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ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
13
CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA
19
Corriente eléctrica. Ecuación de continuidad. Primera ley de Kirchhoff.
Ley de Ohm. Ley de Joule. Fuerza electromotriz. Segunda ley de Kirchhoff.
Asociación de resistencias. Análisis de redes. Métodos de análisis de circuitos.
Teoremas de redes.
CIRCUITOS CON CORRIENTE VARIABLE
97
Componentes. Circuito R - L serie. Circuito R - C serie. Circuito R - L
- C serie.
CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
125
Función sinusoidal. Análisis de componentes pasivos. Análisis del circuito
R - L serie. Análisis del circuito R - C serie. Análisis del circuito R - C serie.
Análisis del circuito R - L - C serie. Asociación de impedancias. Potencia.
Análisis con frecuencia variable.
ANÁLISIS DE REDES
179
Métodos de análisis. Teoremas de redes. Cuadripolos.
A RELACIONES MATEMÁTICAS
243
B TABLAS
249
Bibliografía
253
GLOSARIO
255
128
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
Vamos a estudiar el comportamiento de circuitos eléctricos en el caso
de que se aplique una tensión de forma sinusoidal. Se supone, que tanto el
generador o fuente como los componentes del circuito, son lineales.
Estudiar el comportamiento de un circuito sometido a una tensión o
voltaje sinusoidal es la forma más sencilla de analizar los fenómenos estacionarios en un circuito eléctrico.
Existen generadores de tensión periódica no sinusoidal. Cuando este tipo
de voltaje se aplica a un circuito su respuesta es muy compleja, pero pueden
analizarse los resultados partiendo de que todo voltaje periódico puede representarse mediante una serie de Fourier en la que cada término es de forma
sinusoidal. Por esta razón interesa estudiar el comportamiento de circuitos
cuando se les aplican tensiones sinusoidales, ya que los resultados son aplicables tanto al caso sinusoidal como al periódico no sinusoidal.
3.1.
FUNCIÓN SINUSOIDAL
La expresión general de una onda sinusoidal viene dada por cualquiera
de las siguientes funciones:
() =  sin( − )
() =  cos( − )
(3.1)
(3.2)
 es la amplitud,  es la pulsación o frecuencia angular y  es el
ángulo de fase. En la figura 3.1 se representa esta señal, indicando sus
parámetros principales.
El periodo  de la señal viene dado por,
2
1
 =
=


Donde  es la frecuencia de la señal, que es la inversa del periodo  .
 se mide en rad/s ;  en s y  en hertzios (Hz ó c/s).
El valor medio de la función es
Z
1 
   =  =
 sin( − )  = 0
(3.3)
 0
3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL
y el valor eficaz:
 =
µ
1

Z
0

129
¶12

[ sin( − )] 
=√
2
2
(3.4)
Figura3.1
Al hablar de corriente alterna (c. a.), se entiende que nos referimos a
corriente alterna de tipo sinusoidal. Fundamentalmente esto es así porque
la onda seno o coseno es la que se obtiene en los generadores de c.a. (alternadores) de las centrales eléctricas y constituye además la base de la
producción, transporte y distribución de la energía eléctrica.
Además, desde el punto de vista de la teoría de circuitos la onda sinusoidal presenta las siguientes ventajas:
Se puede diferenciar e integrar repetidamente y seguir siendo una sinusoidal de la misma frecuencia
La suma de ondas sinusoidales de igual frecuencia, pero de amplitud
y fase arbitrarias es una sinusoide de la misma frecuencia, lo cual es
interesante para aplicar las leyes de Kirchhoff.
Admite una representación de tipo exponencial y esto a su vez, como
veremos más adelante, permite operar con vectores giratorios denominados fasores, que admiten una representación en el plano complejo.
Por ello los circuitos de c.a. utilizan como base operativa los números
complejos.
Además, se ha de destacar que según el desarrollo en serie de Fourier, cualquier función periódica puede representarse como una suma de
ondas sinusoidales de diferentes frecuencias. Este análisis puede extenderse incluso a señales no periódicas y discretas empleando la integral
de Fourier.
130
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
3.1.1.
Representación compleja de una magnitud sinusoidal
Las funciones sinusoidales
1 () =  sin( − )
2 () =  cos( − )
Se pueden considerar como el resultado de proyectar un vector giratorio
sobre los ejes de coordenadas del plano complejo. Para mostrar esto en la
−→
figura 3.2 se ha dibujado un vector  de módulo  que forma con el eje
real un ángulo . Sus componentes serán por tanto:
−→
 =  cos  −  sin 
(3.5)
−→
 = −
(3.6)
El vector complejo se puede representar, teniendo en cuenta la relación
de Euler, de forma exponencial,
Figura 3.2
Ahora bien, si este vector gira en sentido contrario a las agujas del reloj
a una velocidad angular  (rad/s), en un instante , medido a partir de la
−→
posición inicial , habrá recorrido un ángulo  que, unido al inicial 
supondrá un recorrido angular total dado por
 =  − 
Sus componentes, en dicho instante , son
−→
 =  cos ( − ) +  sin ( − )
O bien, en forma exponencial
−→
 = −(−)
(3.7)
(3.8)
3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL
131
La posición correspondiente se ilustra en la figura 3.3. Como podemos
−→
observar en esta figura, la proyección en el eje real del vector giratorio 
viene dada por
i
h
Re (−) =  cos ( − )
(3.9)
i
h
Im (−) =  sin ( − )
(3.10)
−→
La proyección sobre el eje imaginario del vector giratorio  es
En la figura 3.3 se muestran ambas proyecciones, real e imaginaria, que
corresponden a las funciones coseno y seno respectivamente. El vector gira−→
torio  se puede representar también
−→ ¡ − ¢ 

 = 
La parte entre paréntesis representa la posición del vector en  = 0,
mientras que el término  cuyo módulo es la unidad, indica el movimiento
del vector. Dicha parte se denomina fasor y se trata, como hemos visto, de
un vector cuyo origen es siempre el origen de coordenadas. Por este motivo
se representa también con una letra mayúscula y en negrita:
A = −
(3.11)
Podemos ver que conocido el módulo de un fasor y su fase, la evolución
sinusoidal queda determinada por el factor  
Puesto que un fasor es un número complejo, admite también la representación en forma polar:
A = ∠ − 
(3.12)
La representación fasorial permite ver con sencillez el desfase entre diferentes señales sinusoidales e interpretar geométricamente las operaciones efectuadas sobre las magnitudes que representan.
Las relaciones entre los valores eficaces y el máximo de la tensión y
corriente sinusoidal, teniendo en cuenta la ecuación (3.4) son,
 =
√
2
y
 =
√
2
En la práctica de la ingeniería eléctrica, dado que los voltímetros y amperímetros miden valores eficaces, se representan los fasores con los valores
132
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
eficaces.
Figura 3.3
Por ejemplo, los valores instantáneos de una tensión y una corriente,
donde  e  son los valores eficaces de tensión y corriente respectivamente,
se representan por,
() =  cos ( −  )
() =  cos ( −  )
Teniendo "in mente"que la amplitud de la señal es, respectivamente 
e 
Los fasores asociados serán.
V =  ∠ − 
;
I = ∠ − 
Cuya representación se muestra en la figura 3.4a. Obsérvese que ambos
fasores, al girar a la misma velocidad angular  siempre tendrán la misma
posición relativa. El desfase de los fasores de esta figura es  =  −   lo
que indica que la tensión se adelanta a la corriente (o la corriente se retrasa
a la tensión). En muchos casos es conveniente tomar una de las señales como
3.2. ANÁLISIS DE COMPONENTES PASIVOS
133
referencia de fases, lo que simplifica el cálculo con los números complejos.
Por ejemplo, en la figura 3.4b se ha tomado la tensión como referencia. El
desfase entre ambos vectores giratorios sigue siendo el mismo.
Figura 3.4
En lo que sigue utilizaremos los valores eficaces para la representación
de los fasores.
3.2.
ANÁLISIS DE COMPONENTES PASIVOS
Dominios del tiempo y de la frecuencia
Vamos a analizar la respuesta en el dominio del tiempo y en el dominio de
la frecuencia de los tres elementos pasivos simples: resistencia, inductancia
y capacidad. Supongamos que conocemos la corriente que circula por estos
elementos y que es de la forma
() =  cos ( −  )
Se trata de calcular la tensión en bornes en cada uno de ellos, que será
también de tipo sinusoidal
() =  cos ( −  )
La solución será encontrar los valores  y  en función de los valores
conocidos para la corriente y del parámetro pasivo de que se trate.
Las expresiones fasoriales de la tensión y la corriente son:
V =  − =  ∠ − 
;
I = − = ∠ − 
Hemos tomado los valores eficaces,  e , te tensión y corriente. A partir
de estas expresiones y conociendo las relaciones entre la tensión y la corriente
134
CAPÍTULO 3. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
para cada elemento pasivo, podremos determinar su respuesta sinusoidal.
3.2.1.
Resistencia
De acuerdo con la ley de Ohm, se cumple
() = ()
Sustituyendo los valores temporales por su representación exponencial,
 (− ) = (− )
Como en los dos miembros tenemos el factor común  , la relación en
el dominio del tiempo se transforma en el dominio de la frecuencia
en la siguiente relación fasorial,
 − = −
V = I
(3.13)
Figura 3.5
Aplicando la igualdad de números complejos se deduce que,
 = 
y
 = 
Por consiguiente, la tensión en bornes de la resistencia en el dominio del
tiempo es,
() =  cos ( −  )
(3.14)