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Matemática I: El sistema de los números reales
Lic. Yonathan Guevara Wintong
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
1.- Introducción:
2.- Propiedades básicas:
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3.- Planteamiento de proposiciones con variables reales:
Transformar en lenguaje algebraico las siguientes proposiciones:
a) La mitad de un número más 3.
b) Tres números pares consecutivos.
c) La cuarta parte más la quinta parte de un número.
d) El triple del cuadrado de un número.
e) La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos.
f) La raíz cuadrada de un número.
g) El doble de un número más 3 es igual a 15.
h) El cubo de un número es igual a 27.
i) El doble del cubo de un número.
j) El cubo del doble de un número.
4.- Ecuaciones de primer grado:
Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) con
valor desconocido.
El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. En este
tema trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incógnita.
Por pertenecer a las igualdades contiene dos miembros separados por un signo igual.
PRIMER MIEMBRO = SEGUNDO MIEMBRO
Los diferentes valores que forman cada uno de los miembros se llaman términos y se
encuentran separados por signos (+) más o (-) menos. Cada miembro puede tener más
de un término.
Por ejemplo: 3x - 2 = x + 6
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4.1 Planteamientos de problemas que dan lugar a una ecuación de primer grado
con una incógnita:
En este subtema se establece en primer lugar una comparación de los diferentes
modelos que existen para representar situaciones o fenómenos y cómo en matemáticas
también hay modelos que se expresan por medio de proposiciones lógicas y después se
transforman en ecuaciones.
Por ejemplo:
Las compañías fraccionadoras construyen una casa modelo para que los compradores la
vean y conozcan el tipo de casa que ofrecen. Ésta representa a todas las que de ese tipo
se construirán en el fraccionamiento propuesto (figura 1).
Así mismo, las compañías distribuidoras de automóviles exhiben uno que es el modelo
del año, y que representa a todos los automóviles de una marca y clase (figura 2) que se
construyeron en ese año.
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En matemáticas también hay modelos que representan diferentes situaciones o
fenómenos; estos modelos primero se expresan por medio de proposiciones lógicas y
después se transforman en ecuaciones.
Veamos el siguiente ejemplo:
Dos corredores se entrenan en una pista para correr el maratón. Si el corredor A hizo un
tiempo “x” al correr una determinada distancia y el corredor B hizo el doble del tiempo
del corredor A, menos 5 minutos, ¿qué tiempo hizo cada uno, si la suma de los tiempos
es de 40 minutos.
Proposiciones del problema:
Si el tiempo del corredor A es “x”, entonces, el tiempo del corredor B es 2x - 5, y como
la suma de los dos tiempos es 40 minutos, la relación de las proposiciones se puede
expresar así:
que es el modelo matemático del problema propuesto.
La ecuación de primer grado con una incógnita es el modelo matemático que se obtiene
al transformar una proposición lógica en una simbólica.
Ahora analiza los problemas que se plantean a continuación y compáralos con el
anterior.
1. La edad de Pedro y la de su primo suman 40 años. Si Alberto tiene el doble de la
edad de Pedro, menos 5 años, ¿qué edad tiene cada uno?
2. Para obtener 40 litros de una solución normal se mezclan dos soluciones de diferente
concentración. Si el número de litros de la solución A es el doble de litros de la solución
B, menos cinco litros, ¿cuántos litros se requieren de cada solución?.
3. A dos familias se les repartió azúcar de un bulto de 40 kg. Si la familia B recibió el
doble de kilogramos que recibió la familia A, menos 5 kg., ¿cuánto recibió cada
familia?.
4. El número de tornillos que producen dos obreros en una fábrica es de 40 por turno. Si
el obrero B produce el doble de tornillos que produce el obrero A, menos cinco,
¿cuántos tornillos produce cada uno?.
Después de analizar y comparar los problemas ¿qué similitud encuentras entre ellos?
¿responden al modelo matemático que se obtuvo del primer problema?.
En efecto, un modelo matemático puede representar a un conjunto de proposiciones
lógicas que describen problemas diferentes. Observa que en estos problemas se tienen
dos incógnitas o valores desconocidos, cuyo valor se quiere conocer. Estas incógnitas
están relacionadas de tal manera que una se puede expresar en términos de la otra.
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Actividad 1: A continuación te presentamos algunos modelos matemáticos, pero al
contrario de lo que hemos expuesto hasta aquí, invertimos el procedimiento para que
propongas por lo menos dos problemas que satisfagan cada uno de los siguientes
modelos:
Nuevamente, si analizas los problemas que se listaron en los ejemplos anteriores y los
comparas con los ejercicios que acabas de realizar, notarás que los primeros problemas
están planteados en lenguaje cotidiano y los ejercicios en lenguaje algebraico o
simbólico, Más aún, para lograr la transformación de lenguaje común a lenguaje
algebraico se observa en general el siguiente procedimiento:
PROCEDIMIENTO:
a) Leer detenidamente el problema, a fin de reflexionar sobre la información dada y
entender qué es lo que se desea obtener.
b) Identificar los datos (cantidades conocidas) y la o las incógnitas (cantidades
desconocidas o por conocer), así como las relaciones entre ellos, datos e incógnitas.
c) Separar cada una de las partes del problema, nombrando a la o a las incógnitas. Si es
una incógnita representarla con una de las últimas letras del alfabeto (u, v, w, x, y, z). En
caso de que sean dos o más incógnitas considerar una de ellas como referencia y las
demás se representan con la misma letra relacionándola con los datos correspondientes.
d) De acuerdo con las condiciones del problema, se expresa la igualdad correspondiente,
que es el modelo matemático requerido. A este modelo matemático, en estos casos, se le
conoce como ecuación de primer grado con una incógnita.
Para reafirmar este procedimiento se desarrollan los siguientes ejemplos:
1) La suma de tres números enteros consecutivos es 75. Obtener dichos números.
PROCEDIMIENTO:
¿Qué se desea conocer del problema?
a) Ya que leímos detenidamente el problema, se concluye que se desea conocer tres
números.
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¿Qué datos nos proporciona el problema?
b) Los datos son:
Nota:
En éste como en otros casos, es conveniente recordar o investigar los conceptos que se
requieren
En general, un número consecutivo “es el que sigue en el orden considerado”. Para el
problema se requiere de un “número entero consecutivo”; entonces se trata de números
consecutivos cuya diferencia entre dos contiguos es de uno.
¿Cómo se establece el modelo?
c) Se nombran y representan; en este problema, incógnitas; y se determina a la
expresión algebraica de cada una de ellas:
Nombre de las incógnitas
Representación algebraica
¿Cómo se determina el modelo algebraico?
d) Se expresa la igualdad: La suma de los tres números enteros consecutivos es 75.
2) La edad de Juan es el triple de la de Pedro y hace cinco años la edad de Pedro era un
quinto de la de Juan. Obtener las edades actuales de Juan y de Pedro.
a) Se lee detenidamente el problema: Se requiere calcular la edad de las dos personas.
b) Datos: La edad de Juan es el triple de la de Pedro. Hace cinco años la edad de Pedro
era un quinto de la de Juan.
c) Incógnitas: Edad actual de Pedro y Juan.
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Nombre de las incógnitas
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Representación algebraica
d) Se expresa la igualdad correspondiente: Hace cinco años la edad de Pedro era un
quinto de la de Juan.
Actividad 2: Expresa el modelo matemático o ecuación de primer grado de los
siguientes problemas.
1. La suma de tres números enteros consecutivos suman 81. ¿Cuáles son esos números?
2. Tres números enteros pares consecutivos suman 114. Obtener esos números.
3. La edad de Raúl es de dos tercios la edad de su padre. Si la suma de las dos edades es
110, calcula la edad de cada uno.
4. Hace 5 años la edad de Juan era la mitad de la que tendrá dentro de 7 años. ¿Cuál es
su edad actual?
5. ¿Hace cuánto tiempo la edad de Benito era el triple de la de Daniel?. Si actualmente
Benito tiene 50 años y Daniel 24.
4.2 Solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita por el método
algebraico:
En el tema anterior aprendiste a obtener los modelos matemáticos de problemas
propuestos, ahora es conveniente resolver dichos modelos para obtener la solución de
problemas.
A los modelos matemáticos que se obtuvieron en los problemas planteados, se les
conoce con el nombre de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Cualquiera de sus miembros puede tener más de un término.
La ecuación de primer grado es una igualdad, toda vez que cada miembro está separado
por el signo igual (=).
Ahora bien, hallar el valor que hace verdadera a una ecuación de primer grado con una
incógnita, es obtener la raíz de la ecuación o el conjunto solución de la misma. Para ello
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es necesario aplicar las propiedades de la igualdad y las propiedades de campo de los
números reales.
Ecuaciones equivalentes: Es cuando dos o más ecuaciones admiten las mismas
soluciones
Observa los siguientes ejemplos:
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Actividad 3:
I. Aplicando las propiedades de campo de los números reales y de la igualdad resuelve
las siguientes ecuaciones:
II. Aplicando las fórmulas o expresiones algebraicas propuestas, resuelve o despeja la
variable que se propone:
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4.3 Gráfico de ecuaciones lineales o de primer grado:
4.4 Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales:
Ecuaciones fraccionarias
En esta sección, ilustramos que al resolver una ecuación no lineal puede suceder que
esta se reduzca a una ecuación lineal. Empezamos con una ecuación fraccionaria, que es
una ecuación en que una incógnita está en un denominador.
Ejemplo: Resolución de una ecuación fraccionaria
Algunas ecuaciones que no son lineales no tienen solución. En este caso, decimos que el
conjunto solución es el conjunto vacío. El ejemplo 2 ilustra lo anterior:
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Sin embargo la ecuación original no está definida para x = -2 (no podemos dividir entre
cero), de modo que no existen raíces.
Ecuaciones con radicales:
Una ecuación con radicales es aquella en la que una incógnita aparece en un radicando.
Los dos ejemplos siguientes ilustran las técnicas empleadas para resolver tales
ecuaciones.
Ejemplo: Resolución de una ecuación con radicales
Actividad 4: Resuelve las siguientes ecuaciones:
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4.5 Resolución de problemas que dan lugar al planteamiento de una ecuación de
primer grado con una incógnita:
En los dos primeros subtemas se planteó cómo se expresa un problema en lenguaje
simbólico (algebraico), expresión que es el modelo matemático; éste a su vez, es una
ecuación con una incógnita de primer grado a la cual dimos solución. Ahora
estudiaremos el problema en su totalidad, integrando esas dos actividades.
Ejemplos:
1) Dos vendedores, A y B viven en diferentes ciudades, pero por razones de trabajo
deben encontrarse en una ciudad que está entre las dos primeras; las tres ciudades se
localizan en una misma recta. La distancia entre las dos ciudades de donde parten en
automóvil es de 640 km. Si A viaja a 70 km/h, y B a 90km/h. ¿ A qué distancia de
donde parte A se encuentra la ciudad en la que deben reunirse y en cuántas horas
llegarán, si parten al mismo tiempo?.
Solución:
Fórmula: d = vt.
Incógnitas: t y d
Distancias: dA = 70t, dB = 90t
Por las condiciones del problema:
Resolución
El tiempo que les lleva desplazarse a cada uno de los vendedores hasta el lugar de
reunión es de 4 horas.
Como el vendedor A viaja a vA = 70 km/h, entonces dA 70 km/h x 4 h = 280 km.
Distancia que recorre dB = 90 km/h. x 4 h = 360 km.
Distancia que recorre dA = 70 km/h. x 4 h = 280 km.
2) Tres obreros producen 100 piezas por turno. Si el obrero B produce el doble de
piezas que produce A menos cinco, y el obrero C produce dos tercios de lo que produce
B. ¿Cuántas piezas produce cada uno?
Solución:
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3) La edad de Juan es el triple de la de Pedro, y hace cinco años la edad de Pedro era un
quinto de la de Juan. ¿Qué edad tiene actualmente Juan y Pedro?
Solución:
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Actividad 5: Plantea las siguientes aplicaciones y resuélvelas:
1.- Cuatro amigos acordaron ahorrar, según sus posibilidades económicas, para
comprarse una carpa que cuesta S/.2100 Juan y Pedro se comprometieron en pagar cada
uno 1/4 del total. Luis se comprometió en pagar la tercera parte. El resto le correspondió
pagar a Carlos. ¿Cuánto tuvo que pagar cada uno de ellos?
2.- Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si
compra entradas de S/.8, le faltaría S/.12 y si adquiere entradas de S/.5, le sobraría
S/.15. ¿Cuántos hijos tienen el matrimonio?
3.-Tengo 56 soles entre monedas de 10 y 2 soles. Si el número de monedas de 10 soles
excede en 2 al número de monedas de 2 soles. Halle la cantidad de monedas que tengo.
4.-Para ganar S/.180 en la rifa de un televisor, se hicieron 120 boletos, vendiéndose
únicamente 75 boletos y originándose una pérdida de S/.45. ¿Cuál es el valor de dicho
televisor?
5.- Al jugar naipes con un amigo, me doy cuenta al final, de que él tiene el triple de
dinero de lo que yo tenía cuando él tenía el doble de lo que tengo. Si juntamos lo que
él tenía y lo que yo tengo, obtendríamos S/.60. ¿Cuánto tenemos entre ambos?
6.- Dos negociantes de vino ingresaron, por una de las fronteras del Perú, portando uno
de ellos 64 botellas de vino y el otro 20, todos de la misma calidad. Como no tienen
suficiente dinero para pagar los derechos de aduana, el primero paga con 6 botellas y
recibe S/.80 de vuelto y el segundo paga con 2 botellas de vino y recibe S/.40 de vuelto.
¿Cuál es el precio de cada botella?
7.- Alberto ha ahorrado S/.2300. Durante cuatro meses. En cada mes ha ahorrado S/.50
más que en el anterior. ¿Cuál fue el monto de la primera cantidad ahorrada?
5.- Ecuaciones cuadráticas:
Una ecuación cuadrática en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la
forma:
donde a, b y c son números reales cualesquiera , tales que a ≠ 0.
Una ecuación cuadrática también se conoce como ecuación de segundo grado o
ecuación de grado dos, ya que la potencia más grande que aparece en ella es la segunda.
Mientras que una ecuación lineal sólo tiene una raíz, una ecuación cuadrática puede
tener dos raíces diferentes.
Para resolver una ecuación de segundo grado es necesario simplificarla y el
primer paso es presentar el modelo cuadrático como modelo de primer grado, lo que nos
lleva a la necesidad de factorizar.
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5.1 Solución por factorización (por factores):
Para resolver factorizando una ecuación cuadrática debes recordar que la factorización
depende de la estructura algebraica. Así:
1) Si tienes la ecuación de segundo grado x2 - 3x + 2 = 0.
Ecuación cuya estructura corresponde a un trinomio cuadrático que resulta de la
multiplicación de dos binomios con un término común y que para encontrarlos se
buscan dos números cuyo producto sea 2 que es el término independiente y su suma sea
– 3 que es el coeficiente del término lineal.
Tales números son –1 y –2, por lo que la ecuación queda expresada como:(x-1) (x-2) = 0
Al factorizarla, la ecuación expresa la multiplicación de dos factores cuyo producto es
cero, proposición que nos lleva a afirmar que sólo se cumple si cualquiera o los dos
factores son iguales a cero, generando las ecuaciones:
que al despejar a la variable de las ecuaciones generadas nos lleva a obtener las raíces
de la ecuación cuadrática, es decir: si x −1 = 0 → x =1 y si x − 2 = 0 → x = 2 por lo
que se tiene que 1 y 2 son las raíces de la ecuación x2 − 3x + 2 = 0 .
2) Si tienes una ecuación de segundo grado como: 25x2 −16 = 0.
Ecuación cuya estructura corresponde a la de una diferencia de cuadrados la cual se
obtiene de la multiplicación de dos binomios conjugados y que para encontrarlos se
extrae la raíz cuadrada de 25x2 y la raíz cuadrada de 16.
Tales raíces cuadradas son 5x y 4, por lo que la ecuación queda factorizada como:
que se cumple si 5x − 4 = 0 ó 5x + 4 = 0 y que al despejar a la variable, se obtiene:
x=
por lo que se tiene que
4
5
x=−
4
5
4
4
y − son las raíces de la ecuación 25 x 2 -16 = 0.
5
5
3) Si tienes una ecuación de segundo grado como: 4x2 −12x + 9 = 0.
Ecuación cuya estructura corresponde a la de un trinomio cuadrado perfecto el cual
resulta de la multiplicación de un binomio por si mismo o al cuadrado que para
encontrarlo se extrae la raíz cuadrada de 4x2 y la raíz cuadrada de 9.
Tales raíces cuadradas son 2x y 3 y como el signo del coeficiente del término lineal es
negativo, por lo que la ecuación queda factorizada como:
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que se cumple si 2 x − 3 = 0 ó 2x − 3 = 0 y que al despejar la variable se obtiene:
x=
3
2
x=
3
2
como te podrás dar cuenta las dos raíces son iguales por lo que podemos afirmar que
3
es
2
la raíz de multiplicidad 2 de la ecuación 4 x 2 -12 x + 9 = 0.
4) Si tienes una ecuación de segundo grado como: 10x2 + 4x = 0.
Ecuación cuya estructura corresponde a la de un polinomio con un término común y que
se factoriza determinando el monomio factor común 2x y dividiendo cada término del
polinomio 10x2 + 4x entre él para obtener que el otro factor es 5x + 2, quedando la
ecuación factorizada como:
que se cumple si x = 0 ó 5x + 2 = 0 y que al despejar la variable, se obtiene:
x=0
por lo que se tiene que 0 y −
5x + 2 = 0
2
x=−
5
2
son las raíces de la ecuación 10x 2 + 4 x = 0.
5
5) Si tienes una ecuación de segundo grado como: 3x2 + 2x − 21 = 0
Ecuación cuya estructura corresponde a la de un trinomio de segundo grado, el cual
resulta de la multiplicación de dos binomios y que para encontrarlos se puede
multiplicar al coeficiente del término cuadrático 3 por el término independiente −21
cuyo producto es −63 y se buscan dos números cuyo producto sea −63 y su suma sea 2
que es el coeficiente del término lineal.
Tales números son – 7 y 9 y con ellos se expresa al término lineal utilizando estos
números como coeficientes de dos términos lineales que generan el polinomio de cuatro
términos:
3x2 − 7x + 9x − 21
este último se factoriza por agrupación, quedando la ecuación factorizada como sigue:
que se cumple si (3 x − 7) = 0 ó ( x + 3) = 0 y que al despejar la variable, se obtiene:
x=
por lo que se tiene que − 3 y
7
3
x = −3
7
son las raíces de la ecuación 13x 2 + 2 x − 21 = 0.
3
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Actividad 6: Contesta cada una de las siguientes preguntas.
1) ¿Qué es una ecuación cuadrática?
2) ¿Cuándo se considera una ecuación cuadrática completa?
3) ¿Cuándo se considera incompleta?
4) Aparte de factorizar para resolver ecuaciones cuadráticas, ¿Qué otras formas para
resolverlas conoces?
5) ¿Cuál es el número de raíces que tiene una ecuación cuadrática?
Elige la opción que corresponde a la de la respuesta correcta:
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5.2 Solución completando el trinomio cuadrado perfecto (completando cuadrados):
En ocasiones la ecuación de segundo grado no es fácil factorizarla por alguno de los
procedimientos mostrados en los ejemplos anteriores, por lo que hay que buscar otra
forma de factorizarla, lo cual se logra completando un trinomio cuadrado perfecto que
es el producto de un binomio por sí mismo, es decir, de elevar al cuadrado un binomio.
Ejemplos:
1) Si tienes una ecuación de segundo grado como: 6x2 − x −15 = 0 primero divides toda
la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático, que en este caso es 6, quedando:
enseguida completas el trinomio cuadrado perfecto para el binomio x 2 −
1
x sacando mitad
6
1
al coeficiente del término lineal, en este caso es - , lo elevas al cuadrado y lo sumas y
6
restas para obtener:
ahora ya tienes la certeza que x 2 −
1
1
x+
es un trinomio cuadrado perfecto, el cual
6
144
2
1 
1
5

puedes factorizar como  x −  y al reducir los términos independientes −
−
12
144
2


361
como −
, se tiene que la ecuación de segundo grado queda expresada como:
144
que es una diferencia de cuadrados y que al factorizarla deja a la ecuación expresada como:
que se cumple si x −
1 19
1 19
−
=0 ó x− +
= 0 y que al despejar la variable, se
12 12
12 12
obtiene:
x=
por lo que se tiene que
5
3
x=
−3
2
−3 5
y
son las raíces de la ecuación 6x 2 − x − 15 = 0.
2
3
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Actividad 7:
5.3 Solución utilizando la fórmula general:
Como sabes, existe una fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, sin
embargo, debes saber que esta fórmula proviene de resolver completando el trinomio
cuadrado perfecto y factorizando la ecuación completa general ax2 + bx + c = 0.
Así, para la ecuación ax2 + bx + c = 0, se tiene:
donde fácilmente puedes observar que: a es el coeficiente del término cuadrático, b es el
coeficiente del término lineal y c es el término independiente.
Ejemplos:
1) Si tienes la ecuación cuadrática: x2 − 3x + 2 = 0.
Si la resuelves aplicando la fórmula general, primero identificas los parámetros a, b y c
de la ecuación igualada con cero, que son en este caso: a = 1, b = - 3 y c = 2.
Enseguida sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:
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por lo que se tiene que 1y 2 son las raíces de la ecuación x 2 − 3 x + 2 = 0, valores que
coinciden con los valores obtenidos en el ejemplo 1, resuelto por factorización.
2) Si tienes la ecuación cuadrática: 25x2 − 16 = 0.
Si la resuelves aplicando la fórmula general, primero identificas los parámetros a, b y c
de la ecuación igualada con cero, que son en este caso: a = 25, b = 0 y c = -16.
Enseguida sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:
4 −4
y
son las raíces de la ecuación 25x 2 − 16 = 0, valores que
5
5
coinciden con los valores obtenidos en el ejemplo 1, resuelto por factorización.
por lo que se tiene que
3) Si tienes la ecuación cuadrática: 10x2 + 4x = 0.
Si la resuelves aplicando la fórmula general, primero identificas los parámetros a, b y c
de la ecuación igualada con cero, que son en este caso: a = 10, b = 4 y c = 0.
Enseguida sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:
−2
son las raíces de la ecuación 10x 2 + 4 x = 0, valores que
5
coinciden con los valores obtenidos en el ejemplo 4, resuelto por factorización.
por lo que se tiene que 0 y
4) Si tienes la ecuación cuadrática: x2 − 4x −7 = 0.
Si la resuelves aplicando la fórmula general, primero identificas los parámetros a, b y c
de la ecuación igualada con cero, que son en este caso: a = 1, b = -4 y c = -7.
Enseguida sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:
como te darás cuenta, nos encontramos con la raíz cuadrada no exacta, la cual no tendrá
necesidad de extraer ya que al ser un número irracional no tendrás un resultado correcto si
la aproximas por lo que se tiene que 2 + 11 y 2 − 11 son las raíces de la ecuación
x 2 − 4 x − 7 = 0.
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5) Si tienes la ecuación cuadrática: x2 − 2x + 2 = 0.
Si la resuelves aplicando la fórmula general, primero identificas los parámetros a, b y c
de la ecuación igualada con cero, que son en este caso: a = 1, b = -2 y c = 2.
Enseguida sustituyes en la fórmula general los valores identificados, quedando:
como te darás cuenta, nos encontramos con la raíz cuadrada de un número negativo la cual
no es un número real sino un número imaginario, teniendo entonces:
2 ± −4 2 ± 2i
=
2
2
2 + 2i
x=
= 1+ i
2
x=
x=
2 − 2i
= 1− i
2
por lo que se tiene que las raíces de la ecuación no son reales sino complejas, es decir, 1+ i
y 1- i son las raíces de la ecuación x 2 - 2 x + 2 = 0.
Actividad 8:
1) Al resolver la ecuación general ax2 + bx + c = 0, si b2 – 4ac > 0, en la fórmula
general.
a) Las raíces son reales y simétricas.
b) Las raíces son imaginarias y simétricas.
c) Las raíces son reales y diferentes.
d) Las raíces son imaginarias y diferentes.
2) Al resolver la ecuación general ax2 + bx + c = 0, si b2 – 4ac = 0.
a) Las raíces son reales e iguales.
b) Las raíces son reales y diferentes.
c) Las raíces son reales y simétricas.
d) Las raíces son imaginarias e iguales.
3) Al resolver la ecuación general ax2 + bx + c = 0, si b2 – 4ac < 0.
a) Las raíces son complejas
b) Las raíces son reales.
c) Las raíces son imaginarias e iguales.
d) Las raíces son enteras.
Resuelve utilizando la fórmula general, las ecuaciones:
4) x2 + 3x -10 = 0
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5) x2 + 6x + 6 = 0
6) 2x2 - 7x -15 = 0
7) 3x2 + 6x - 5 = 0
8) x2 + 4x + 5 = 0
5.4 Formulación y planteamiento de ecuaciones de segundo grado:
A partir del siguiente problema, trata de identificar las relaciones que existen entre los
datos que se te proporcionan y los resultados que debes obtener.
Ejemplos:
1) Se construye una calle que cruza en diagonal sobre un terreno rectangular, de tal
manera que éste queda dividido en dos partes iguales en forma de triángulo.
Si la longitud de la calle es de 500m., ¿cuáles son las longitudes del ancho y largo del
terreno, si ambas suman 700m.?
Iniciamos la solución usando una figura que simula al problema y donde podrás
observar que la calle divide al terreno en dos triángulos rectángulos congruentes donde
x simboliza el ancho y 700 – x al largo.
Aplicando el Teorema de Pitágoras. Tenemos:
x 2 + (700 − x 2 ) = 500 2
x 2 + 490000 − 1400 x + x 2 − 250000 = 0
2 x 2 − 1400 x + 240000 = 0
Simplificando:
x 2 − 700 x + 120000 = 0
Este modelo corresponde a una ecuación de segundo grado, la cual se resuelve fácilmente
mediante factorización para lo cual buscamos dos números que multiplicados dan 120000 y
sumados - 700, quedando:
(x - 300)(x - 400) = 0
relación que se cumple con:
x - 300 = 0 ⇒ x = 300 y con
x - 400 = 0 ⇒ x = 400
Por lo tanto las medidas de los lad os del terreno son: 300 y 400 metros.
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2) Completa lo que se señala:
Raúl Márquez quiere instalar un telón rectangular en un teatro. Si sabe que necesita 252
m2 de tela y que la altura del escenario es 10 metros menos que el doble de su ancho
¿Cuáles son las medidas de la tela que necesita?
resuelve la ecuación para lo cual te recomendamos que dividas a la ecuación entre 2 que
es el coeficiente del término cuadrático x2. Después de hacerlo la ecuación queda:
________________________
Resuélvela y da la solución del problema.
Actividad 9: Resuelve los siguientes problemas cuyo modelo es una ecuación
cuadrática.
1) ¿Cuáles son los dos números enteros cuya suma es 23 y la suma de sus cuadrados es
277?
2) Si el área de un terrero de forma rectangular es de 105 m2 ¿Cuál es su perímetro si su
largo excede 1 m. al doble de su ancho?
3) Un auditorio tiene 600 asientos. El número de asientos de cada fila es menor en 10
unidades que el doble del número de filas ¿Cuál es el número de asientos en cada fila?
4) ¿Cuáles son los factores negativos de 189 tales que su diferencia es 12?
5) El perímetro de un terreno rectangular es de 34 m. y su área de 60 m2. ¿Cuáles son
sus dimensiones?
6.- Aplicaciones en las Ciencias Empresariales:
De ahora en adelante nos referiremos a algunos términos de negocios relativos a una
compañía manufacturera. Costos fijos (o gastos generales) es la suma de todos los
costos que son independientes del nivel de producción, como renta, seguros, etc. Este
costo debe pagarse independientemente de que se produzca o no. Costo variable es la
suma de todos los costos dependientes del nivel de producción, como salarios y
materiales. Costo total es la suma de los costos variables y fijos:
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Ingreso total es el dinero que un fabricante recibe por la venta de su producto. Está
dado por:
Utilidad (o ganancia) es el ingreso total menos el costo total:
Ejemplo 1: Utilidad
La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el costo variable por unidad es
de $ 6 y el costo fijo de $ 80 000. Cada unidad tiene un precio de venta de $ 10.
Determinar el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de
$ 60 000.
Solución: Sea q el número de unidades que deben venderse. Entonces el costo variable
es 6q. Por tanto, el costo total será 6q + 80 000. Y el ingreso total por la venta de q
unidades es 10q. Ya que:
Utilidad = ingreso total - costo total
nuestro modelo para este problema es:
Por tanto, se deben vender 35 000 unidades para obtener una ganancia de $ 60 000.
Ejemplo 2: Precios
Una fábrica produce ropa deportiva para dama y está planeando vender su nueva línea
de conjuntos deportivos a detallistas. El costo para estos será de $ 33 por conjunto. Por
conveniencia del detallista, la fábrica colocará una etiqueta con el precio en cada
conjunto. ¿Qué cantidad debe ser marcada en las etiquetas de modo que el detallista
pueda reducir este precio en un 20% durante una liquidación y aún obtener una ganancia
del 15% sobre el costo?
Solución: Aquí se usa la relación
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Sea p el precio por conjunto en la etiqueta. Durante la liquidación el detallista realmente
recibe p – 0.2p. Esto debe ser igual al costo, 33, más la utilidad, (0.15) (33). De aquí
que:
Desde un punto de vista práctico, el fabricante debe marcar las etiquetas con un precio
de $ 47.44.
Ejemplo 3: Renta de un departamento
Una compañía de bienes raíces es propietaria del conjunto de departamentos Parklane,
el cual consiste en 96 departamentos, cada uno de los cuales puede ser rentado en $ 550
mensuales. Sin embargo, por cada $ 25 mensuales de aumento en la renta, se tendrán
tres departamentos desocupados sin posibilidad de que se renten. La compañía quiere
recibir $ 54 600 mensuales de rentas. ¿Cuál debe ser la renta mensual de cada
departamento?
Solución: Suponga que n es el número de incrementos de $ 25. Entonces el aumento en
la renta por departamento será 25n y habrá 3n departamentos sin rentar. Como:
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