,73
-1,15
0
-1
0
±∞
-1,00
±
-0,5
-0,87
0,58
1,73
-1,15
-
-0,71
-0,71
1,00
1,00
-1,41
-
-0,87
-0,50
1,73
0,58
-2,00
-
-1,00
0
±∞
0
±∞
-
-0,87
0,50
-1,73
-0,58
2,00
-
-0,71
0,71
-1,00
-1,00
1,41
-
-0,50
0,87
-0,58
-1,73
1,15
-
0
1,00
0
±∞
1,00
±
cosecx
0
∞
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
∞
7π/6
2,00
5π/4
1,41
4π/3
1,15
3π/2
1,00
5π/3
1,15
7π/4
1,41
11π/6
2,00
2π
∞
♦
±
2,00
1,41
1,15
1,002
1,15
1,41
2,00
CURVA GENERAL DEL SENO
La amplitud (máxima ordenada) y el período (longitud de onda) de la función y =
sinx son respectivamente 1 y 2π. Para un valor dado el valor de y = asinx, con a >0,
es a veces el valor de y=sinx. Así, la amplitud de y = asinx es ay el período es 2π.
22
dado que, cuando bx = 2π, x=2π/b, la amplitud de y =sinbx, con b>0 es 1 y el
período es 2π/b.
Luego para la curva y = asin(bx+c), se tiene que la amplitud es a y el período es (2π
-c)/b.
Para la curva y acos(bx+c), la amplitud es a y el período es (2π-c)/b
COMPOSICION DE CURVAS SINUSOIDALES
Formas más complicadas de movimientos de ondas son obtenidas combinando dos
o más curvas sinusoidales. El método de suma se hace sumando las ordenadas
correspondientes.
Ejemplo: Graficar y = sin3x + cos2x.
RESOLUCION DE TRIANGULOS EN LOS CASOS ELEMENTALES.
Resolver un triángulo, es calcular sus elementos desconocidos por medio de los
elementos dados. Tal es el objeto principal de la Trigonometría.
Todo triángulo, contiene seis elementos principales: tres lados (a,b,c) y tres ángulos
(α, β,γ). Un triángulo, está determinado cuando se conocen tres de sus elementos,
entre ellos un lado a lo menos.
TRIANGULOS RECTANGULOS
Relaciones entre los elementos principales de un triángulo rectángulo.
Teorema: En todo triángulo rectángulo, cada cateto es igual a la hipotenusa
multiplicada por el seno del ángulo opuesto al lado que se busca, o por el coseno
del ángulo adyacente a este mismo lado.
Demostración:
B
c
a
A
b
C
Sea el triángulo rectángulo ACB. Con A como centro y con AB radio describimos
un arco de circunferencia, se tiene de acuerdo a la definición que:
sinα = BC = a
AB c
de donde a = csinα
Por ser α y β complementarios, se tiene que:
sinα = cosβ, luego a =ccosβ
de igual modo
b=csinα y b=csinα
Teorema: En un triángulo rectángulo, cada cateto es igual al otro multiplicado por
la tangente del ángulo opuesto al cateto buscado o por la cotangente del ángulo
adyacente este mismo lado.
Demostración:
23
Sí del punto A como centro y AC como radio se describe un arco de circunferencia,
se tiene de acuerdo a la definición que:
tanα = BC = a
AC b
de donde
a=btanα
por ser α y β complementarios se tiene:
tanα = cotβ, luego a=bcotβ
del mismo modo Estos dos teoremas, bastan para resolver un triángulo
b=atanβ y b=acotα
o rectángulo agregando la relación c²=a²+b².
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
La resolución de triángulos rectángulos puede presentar cuatro casos, según se
conozca:
a) la hipotenusa y un ángulo agudo
b) un cateto y un ángulo agudo
c) la hipotenusa y un cateto
d) los dos catetos.
a) Sí se conoce la hipotenusa c y el ángulo agudo β.
El ángulo α se calcula como el complemento de β, es decir α = 90º -β
El primer teorema da para los catetos:
a=ccosβ, y b=csinβ
La superficie es S = ab/2, o bien sustituyendo los valores de a y b
S= c²sinβcosβ = c²sin2β
2
4
b) Sí se conoce uno de los catetos (b) y uno de los ángulos agudos (β)
El ángulo α es el complemento de β, luego α = 90º - β
El primer teorema dá b=csinβ, luego
c= b
sinβ
El segundo teorema da a=bcotβ.
La superficie es S=ab/2, sustituyendo
S=b²cotβ
2
c) Sí se conoce la hipotenusa c y un cateto b
Se sabe que:
sinβ = cosα = b/c
El cateto a se determina por a=√c²-b²
La superficie es S=ab/2, sustituyendo
S=b√(c+b)(c-b)
2
d) Se conocen los dos catetos a y b
Los ángulos agudos se determinan por:
tanβ = cotα = b/a
c, puede calcularse por c=√a²+b², o bién c=b/sinα
La superficie es S=ab/2
TRIANGULOS OBLICUOS
24
Teorema: (de los senos): En todo triángulo los lados son entre sí como los senos de
los ángulos opuestos.
Dem:
C
C
a
b
a
hc
b
hc
A
D
A
B
c
c
B
Sea el triángulo ABC. Bajemos por el vértice C una perpendicular hc, al lado
opuesto; esta perpendicular cae sobre c (o su prolongación).
En el primer caso los triángulos ACD y DCB, dan:
hc=bsinα, y hc=asinβ, de donde
bsinα = asinβ ó
a = b
sinα sinβ
En el segundo caso, los ángulos en A tienen el mismo seno por ser suplementarios,
luego:
hc=bsinα = asinβ, de donde
a = b
sinα sinβ
De igual modo, obtenemos:
a = c
sinα sinγ
Por lo tanto:
a = b = c
sinα sinβ
sinγ
Teorema: (del coseno) : En todo triángulo, el cuadrado de un lado, es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ellos por el
coseno del ángulo que forman.
Dem:
C
C
a
a
b
hc
b
hc
A
D
c
B
D
a) Sí α es agudo, se tiene que:
a² = b² + c² -2cAD
Como AD=bcosα, resulta que a² = b² + c² -2bccosα.
25
A
c
B
b) Sí α es obtuso, se tiene que:
a² = b² + c² + 2cAD
AD=bcosCAD ó -bcosα, luego
a² = b² + c² - 2bccosα.
Este teorema da las tres relaciones siguientes entre los seis elementos de un
triángulo:
a² = b² + c² - 2bccosα
b² = c² + a² - 2accosβ
(1)
c² = a² + b² - 2abcos γ
Teorema (de las proyecciones): Cada lado de un triángulo es igual a la suma
algebraica de las proyecciones de los otros dos lados sobre la dirección del
primero.
Dem:
Se sabe que:
pr. BC = pr.BA + pr. AC
Tomando la recta BC como eje de proyección resulta que:
a = bcosγ + ccosβ, de igual modo
b = acosγ + ccosα
(2)
c = acosβ + bcosα
Observación: Sí añadimos a la relación de los senos la relación que existe entre los
ángulos de un triángulo, se obtiene:
a = b = c
sinα sinβ
sinγ
(3)
α + β + γ = 180º
Teorema: Existe un triángulo que tiene por lados a,b,c.
En efecto, siendo cosα superior a -1, se tiene que:
b² + c² -2bc cosα < b² + c² + 2bc, es decir
a² <(b+c)²
ó a² - (b+c)² < 0
ó (a+b+c)(a-b-c) < 0, pero como a+b+c > 0, tenemos que:
a-b-c < 0, de donde
a<b+c
Del mismo modo, se puede probar que:
b<a+c
c<a+b
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALQUIERA.
La resolución de un triángulo cualquiera, presenta cuatro casos elementales según
se dé:
a) Un lado y dos ángulos
b) Dos lados y el ángulo comprendido.
c) Los tres lados
d) Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
a) Resolver un triángulo conociendo un lado "a" y los ángulos α y β.
Las tres incógnitas, determinan tres ecuaciones:
α + β + γ = 180º
a = b = c
sinα sinβ sinγ
de acá sacamos:
α = 180º - (β + γ)
26
b = asinβ,
c = asinγ
sinα
sinα
La primera fórmula exige β+γ < 180º, y en este caso el problema tiene solución
única.
Area:
el área del triángulo, es igual al semiproducto de la base a por la altura ha.
Tenemos:
S= aha
2
Del triángulo rectángulo BAD sacamos que ha = csinβ; reemplazando, c por su
valor:
ha = asinγsinβ
sinα
luego:
S= a²sinγsinβ
2sinα
o reemplazando sinα por su igual sin(β+γ)
S= a²sinγsinβ
2sin(β+γ)
b) Resolver un triángulo, conociendo dos lados a y b y el ángulo comprendido γ.
Las incógnitas se determinan por las tres ecuaciones:
α + β + γ = 180º
a = b = c
sinα sinβ
sinγ
Se calcula primero los ángulos α y β por medio de:
su suma α + β = 180º - γ, y
la razón de sus senos:
sinα = a
sinβ b
Buscamos la diferencia (α-β); la segunda ecuación puede escribirse:
sinα - sinβ = a-b
sinα + sinβ a+b
ó tan(α - β)
2
= a-b
tan(α + β)
a+b
2
de donde tomando en cuenta la primera ecuación y notando que:
tan(α+β) = tan(90º - γ/2) = cotγ/2, resulta
2
tan(α-β) = a-bcotγ/2
2 a+b
*
Conociendo (α+β)/2 y (α-β)/2 se deduce α y β por adición y sustracción.
Y, si los ángulos son conocidos, se tiene el lado c por el teorema de los senos:
c=asinγ
**
sinα
Siempre podemos suponer que "a" designan el lado mayor, entonces la fórmula *
da para (α-β)/2 un sólo valor menor que 90º. La fórmula ** da para c un valor
positivo. Por lo tanto el problema admite un única solución.
Cálculo directo del lado c:
Se puede calcular usando el teorema del coseno.
27
Teorema (del área): El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos
lados por el seno del ángulo que comprenden.
dem:
A
b
c
hc
B
C
a
S= aha , en el triángulo DAC, se tiene que ha=bsinγ, luego
2
S = absinγ
2
c) Resolver un triángulo, conociendo los tres lados a,b,c.
Cada uno de los ángulos se determina por una de las ecuaciones del teorema del
coseno:
cosα = b² + c² - a²
2bc
cosβ = a² + c² - b²
2ac
cosγ = a² + b² - c²
2ab
Vamos a transformar estas fórmulas por medio de las relaciones: Por ejemplo,
tomemos la primera:
2cos²α/2 = 1+cosα, y 2sin²α/2 = 1-cosα
Reemplazamos en ellas el valor encontrado para el coseno. De la primera, se
obtiene:
2cos²α/2 = 1 + b² + c² - a² = b² + 2bc + c² - a²,
2bc
2bc
ó
2cos²α/2 = (b+c)² - a² = (b+c+a)(b+c-a)
2bc
2bc
de donde cosα/2 = √(b+c+a)(b+c-a)
4bc
Designando por 2s el perímetro del triángulo, se tiene que:
a+b+c = 2s
b+c-a= 2(s-a)
a+c-b= 2(s-b)
a+b-c= 2(s-c)
Por lo tanto:
cosα/2 = √s(s-a), y
cosβ/2 = √s(s-b), y cosγ/2 = √s(s-c)
bc
ac
ab
La segunda relación dá análogamente:
2sin²α/2 = 1 _ b² + c² - a² = a² - b² - c² + 2bc
2bc
2bc
ó
2sin²α/2 = a² - (b+c)² = (a+b-c)(a+c-b)
28
2bc
2bc
de donde:
sinα/2 = √(a+b-c)(a+c-b)
4bc
ó
sinα/2 = √(s-b)(s-c)
bc
igualmente, se obtiene
sinβ/2 = √(s-a)(s-c)
ac
sinγ/2 = √(s-a)(s-b)
ab
Area:
El área la podemos calcular usando la fórmula de Herón:
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)
o también expresando la superficie por:
S=bcsinα, reemplazando sinα por 2sinα/2cosα/2 , se tiene que
2
S=bcsinα/2cosα/2
Por otra parte hemos visto que:
sinα/2 = √(s-b)(s- c)
y cosα/2 = √s(s-a)
bc
bc
luego S=bc√s(s-a)(s-b)(s-c) = √s(s-a)(s-b)(s-c)
(bc)²
Discusión:
Buscamos las condiciones de posibilidad, es decir las relaciones que deben existir
entre los lados a,b,c para que de ahí se puedan determinar los ángulos α, β y γ.
Para que exista un ángulo α/2comprendido entre 0º y 90º que satisfaga la fórmula
cosα/2 = √s(s-a)
bc
es preciso que se tenga
0 < s(s-a) < 1
bc
La desigualdad puede escribirse sucesivamente como
s(s-a) > 0
ó
s-a > 0
es decir
b+c-a > 0
y finalmente a < b+c
La segunda desigualdad puede escribirse sucesivamente
(b+c+a)(b+c-a) < 1
4bc
(b+c)² - a² < 4bc
(b+c)² - a² < 0
es decir
(b-c+a)(b-c-a) < 0
El primer miembro es una función de segundo grado en b, para que sea negativa,
es decir de signo contrario al coeficiente de b², es preciso y basta que b sea interior
a las raíces
c-a < b < c+a
lo que a la vez exige que:
c < a+b y b < a+c.
En resumen, basta que cada lado sea menor que la suma de los otros dos(condición
de existencia de un triángulo)
29
De igual modo se procede con el sinα/2 = √(s-b)(s-b)
bc
Finalmente es preciso que se tenga que:
s-a > 0 de donde a < b+c
s-b > 0 de donde b < a+c
s-c > 0 de donde c< a+b.
d) Resolver un triángulo, dados los lados a y b y el ángulo α, opuesto a uno de
ellos.
Las ecuaciones:
a
=
b
= c
sinα
sinβ
sinγ
α + β + γ = 180º
dan sucesivamente:
sinβ = bsinα
(1)
a
γ = 180º - (α+ β)
(2)
y finalmente
c = asinγ
(3)
sinα
y la superficie se calcula por
S = absinγ
2
Discusión:
La fórmula (1), cuyo segundo miembro es positivo, exige que
bsinα ≤ 1
a
ó a ≥ bsinα
Sí a < bsinα, el problema no tiene solución.
Sí a=bsinα, las fórmulas (1), (2) y (3) , dan sucesivamente
β = 90º, γ = 90º - α y c=bcosα
esta solución solo es aceptable cuando el ángulo α es agudo.
En esta hipótesis existe un solo triángulo que satisface el problema. Este triángulo
es rectángulo en β.
Sí α > bsinα, la fórmula (1) dá para el ángulo β dos valores suplementarios
comprendidos entre 0º y 180º: un ángulo β' agudo y un ángulo β'' obtuso.
Pero estos ángulos solo son aceptables cuando los valores correspondientes del
ángulo γ y del lado c son ambos positivos.
Por otra parte, reemplazando β por el valor β' después por el valor β'', las fórmulas
(2) y (3) dan sucesivamente.
γ'=180º-(α+β') y c' = asinγ'
sinα
después
γ'' = 180º - (α+β'') y c'' = asinγ''
sinα
Para que sirva la primera solución, debe tenerse que α+β' < 180º, ya que esta
condición trae consigo:
sinγ' > 0 y c' > 0
del mismo modo la segunda relación conviene si se tiene
α+ β'' <180º.
suponiendo esto, distinguiremos dos casos:
a) α < 90º
Entonces el ángulo β' conviene siempre porque evidentemente, se tiene que:
α+β' < 180º
el ángulo obtuso β'' no conviene sino cuando se tiene que:
α+β'' < 180º ó α<180º-β'',
30
es decir siendo agudos los ángulos α y 180º-β''
sinα < sin(180º-β'')
sinα < sinβ''
o todavía sinα < bsinα
a
lo que nos da finalmente
a<b
Por lo tanto cuando el ángulo α es agudo, el problema tiene dos soluciones o una
solución , según que el lado opuesto a α sea menor o mayor que el lado adyacente.
b) α > 90º. Entonces el ángulo obtuso β'' no conviene nunca puesto que la suma α+
β'' pasa de 180º.
El ángulo agudo β' no conviene sino cuando se tiene
α+β' < 180º ó α < 180º -β'
es decir, siendo obtusos los ángulos α y 180º -β'
sinα > sin(180º - β'')
ó
sin α > sinβ'
ó todavía
sinα > bsinα
a
o finalmente
a > b.
Por lo tanto, cuando el ángulo α es obtuso, el problema no puede tener más que
una solución, y esta solución no existe sino cuando el lado opuesto a α es mayor
que el lado adyacente dado.
El siguiente cuadro resume esta discusión, cuyos resultados todos están conformes
a los encontrados en la Geometría.
a < bsinα
a=bsinα
a > bsinα
0 solución
1 solución
⎧ α < 90º
⎨
⎩ α ≥ 90º
α < 90º
⎧
⎨
⎩ α > 90º
0 solución
⎧a<b
⎨
⎩a≥b
⎧ a≤ b
⎨
⎩ a>b
2 soluciones
1 solución
0 solución
1 solución
Este caso de resolución se llama caso dudoso porque puede tener 0,1 ó 2 soluciones
APLICACIONES A PROBLEMAS DE LEVANTAMIENTO DE PLANOS.
PROBLEMA Nº 1: Determinar la distancia de un punto accesible A a otro punto
inaccesible C.
Solución:
Se elige arbitrariamente y se mide sobre el terreno una base de operación AB.
Consideremos el triángulo ABC. Sean α =<CAB y β = < CBA
Se puede entonces calcular AC conociendo el lado AB y los dos ángulos
adyacentes.
Por ser el ángulo en C igual a 180º - (α+β), la relación de los senos
AC = AB
sinβ
sinγ
luego,
31
AC = AB sinβ
sin(α+β)
Observación : sí existe un obstáculo tal que el punto C sea invisible para el
observador se puede reducir al siguiente problema:
PROBLEMA Nº 2 : Determinar la distancia de dos puntos inaccesibles C y D.
Solución:
El método consiste en determinar las distancias de un punto accesible A a los dos
puntos C y D, en medir el ángulo A del triángulo ACD y resolver en seguida el
triángulo ACD conociendo dos lados y el ángulo que forman.
Se mide en la región accesible, una base AB y los ángulos formados con esta base
por los rayos visuales dirigidos de los puntos A y B hasta los puntos C y D.
Se calculan las distancias AC y AD en los triángulos ABC y ABD, en los que se
conocen los ángulos y el lado común AB.
Sí los cuatro puntos A,B,C,D, están en el mismo plano, el ángulo CAD es la
diferencia de dos ángulos conocidos DAB y CAB. En caso contrario que es lo más
general se mide directamente este ángulo CAD.
Entonces se puede calcular la distancia desconocida CD en el triángulo ACD, en el
que se conocen dos lados y el ángulo que forman.
CALCULO DE
TRIÁNGULO.
LOS
ELEMENTOS
SECUNDARIOS
DE
UN
1) Radio del círculo inscrito:
Sean D,E,F los puntos de contacto del círculo inscrito con los lados AB, BC,CA. Los
triángulos OAD, OBE, OCF, dan:
ρ = ADtanα/2 = BEtanβ/2 = CFtanγ/2.
Pero AD=(AD+BE+CE)-BC = s-a;
BE=s-b
CF=s-c
luego:
ρ=(s-a)tanα/2 = (s-b)tanβ/2 = (s-c)tanγ/2.
2. Radio del círculo circunscrito
Teorema: en todo triángulo, la razón de cada lado al seno del ángulo opuesto es
igual al diámetro del círculo circunscrito.
Dem:
32
A
A'
B
C
Trazando el diámetro BA' del círculo circunscrito y uniendo CA'. El triángulo
rectángulo BA'C dá:
BC = 2rsinA'
Pero el ángulo A' es igual al ángulo α, así:
a = 2rsinα
Luego:
2r = a
= b = c
sinα
sinβ
sinγ
3. ALTURAS.
Igualando entre sí dos expresiones del área del triángulo, y reemplazando b y c en
función de a y de los ángulos, se tiene:
a) 2S = aha = bcsinα = asinβ asinγ sinα
sinα sinα
de donde:
ha = asinβsinγ
sinα
de igual modo:
hb = bsinαsinγ
sinβ
hc = csinαsinβ
sinγ
b) 2S = aha = bhb = chc = 2√s(s-a)(s-b)(s-c)
Estas ecuaciones dan inmediatamente cada altura en función de los tres lados.
c) Los triángulos rectángulos determinados por las alturas dan:
ha = bsinγ = csinβ,
hb=asinγ = etc.
4. TRANSVERSALES DE GRAVEDAD
33
A
b
c
C
M
B
H
b'
A'
Sí prolongamos la transversal AM=ta de una longitud MA'igual a sí misma, el
ángulo ABA' es igual a 180º -α, y el triángulo ABA' permite escribir:
AA'² = 4ta² = b² + c² +2bccosα
Los triángulos AMC y AMB dan todavía
ta² = b² + a² - abcosγ = c² + a² - accosβ
4
4
Finalmente se demuestra en geometría la fórmula:
b² + c² = 2(ta² + a²/4)
de donde se puede obtener el valor de ta en función de los lados.
5. BISECTRICES INTERIORES DEL TRIÁNGULO.
Sean bα, bβ y bγ estas bisectrices. La bisectriz bα determina dos triángulos
parciales cuya suma de áreas es igual a la del triángulo ABC. Se tiene:
2S = bαcsinα/2 + bβbsinα/2 = bcsinα
de donde:
bαsinα(c+b) = bcsinα
2
suprimiendo el factor sinα/2 tenemos:
bα = 2bc cosα/2
b+c
o reemplazando cosα/2 en función de los tres lados:
bα = 2bc √s(s-a) = 2 √s(s-a)bc
b+c
b+c
del mismo modo:
bβ = 2ac cosβ/2 = 2 √s(s-b)ac
a+c
a+c
bγ = 2ab cosγ/2 = 2 √s(s-c)ab
a+b
a+b
EXPRESION DE LOS ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN
DE LOS ANGULOS Y DEL RADIO DEL CIRCULO CIRCUNSCRITO.
1) LADOS:
Las relaciones:
a
=
b
=
c , dan inmediatamente:
34
sinα
sinβ
sinγ
a = 2rsinα
b = 2rsinβ
c = 2rsinγ
2) ALTURAS
Teniendo en cuenta estas últimas, las fórmulas:
ha = bsinγ
hb = asinγ
hc = bsinα
se convierten en :
ha = 2rsinβsinγ
hb = 2rsinαsinγ
hc = 2rsinβsinα
3) SUPERFICIE
Las relaciones precedentes, permiten escribir:
S = aha = 2r²sinαsinβsinγ
2
4) BISECTRICES
Reemplazando cada lado por su valor, se tiene:
bα = 2bc cosα/2 = 8r²sinβsinγcosα/2
b+c
2r(sinβ + sinγ)
Pero:
sinβ + sinγ = 2sin(β+ γ) cos(β - γ) = 2cosα/2 cos(β - γ)
2
2
2
Luego:
bα = 2rsinβsinγ
cos(β-γ)
2
bβ = 2rsinγsinα
cos(γ-α)
2
bγ = 2rsinαsinβ
cos(α-β)
2
5) SEMIPERIMETRO Y DIFERENCIAS.( s-a, s-b, s-c)
Considerando las fórmulas:
a = 2rsinα
b = 2rsinβ
c = 2rsinγ
se tiene
2s = a+b+c = 2r(sinα + sinβ + sinγ)
de donde reemplazando la suma de los seno por un producto:
s = 4rcosα/2cosβ/2cosγ/2.
del mismo modo
2(s-a) = b+c-a = 2r(sinβ + sinγ - sinα ), luego
s-a = 4rcosα/2sinβ/2sinγ/2
s-b = 4rsinα/2 cosβ/2sinγ/2
35
s-c = 4rsinα/2sinβ/2cosγ/2
6) RADIO DEL CIRCULO INSCRITO
Considerando las fórmulas ya obtenidas, la expresión del radio del círculo inscrito
es:
ρ = (s-a)tanα/2 = 4rcosα/2sinβ/2sinγ/2tanα/2
ó
ρ = 4rsinα/2 sinβ/2sinγ/2.
36