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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1 – ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
2
Llamamos ecuación de segundo grado con una incógnita a toda ecuación de la forma general ax +bx+c = 0
donde “a”, “b” y “c” son números conocidos.
Ejemplos :
2
2
2x - 8 = 0,
2
-3x + 5x – 9 = 0
4x – 6x = 0
Llamamos raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado a los valores x1 y x2, si es que existen de
la incógnita x, para los que la igualdad es cierta.
Ejemplo :
2
x1 = -3 y x2 = 4 son las raíces o soluciones de la ecuación 2x – 2x –24 = 0 porque:
2
2·(-3) - 2·(-3) – 24 = 18 + 6 – 24 = 0
2
2·4 – 2·4 –24 = 32 – 8 – 24 = 0
Dependiendo de los valores de a, b o c podemos clasificar las ecuaciones de segundo grado en 4 tipos:
2
1 Si b = c = 0
ax = 0
2 Si c = 0
ax + bx = 0
3 Si b = 0
ax + c = 0
4 Si a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0
ax + bx + c = 0
2
Incompletas
2
2
Completas
ACTIVIDADES
2
1)
¿Es x = 3 solución de la ecuación x -x-12 = 0?
2)
¿Es x = 2 solución de la ecuación x -2x = 0?
3)
¿Es x = 4 solución de la ecuación 2x -18 = 0?
4)
¿Es x = 4 solución de la ecuación x -x-12 = 0?
2
2
2
2
2 – RESOLUCIÓN DEL TIPO ax = 0
Ejemplo :
2
Resolver la ecuación -5x = 0 x = 0
2
2
-5x = 0 x =
0
2
x =0x=
−5
0 x=0
2
La solución de toda ecuación del tipo ax = 0 es x = 0
2
3 – RESOLUCIÓN DEL TIPO ax + bx = 0
Ejemplo :
2
Resolver la ecuación 2x – 5x = 0
x=0
2
2x – 5x = 0 x(2x – 5) = 0
2x – 5 = 0 2x = 5 x =
2
Las soluciones de toda ecuación del tipo ax + bx = 0 son x1 = 0 y x2 =
Ecuaciones de 2º grado - 1
5
2
−b
a
2
4 – RESOLUCIÓN DEL TIPO ax + c = 0
2
Ejemplo :
Resolver la ecuación 2x – 8 = 0
x=2
8
2
2
2
2
x =4x=
2x – 8 = 0 2x = 8 x =
2
4
x=-2
2
Ejemplo :
Resolver la ecuación 3x + 6 = 0
2
2
−6
2
x =-2x=
3
2
3x + 6 = 0 3x = - 6 x =
− 2 no tiene solución
2
Las soluciones de toda ecuación del tipo ax + c = 0 son :
−c
−c
−c
1 - Si
> 0 x1 =
y x2 = a
a
a
−c
2 - Si
< 0 La ecuación no tiene solución
a
ACTIVIDADES
5)
Resuelve las siguientes ecuaciones:
2
2
a) –3x = 0
2
g) x +4x = 0
2
b) x -5x = 0
c) 9x -1 = 0
2
I) 2x -18 = 0
2
h) 6x = 0
2
e) 2x +6x = 0
2
k) x -4 =0
d) 2x +8 = 0
j) 3x +6 = 0
2
2
2
f) 4x -9 = 0
2
l) 2x -8x = 0
2
5 – RESOLUCIÓN DEL TIPO ax + bx + c = 0
2
Las soluciones de toda ecuación del tipo ax + bx + c = 0 son :
2
1 - Si b – 4ac < 0 La ecuación no tiene solución
2
2 - Si b – 4ac = 0 x =
−b
2a
2
3 – Si b – 4ac > 0 x1 =
Ejemplo :
− b + b2 − 4ac
2a
y x2 =
− b − b2 − 4ac
2a
2
Resolver la ecuación x + 2x + 3 = 0
2
2
b – 4ac = 2 – 4·1·3 = 4 – 12 = -8 < 0 La ecuación no tiene solución
Ejemplo :
2
Resolver la ecuación x - 2x + 1 = 0
2
2
b – 4ac = (-2) – 4·1·1 = 4 – 4 = 0 x =
Ejemplo :
2
=1
2·1
2
Resolver la ecuación 2x - 2x - 12 = 0
2
2
b – 4ac = (-2) – 4·2·(-12) = 4 + 96 = 100 > 0
x1 =
2 + 100
2 + 10
12
=
=
= 3,
2·2
4
4
Ecuaciones de 2º grado - 2
x2 =
2 − 100
2 − 10
−8
=
=
= -2
2·2
4
4
ACTIVIDADES
6)
Resuelve las siguientes ecuaciones:
2
b) x -2x+3 = 0
2
2
f) 5x -x+6 = 0
a) 3x -7x+2 = 0
2
e) 3x -5x+2 = 0
2
d) x -16x+63 = 0
2
h) –9x +12x-4 = 0
c) x +x+24 = 0
g) x -6x+5 = 0
2
2
5 – RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EN GENERAL
Para resolver ecuaciones de segundo grado en general hay que transformarlas en uno de los cuatro tipos
fundamentales, aplicando las mismas reglas que en las ecuaciones de primer grado y las operaciones con
expresiones algebraicas.
Ejemplo :
Resolver la ecuación x(x+2) = 4-x
2
2
2
x +2x = 4-x x +2x-4+x = 0 x +3x-4 = 0 y ahora se resuelve
Ejemplo :
Resolver la ecuación
x2
+ 5 = 4x2 − 2
3
x2
3x 2
2
2
2
2
+ 5 = 4x2 − 2 + 15 = 12 x 2 − 6 x +15 = 12x -6 x +15-12x +6 = 0 3
3
2
-11x +21 = 0 y ahora se resuelve
Ejemplo :
Resolver la ecuación (x+4)(x-2) = 5
2
2
2
(x+4)(x-2) = 0 x -2x+4x-8 = 5 x -2x+4x-8-5 = 0 x +2x-13 = 0
y ahora se resuelve
ACTIVIDADES
7)
Resuelve las siguientes ecuaciones:
2
2
a) x(x-1) = 4-x
b) x -2x+1 = 2x -2x-3
d) (x-3)(x+2) = 0
e) (2x-6) = 0
2
2
c) 6x +8 = 4x(x-2)
2
f) x -7 =
2x2
+ 5x
3
6 – RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Para resolver un problema mediante una ecuación de segundo grado haremos lo siguiente:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Elegir la incógnita o incógnitas.
Plantear con el enunciado del problema la ecuación.
Transformar la ecuación resultante a uno de los cuatro tipos fundamentales.
Resolver la ecuación de segundo grado.
En el caso de que la ecuación tenga dos soluciones, escoger la que esté de acuerdo con el enunciado
del problema.
Comprobar que la solución cumple las condiciones del problema.
Ejemplo :
La suma de los cuadrados de dos números positivos consecutivos es 41. ¿Cuáles son los
números?
1)
1º número = x,
2)
x +(x+1) = 41
3)
x +x +2x+1 = 41 x +x +2x+1-41 = 0 2x +2x-40 = 0
4)
b -4ac = 2 -4·2·(-40) = 4+320 = 324 > 0
2
2
2
2º número = x+1
2
2
2
2
Ecuaciones de 2º grado - 3
2
2
x1 =
− 2 + 324
−2 + 18
16
− 2 − 324
−2 − 18
−20
=
=
= 4 y x2 =
=
=
= -5
2·2
4
4
2·2
4
4
5)
Como los números tienen que ser positivos nos quedamos con la primera solución x1 = 4
por tanto los números son el 4 y el 5
6)
4 +5 = 16+25 = 41
2
2
ACTIVIDADES
8)
La suma de los cuadrados de dos números consecutivos positivos es 85 ¿Cuáles son los números?
9)
El producto de dos números consecutivos positivos es 156 ¿Cuáles son los números?
10) El cuadrado de un número positivo menos el triple del número menos 7 es 11 ¿Cuál es el número?
11) La suma de los cuadrados de tres números consecutivos positivos es 77 ¿Cuáles son los números?
12) El cuadrado de un número más la mitad de dicho número es igual al triple del número más 6 ¿Cuál es
el número?
Ecuaciones de 2º grado - 4
Manuel Balcázar Elvira
Ecuaciones de 2º grado - 5