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TEORÍA DE
CIRCUITOS I
Ingeniería de Telecomunicación
Centro Politécnico Superior
Curso 2009 / 10
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
COLECCIÓN DE
EJERCICIOS
1 Aspectos Fundamentales de la
Teoría de Circuitos
Problema 1.1. (*) En cada uno de los dispositivos representados en la figura calcular la intensidad de la corriente que lo atraviesa, la tensión
entre sus terminales y la potencia que disipa.
Problema 1.2. (*) Encontrar en el subcircuito siguiente el valor de las intensidades i1, i2, y del voltaje v.
i2
3A
i1
2A
+
v
-
5A
Problema 1.3. (*) Determinar en los siguientes circuitos el número de nudos principales y de ramas. Hallar el valor de Ix y Vx.
Ix
Ix
12 A
4A
+
Vx
-
Problema 1.4. (*) Hallar el valor de v.
1A
+ v -
(*) : Ejercicios aconsejados.
2
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
1
Capítulo
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 1.5. (*) Determinar la diferencia de potencial v en el siguiente circuito:
+
v
-
Problema 1.6. (*) Hallar Vx en cada uno de los circuitos representados.
Problema 1.7. (*) Hallar Ix en cada uno de los circuitos siguientes
Problema 1.8. (*) En el circuito de la figura, utilizar la segunda ley de Kirchoff para determinar la tensión en cada resistencia. Después utilizar
la ley de Ohm y la primera ley de Kirchoff para determinar la intensidad de la corriente que circula por cada elemento.
Problema 1.9. (*) Calcular el valor del voltaje v, y la intensidad de corriente i
+
8v
-
i
Problema 1.10. (*) Encontrar el valor de la intensidad de corriente i.
2A
i
3
2 Análisis Elemental de Circuitos Resistivos
Problema 2.1. Determinar, en cada uno de los circuitos representados, la tensión entre los terminales de cada fuente y la intensidad de la
corriente que la atraviesa.
Problema 2.2. (*) Calcular el valor de la resistencia R1 en función del resto para que el bipolo visto desde los terminales A-B sea equivalente al
visto entre C-D.
A
R2
R1
B
C
R3
R4
D
Problema 2.3. (*) A partir de la siguiente agrupación de resistencias se pretende conseguir una resistencia equivalente de valor:
a) R/2 b) 2 R /3 c) R d) 8 R / 3. ¿Cómo debería conectar los terminales en cada caso, y entre qué terminales obtendría la resistencia
deseada?
2R
A
R
2R
B
C
D
Problema 2.4. (*) Se ajusta un potenciómetro para que haya 5 V entre los extremos de la carga. ¿A qué fracción del dominio del
potenciómetro hay que fijar el cursor?
4
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
2
Capítulo
220Ω
Problema 2.6. Hallar la variable de señal indicada en cada uno de los circuitos.
10kΩ
Problema 2.7. La hoja de especificaciones que da un fabricante de un interruptor electrónico consigna las características del interruptor
indicadas:
G
+5V
0V
Interruptor
ON
OFF
Rin
150 Ω
106 Ω
Para el circuito de la figura, calcular Vs cuando el circuito esté cerrado (ON) y cuando esté abierto (OFF).
Problema 2.8. Calcular la intensidad i en el siguiente circuito utilizando el principio de superposición.
R1
V1
+
I2
i
R2
Datos: V1= 18 v., I2= 3 A, R1=2 Ω. R2= 4 Ω.
Problema 2.9. (*) Hallar la relación entre las resistencias para que las configuraciones en estrella y en triángulo sean equivalentes sabiendo que
ésta se obtienen imponiendo que, para cualquier par de terminales, las resistencia equivalente en ambos circuitos sea idéntica.
5
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.5. Hallar Vx en cada uno de los circuitos representados.
Problema 2.11. Determinar V1, I2, I3 e I4, y estudiar la posibilidad de sustituir la fuente controlada por una resistencia.
I4
6Ω
10Ω
I2
I3
Problema 2.12. (*) Aplicar las técnicas de reducción para hallar V1, V2, Ix y Vx en los siguientes circuitos.
c)
a) Io = 2 A, R1= R2= 20 Ω,
b) Io = 4 A, R1= 2R2 = 20 Ω.
R3= R4 = R5 = 10 Ω.
Io = 2 A, R= 10 Ω.
Problema 2.13.
a) Determinar en el siguiente circuito la tensión de salida empleando el principio de superposición.
b) Hallar la misma tensión a partir de un circuito equivalente de éste.
R1
V1
+
+
I2
R2
Vo
-
Problema 2.14. (*) Hallar por aplicación del teorema de Thévenin la intensidad i que circula por la resistencia R2 en el siguiente circuito:
e1
+
R1
i1
R2
R3
i
+
e2
6
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.10. (*) En el siguiente circuito, determinar el valor de I1 para que la tensión en la resistencia de 4 Ω sea de 6.5 V.
R2
R1
R4
A
i
+
V1
R3
Rq
B
Datos: V1=12V, R1=60Ω, R2=20 Ω, R3=12 Ω, R4=10 Ω, Rq=4 Ω.
Problema 2.16. Calcular el circuito equivalente de Thévenin y Norton a la izquierda de los terminales A, B.
V2
A
+
R3
I1
R1
R2
R
B
Datos: I1= 2 A., R1= 6 Ω., V2= 6 v., R2= 3 Ω., R3= 2 Ω.
Problema 2.17. (*) Calcular la tensión de salida aplicando únicamente el concepto de circuito equivalente. Comprobar el resultado por el
teorema de superposición.
R
+
R
2R
2R
2R
Vo
2R
+
V1
V2
+
V3
+
-
Problema 2.18. (*) Obtener el valor de la intensidad ix , mediante la aplicación del principio de superposición.
i2
R1
i1
i3
vx
R2
R4
+
ix
R5
R3
R6
Datos: i1=6 A, i2= 1 A, i3=4 A, R1= 5k, R2= 20 k, R3= 6 K, R4= 14 K, R5= 15 K, R6= 10 K.
Problema 2.19. (sep05/06) Calcule ix (corriente que atraviesa R1) en el circuito de la figura. Compruebe que la potencia consumida por los
elementos pasivos coincide con la potencia entregada por los elementos activos del circuito de la figura.
R3
ix
+
R1
a.ix
V1
R2
7
R4
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.15. (cont05/06) Halla el valor de i (corriente que atraviesa la resistencia de carga) en el circuito de la figura. Para ello, obtén el
equivalente Thévenin a la izquierda de los terminales A-B.
Problema 2.20. Hallar la relación entre la tensión de salida Vo y la intensidad de entrada Is.
R1
Is
b i1
i1
Rs
Rp
Rl
+
Vo
-
Problema 2.21. Hallar el circuito equivalente de Thévenin y el de Norton correspondientes a la red representada.
Problema 2.22. Calcular el valor de R para que se cumpla Vr = 2 V.
Problema 2.23. (*) Los métodos de resolución de circuitos que proporciona la Teoría de Circuitos son aplicables a circuitos lineales. No
obstante, estos métodos siguen siendo interesantes y útiles en la resolución de ciertos circuitos no lineales cuando los componentes no lineales
se pueden reemplazar por su equivalente lineal. Dichos circuitos equivalentes suelen ser válidos en régimen de pequeña señal y bajo ciertas
hipótesis. En el circuito siguiente existe un transistor bipolar NPN. Determinar la ganancia de corriente del circuito (Io/Ii) en el caso en el que el
transistor se pueda reemplazar por su modelo equivalente de pequeña señal y para los dos casos: R2 = 0 Ω, y R2 = 1 Ω.
Datos: R1= 9 Ω, R3= 10 Ω, Rb= 1 Ω, Rc= 50 Ω y β= 50.
8
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Datos: V1=60 V, R1=15 Ω, R2=50 Ω, R3=10 Ω, R4=40 Ω, a=0.5
Problema 2.25. Calcular las variables pedidas en los siguientes circuitos
Problema 2.26. El siguiente circuito es conocido como puente de Wheatstone y se utilizaba antiguamente como galvanómetro de precisión
pues, en condiciones de equilibrio, la corriente Im = 0. Mostrar, para un valor fijo de Rx, cuál es la relación que deben guardar R1, R2 y R3 para
que en efecto Im sea nula.
Problema 2.27. (*) Hallar la potencia entregada a R2 (=3 Ω), por aplicación del teorema de superposición.
V1
+
i
R2
I2
+
R1
2 i
Datos: R1= 1 Ω, V1=12 v, I2= 6 A.
Problema 2.28. (cont05/06) Usa el principio de superposición para calcular i (corriente que atraviesa la fuente de tensión V1) en el circuito de
la figura.
R1
R4
+
+
R3
i
V1
R2
R5
I2
Datos: V1=86V, I2=8A, V3=12V, R1=5Ω, R2=15 Ω, R3=40 Ω, R4=10 Ω, R5=30 Ω.
9
V3
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.24. (*) Determinar los circuitos equivalente de Thévenin y Norton para cada uno de los siguientes circuitos.
+
-
Vx
R1
+
R3
V1
R2
R4
I1
+
V2
Datos: V1=50 V, I1=8 A, V2=40 V, R1=10 Ω, R2=40 Ω, R3=12 Ω, R4=20 Ω
Problema 2.30. Calcular el equivalente de Thévenin del circuito que sigue:
+
2 i1
I1
R3
R1
Vth
i1
R2
+
-
Datos: I1= 10 A., R1= 4 Ω., R2= 6 Ω, R3= 3 Ω.
Problema 2.31. (*) Encontrar el valor de Ro para que se produzca máxima transferencia de potencia a la carga Ro.
R2
R1
I2
R4
V1
+
R3
+
V4
Ro
Datos: R1= 6 Ω, R2= 6 Ω, R3=20 Ω, R4= 5 Ω, V1=18 v, I2= 2 A, V4=20 v.
Problema 2.32. La carga resistiva de la figura está accionada por tres fuentes diferentes. Si la carga disipa 0.6 W ¿cuál es el valor de la resistencia
de carga RL?
Problema 2.33. (*) Hallar el valor de la resistencia R3 para que la potencia P transferida a la carga R4 sea máxima. Y calcular el valor del
rendimiento cuando P sea máxima.
-
V
+
R4
R3
R2
ib
R5
R1
va
+
Datos: va= 12 v, ib= 3 A, R1= 6 Ω, R2= 12 Ω, R4= 4 Ω, R5= 6 Ω.
10
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.29. (feb05/06) Halle el valor de Vx (diferencia de tensión entre los extremos de R3) en el circuito de la figura mediante el
principio de superposición. Compruebe el resultado aplicando la técnica de transformación de fuente.
I2
A
R2
R3
R1
Rq
+
I1
V1
B
Datos: I1=4 A, V1=20 V, I2=2 A, R1=2 Ω, R2=4 Ω, R3=6 Ω
Problema 2.35. (sep05/06) Dado el circuito de la figura, calcule el valor de la resistencia de carga Rq para el que la potencia entregada a ésta es
máxima.. Obtenga la caída de tensión en los extremos de la resistencia de carga Vq en ese caso y la potencia transferida.
i1
R2
R1
+
+
Vq
-
Rq
+
a.i1
V1
Datos: V1=50 V, R1=40 Ω, R2=20 Ω, a=10 Ω
Problema 2.36. Para cada uno de los siguientes circuitos hallar el equivalente de Thévenin y Norton.
Problema 2.37. Encontrar la intensidad i2 que circula por la resistencia R2.
V2
+
R1
V1
+
R2
R3
i2
Datos: V1= 14 v., V2= 4 v., R1= 4 Ω, R2= 2 Ω, R3= 12 Ω, R4= 4 Ω.
11
R4
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.34. (feb05/06) Dado el circuito de la figura, obtenga el equivalente Thévenin en los extremos A-B. Calcule la corriente que
atraviesa la resistencia de carga si Rq=8 Ω. Encuentre el valor de Rq que tendría que conectar en los extremos A-B para que absorbiera la
máxima potencia del circuito. Determine el valor de esa potencia.
Rg
i1
C
eg
D
+
ig
R2
b i1
Problema 2.39. (*) Hallar los equivalentes de Thévenin y Norton entre los terminales A-B del circuito de la figura, y comprobar el resultado
obtenido.
b U
+
Rg
Eg
A
+
+
R1
U
a I
-
I
B
Problema 2.40. Un circuito que tiene el equivalente de Thévenin de la figura se conecta a una resistencia no lineal (NLR). Con un voltímetro
medimos la tensión estando conectada y desconectada la NLR y obtenemos: VNLR = 30 V y VCA (cto. abierto) = 40 V, respectivamente. Hallar el
circuito de Thévenin de la fuente:
Problema 2.41. Obtener el equivalente de Thévenin en los extremos de la resistencia de carga Rq. Comprobando el resultado obtenido. ¿cuál
es el valor de la potencia maxima que se puede obtener en la resistencia de carga?.
+
R1
R3
m iy
R4
R2
V1
I2
iy
+
Datos: V1=6 v, I2= 3 mA, m= 2000 Ω, R1= 6 kΩ, R2= 2 kΩ, R3= 4 kΩ, R4= 4 kΩ.
12
Rq
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.38. Hallar los equivalentes de Thévenin y Norton del circuito respecto de los terminales C y D, comprobando los resultados por
un método alternativo.
I1
R3
-
V
+
R1
R2
+
2 V
V2
+
Datos: V2= 24 v., I1= 4 A, R1= 3 Ω, R2= 2 Ω, R3= 1Ω.
Problema 2.43. Encontrar la intensidad i en el siguiente circuito
+
V1
-
+
i
R3
R2
R1
Datos: V1= 4cos(4t) v., R1= 2 kΩ, R2= 6 kΩ, R3= 8 kΩ.
Problema 2.44. Encontrar la tensión de salida Vo en términos de las tensiones de entrada y las resistencias.
Ro
R2
Vo
+
V2
R1
-
V1
R3
V3
Problema 2.45. (*) Un amplificador debería tener una resistencia de entrada idealmente infinita a fin de no cargar la etapa previa. Los
transistores de efecto de campo (Field Effect Transistors o FETs) tienen la propiedad de tener una resistencia de entrada muy alta en
comparación con los transistores bipolares (Bipolar Junction Transistors o BJTs). En muchos casos y a efectos prácticos la resistencia de
entrada de un FET puede incluso considerarse infinita. El siguiente amplificador de dos etapas intenta aprovechar las ventajas de propias de
cada tecnología de transistores en un diseño híbrido. Calcular su relación entrada-salida (Vo/Vi).
donde
13
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.42. Encontrar el equivalente de Thévenin y Norton en los extremos de la resistencia R3. Comprobar el resultado, y utilizar el
equivalente para hallar la tensión V en los extremos de la resistencia R3.
usar los mismos circuitos equivalentes de FET y BJT del problema anterior.
Problema 2.47. Encontrar el valor de R para que Vo= -20 V1, siendo R1=R2=R3=10 kΩ.
R2
R1
V1
R
R3
+
-
Vo
+
Problema 2.48. (*) Cada circuito siguiente es una variante del amplificador inversor o no inversor básico. Determinar la relación entrada-salida
Vo/Vs y la resistencia de entrada de cada circuito.
Problema 2.49. Hallar la tensión de salida si: vi= 8 Cos(2 t) v., R1= 8 Ω, R2= 2 Ω, R3= 8 Ω.
R2
R1
vi
R1
+
R3
14
vo
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.46. (*) En el circuito de la figura obtener Vo
R2
Vi
R1
R3
+
Vo
R4
R5
R6
Datos: R1= 4 Ω, R2= 5 Ω, R3= 2 Ω, R4= 2 Ω, R5=R6= 3 Ω
Problema 2.51. (sep05/06) Suponiendo los amplificadores operaciones ideales, obtenga la ganancia en tensión de lazo cerrado vo/vi del
circuito de la figura.
Rf
R2
R1
R3
-
-
+
+
+
R4
vi
+
vo
-
Problema 2.52. Demostrar que los dos circuitos siguientes tienen la misma relación entrada-salida. Dibujar un diagrama de bloques para cada
circuito. Discutir ventajas y desventajas de cada uno.
Problema 2.53. Demostrar en el siguiente circuito que independientemente del valor de RL se cumple que IL=-2Vs/R.
15
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.50. Encontrar la tensión de salida si la ganancia del Amplificador Operacional en lazo abierto es igual a 2.
R2
R4
R1
V1
R3
+
Vo
+
R5
Problema 2.55. (*) Para los dos casos consignados dibujar la gráfica de la salida del siguiente circuito cuando las entradas son las mostradas en
la figura. Analizando los casos RF=R y RF = 2R.
Problema 2.56. Los siguientes amplificadores operacionales se hallan alimentados a Vcc+= VH y Vcc-= VL. En cada caso determinar la
condición que ha de cumplir la entrada para producir una salida igual a la tensión de saturación positiva ,VH. Idem para la tensión de
saturación negativa, VL.
16
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.54. Encontrar la tensión de salida Vo si la tensión de entrada es v1= 8 sen(6 t) v., con R1= 4 Ω, R2= 8 Ω, R3= 16 Ω, R4= 24 Ω,
R5= 8 Ω.
Problema 2.58. (*) Hallar la relación entre la tensión de entrada y de salida
R1
V1
R2
+
-
R3
Vo
+
+
V2
R4
Problema 2.59. Dado el circuito de la figura
a)
b)
c)
Determinar la relación Vo/V1.
El fabricante especifica que el valor máximo de i es de 50 mA. Para V1 = 5 v, R = 20Ω y α=3, determinar si el
circuito se comporta según lo previsto en (a).
Determinar el valor máximo de V1 para que las corrientes de salida en los AO no superen el máximo permitido.
17
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 2.57. Cuando se pretende diseñar una amplificador de alta ganancia y se necesita colocar varias subetapas amplificadoras es
necesario saber el efecto de carga de cada etapa sobre la anterior. Para ello es necesario calcular la resistencia de entrada de la etapa que actuará
como carga. Para la siguiente etapa amplificadora: a) dibujar su circuito equivalente, b) determinar la conductancia equivalente vista desde os
terminales ab (conductancia de entrada).
3 Análisis Sistemático de
Circuitos Resistivos
Problema 3.1. (*) Determinar la tensión en el nudo A, mediante los dos procedimientos sistemáticos de análisis de circuitos.
R1
R2
A
+
V1
V2
+
R3
Problema 3.2. (*) Plantear las ecuaciones necesarias para resolver el siguiente circuito por el método de corrientes de malla.
R1
V1
+
R3
R5
I2
R4
R2
Problema 3.3. (*) Plantear un sistema completo de ecuaciones en forma matricial, por el método de tensiones de nodo que permita resolver
el siguiente circuito.
R1
R2
i1
i2
R3
18
R4
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
3
Capítulo
R1
R2
R3
R4
V
R6
R5
+
R7
Problema 3.5. Formular las ecuaciones de tensiones de nodo, y obtener Vx:
R1
Vs
+
R2
+ Vx R5
R3
R4
Problema 3.6. (*) En el siguiente circuito, plantear en forma matricial ( para los dos métodos sistemáticos de análisis) un sistema completo de
ecuaciones, indicando claramente cuales son las incognitas en cada uno de los casos.
R1
R2
Va
R6
+
Ib
R4
R5
R3
R7
Problema 3.7. (*) Obtener la variable deseada (VO, VE ó IO) en cada uno de los siguientes circuitos.
19
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 3.4. Plantear un sistema completo de ecuaciones, en forma matricial, mediante los dos procedimientos sistemáticos.
R1
Vs
B
R3
+
+
Vx
-
R4
R2
+
u Vx
+
Problema 3.9. (*) Calcular VA, VB, y VC por el método de tensiones de nodo.
V2
B
A
R2
C
R3
+
V1
R1
R4
Problema 3.10. (*) Plantear los sistemas de ecuaciones de mallas y nodos para los siguientes circuitos. No es necesario resolverlos. Utilizar la
numeración de nudos y mallas propuesta en la figura.
20
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 3.8. Determinar la tensión en el nudo B:
Problema 3.12. El circuito representado en la figura es un modelo para amplificador con dos transistores MOS en su funcionamiento a una
determinada frecuencia. Si V1 es la señal a amplificar, ¿cuál será la salida Vo?
Problema 3.13. (*) En la figura se representa un amplificador de señal débil con dos transistores. Hallar el par de tensión y corriente (Ic, Vce) de
cada transistor que se conoce como punto de trabajo. Suponer que β es muy grande.
Problema 3.14. Obtener la diferencia de tensión VE en el siguiente circuito, por aplicación de los dos métodos sistemáticos de análisis:
R2
b Ix
Ix
Is
R1
Re
21
+
Ve
-
R3
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 3.11. Dado el circuito de la figura, determinar la tensión Vo(t) e Io(t) en función de Vg(t).
I1
R1
+
+
+
V1
i1
V2
a.i2
Datos: I1=2 mA, V1=4 V, V2=6 V, R1=5 kΩ, R2=10 kΩ, a=1000 Ω, b=0.5
22
i2
R2
b.i1
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 3.15. (feb05/06) Utilice el análisis sistemático de corrientes de malla para encontrar la potencia suministrada por cada una de las
cinco fuentes del circuito de la figura.
4 Cuadripolos Resistivos
Problema 4.1. (*) Calcular la matriz [Z] de i.mpedancias a circuito abierto del siguiente cuadripolo:
R2
R1
R3
R4
Problema 4.2. (*) Calcular los parámetros de admitancia en cortocircuito del cuadripolo siguiente:
R1
R2
R3
Datos: R1= 3 Ω, R2= 6 Ω, R3= 6Ω.
Problema 4.3. (*) Para el siguiente circuito se pide:
a) Obtener la relación Vo/Vi.
b) Partiendo del resultado anterior, encontrar un circuito equivalente de cuatro terminales, en cada caso, que incorpore una fuente controlada.
Problema 4.4. (*) En el siguiente circuito se pide:
a)
b)
Determinar los parámetros de admitancia para un transistor en emisor común (configuración mostrada).
Determinar la relación V2/I1 de un bipuerto con salida en circuito abierto en función de los parámetros admitancia.
23
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
4
Capítulo
2
1
Ig
1'
2'
Problema 4.6. (*) Hallar los parámetros Y del siguiente bipuerto.
2
+
+
–
–
Problema 4.7. (*) Obtener el equivalente Thévenin de un bipuerto, desde su salida, cuando está excitado por un generador.
Problema 4.8. (*) Calcular la matriz de impedancias en circuito abierto del cuadripolo:
+
I1
R2
R1
R3
R5
R4
U1
+
I2
U2
-
-
Problema 4.9. (*) Deducir las matrices de admitancias de los siguientes cuadripolos. A continuación, conectarlos en serie, y calcular la matriz
de impedancias del cuadripolo resultante.
R3
R1
R2
R5
R4
Datos: R1= 1 Ω, R2= 2 Ω, R3= 2 Ω, R4= 2 Ω, R5= 4 Ω.
Problema 4.10. (*) Hallar los parámetros hibridos h y g del siguiente cuadripolo.
R2
R1
R2
R1
Datos: R1= 1 Ω, R2= 2 Ω.
24
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 4.5. (*) Expresar el equivalente Thévenin respecto de los terminales 1-1’, en función de los coeficientes de la matriz de transmisión
:
2 i2
+
Rc
Rb
Ra
i2
Datos: Ra= 0.5 Ω, Rb= 10 Ω, Rc= 12 Ω.
Problema 4.12. (feb05/06) Calcule la matriz de admitancias del cuadripolo de la figura. Deduzca a partir del resultado anterior la matriz de
transmisión del mismo cuadripolo.
R2
R1
R2
+
Vo
-
Vo/2
R1
Datos: R1=2 Ω, R2=1 Ω
Problema 4.13. (sep05/06) Calcule la matriz de impedancias del cuadripolo de la figura. Deduzca a partir del resultado anterior la matriz de
transmisión del mismo cuadripolo.
R3
R1
R2
R4
Datos: R1=20 Ω, R2=30 Ω, R3=10 Ω, R4=40 Ω
25
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Problema 4.11. (*) Determinar la matriz de transmisión del cuadripolo:
Capítulo 1 __________________________________________________________________________
Problema 1.1. C1) I = 10 mA, P = 100 mW; C2) V = 0 V, P = 0 W; C3) V = 10 mV, P = 10 mW
Problema 1.2. i1 = 1 A., i2 = - 4 A., v = 17 V
Problema 1.3. a) N = 2, R = 4, Ix = 3 A., Vx = 78 V b) N = 4, R = 6, Ix = -8 A., Vx = 80 V
Problema 1.4. v = -14 V
Problema 1.5. v= 10 V
Problema 1.6. C1) Vx = 5 V C2) Vx = -12 V
Problema 1.7. C1) Ix = 1.41 mA C2) Ix = - 1.893 A
Problema 1.8. I1 = 0 A, V1 = 0 V, I2 = -1/2 A , V2 = -5 V, I3 = 1/2 A, V3 = 5 V
(las corrientes van de derecha a izquierda)
Problema 1.9. i = 3 A., v = 17 V
Problema 1.10. i = 4 A
Capítulo 2 __________________________________________________________________________
Problema 2.1. C1) Vs = [R1 (R2+R3)/(R1+R2+R3)] Is
C2) Fuente de tensión: I = 0.71 A, Fuente de corriente: V = -58.66 V
C3) Fuente de corriente: V = V1–V2, Fuente V1: I1 = Io, Fuente V2: I2 = Io
Problema 2.2. R1 = R4
Problema 2.3. a) A, B, C cortocircuito, Salida A-D b) A aire, B-C cortocircuito, Salida B-D
c) A, B aire, Salida C-D
d) B, C cortocircuito, D aire, Salida A-C
Problema 2.4. x = 61.8 %
Problema 2.5. C1) Vx = 0.6 V C2) Vx = 17/50 Vo
Problema 2.6. C1) Vx = 5 V C2) Ix = 1 A
Problema 2.7. Vs, ON = 7.5 V, Vs, OFF = 3 mV
Problema 2.8. i = 4 A
Problema 2.9. R1 = (Rx Rz)/(Rx+Ry+Rz); R2 = (Rx Ry)/(Rx+Ry+Rz); R3 = (Ry Rz)/(Rx+Ry+Rz)
Problema 2.10. I1 = (8/3) A
Problema 2.11. V1 = (200/2043) V, I2 = (25/2043) A, I3 = (5/681) A, I4 = (40/2043) A
Problema 2.12. a) V1 = -20 V, V2 = -5 V b) Ix = -2 A c) Vx = 50 V
Problema 2.13. V0=[(R1 R2)/(R1+R2)] I2 + [R2 / (R1+R2)] V1
Problema 2.14. i = [e1 R3 + e2 R1 + i1 R1 R3] / [ R1 R3 + R1 R2 + R2 R3]
Problema 2.15. i = 0.5 A
Problema 2.16. VTh = 6 V, RTh = 4 Ω, IN = 1.5 A
Problema 2.17. Vo = (V1/8) + (V2/4) + (V3/2)
Problema 2.18. ix = -6 A
Problema 2.19. ix = 1.6 A
Problema 2.20. (Vo/Is)= - (b Rp Rs R1) / [ (R1 +Rp) (R1 + Rs)]
Problema 2.21. VTh = 21 V, RTh = 18 Ω
Problema 2.22. R = 5/6 Ω
Problema 2.23. Io/Ii = R1 (R2 - βRc) / [R2 (R1+Rb+βRc) + (Rc+R3) (R1+R2+Rb)]
Problema 2.24. C1)VTh = 10 V, RTh = 15 Ω C2) VTh = 10 V, RTh = 20 Ω C3) IN = 2 A, RTh = 5 Ω
Problema 2.25. C1) Vx = - 4 V C2) Vx = 50 V
Problema 2.26. R1 Rx = R3 R2
Problema 2.27. P = 75 W
Problema 2.28. i = 8 A
Problema 2.29. Vx = -48 V
Problema 2.30. VTh = 30 V, RTh = 6 Ω
Problema 2.31. Ro= 3 Ω
Problema 2.32. RL = 10.825 Ω, ó RL = 1.026 Ω
Problema 2.33. VTh = 14 V, RTh = 10 Ω, rendimiento = 2/7
Problema 2.34. VTh = 40 V, RTh = 12 Ω, i (Rq=8Ω) = 2 A, Pmax = 100/3 W
Problema 2.35. Rq = RTh = 16 Ω, Vq = 5 V, Pmax = 25/16 W
Problema 2.36. C1) IN = Is R2/(R1+R2), VTh = Is R2, RTh = RN = R1+R2
26
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Soluciones
Capítulo 3 __________________________________________________________________________
Problema 3.1. VA = (R2 R3 V1 + R1 R3 V2) / (R1 R2 + R1 R3 + R2 R3)
Problema 3.12. El sistema de ecuaciones de corrientes de malla es:
− R3
0 ⎤ ⎡ i1 ⎤ ⎡ V1 ⎤
⎡ R1 + R3
⎢ −R
+
+
−
R
R
R
R4 ⎥⎥ ⎢⎢i2 ⎥⎥ = ⎢⎢ I 2 R2 ⎥⎥
3
2
3
4
⎢
⎢⎣ 0
− R4
R4 + R5 ⎥⎦ ⎢⎣i3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
Problema 3.13. El sistema de ecuaciones de tensiones de nodo es:
− G1
− G2 ⎤ ⎡V A ⎤ ⎡ i1 ⎤
⎡G1 + G2
⎢ −G
+
G
G
0 ⎥⎥ ⎢⎢VB ⎥⎥ = ⎢⎢ i2 ⎥⎥
1
1
3
⎢
⎢⎣ − G2
0
G2 + G4 ⎥⎦ ⎢⎣VC ⎥⎦ ⎢⎣− i2 ⎥⎦
Problema 3.14. El sistema de ecuaciones de corrientes de malla es:
0
− R2
− R3
⎡ R1 + R2 + R3
⎤ ⎡ i1 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎢
⎥ ⎢i ⎥ ⎢V ⎥
0
−
+
+
−
R
R
R
R
R
2
2
4
5
5
⎢
⎥⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢i3 ⎥ ⎢ 0 ⎥
0
− R5
− R6
R5 + R6
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0
− R3
− R6
R3 + R6 + R7 ⎦ ⎣i4 ⎦ ⎣ 0 ⎦
⎣
El sistema de ecuaciones de tensiones de nodo es:
27
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
C2) IN = Vs/R1, VTh = Vs R2/(R1+R2)
C3) IN = Vs (R2 R3 - R1 R4) /[R1 R3 (R2+R4)+ R2 R4 (R1+R3)]
VTh = Vs [R4 (R1+R3) - R3(R2+R4)]/ [(R1+R3) (R2+ R4)]
RTh = RN = [R2R4(R1+R3)+R1R3(R2+R4)]/[(R1+R3)(R2+ R4)]
C4) VTh = Vs [R3 (R1+R2+R4) + R1R2] / [R1(R2+R4)+R3(R1+R2+R4)]
RTh=RN=R4 [R1R3+R2 (R1+R3)] /[R4(R1+R3)+ R1R3+R2(R1+R3)]
Problema 2.37. i2= -1 A
RTh=R2 + Rg (1+b)
Problema 2.38. VTh= eg – ig R2, IN= (eg – ig R2)/[(1+b) Rg + R2],
Problema 2.39. VTh = [(1 - b) R1 Eg ]/(R1+Rg), IN= [Eg R1 (1-b)] / [(1-a)(1-b) R1 Rg + R2 (R1 + Rg)]
Problema 2.40. VTh = 40 V, RTh = 10 kΩ
Problema 2.41. VTh= 24/11 V, IN= 6/7 mA, Pmax=0.467 W
Problema 2.42. RTh= 1 Ω, IN= - 4 A, VTh= - 4 V, VR3 = 2 V
Problema 2.43. i= 2 cos(4t) mA
Problema 2.44. Vo = - Ro [ (V1/R1) + (V2/R2) + (V3/R3) ]
Problema 2.45. Vo/Vi = μR1R2 (1+ β)/[rpR1+(Ri+R2(1+ β)(rp+Ri))]
Problema 2.46. Vo = - Ii [μR1R2Ro(1+ β)] / {rpR2+[Ri+Ro(1+ β)] (rp+R2)}
Problema 2.47. R= 95 kΩ
C2) Vo/Vi = 1+R2/R1, Rin = ∞
Problema 2.48. C1) Vo/Vi = - R2/R1, Rin = R1
C3) Vo/Vi = - R2R4 / [R4R5+ R1(R4+R5)], Rin = [R4R5+ R1(R4+R5)] / (R1 + R4)
C4) Vo/Vi = (1+R2/R1)(1+R5/R4), Rin = R4 +R5
Problema 2.49. Vo= 3 cos(2t) V
Problema 2.50. Vo= 5/24 Vi
Problema 2.51. Vo/Vi = -R2R4Rf / {R1 [(R3+R4) Rf + R2R4]}
Problema 2.52. C1) y C2) Vo = Vs1 + Vs2
Problema 2.54. vo= - 4 sen(6t) V
Caso RF = 2R ⇒ Vo = - (V1 + V2/2 + V3/4)
Problema 2.55. Caso RF = R ⇒ Vo = - (V1/2 + V2/4 + V3/8),
Vs>0 ⇒ Vo = VL
Problema 2.56. C1) Vs<0 ⇒ Vo = VH,
C2) Vs > Vo R2/(R1+R2) ⇒ Vo = VH, Vs < Vo R2/(R1+R2) ⇒ Vo = VL
C3) Vs > -2V ⇒ Vo = VH, Vs < -2V ⇒ Vo = VL
C4) Vs>Vo ⇒ Vo = VL, Vs<Vo ⇒ Vo = VH
C5) Siempre saturado positivamente, Vo = VH
Problema 2.57. Gth = [(R1+R2) (Ri+R3) + R3 (Ri +βR2)] / {R1[RiR3+R2(Ri+R3 (1+β))]}
Problema 2.58. Vo= -(R2/R1) V1 + [(R4 (R1+ R2))/(R1 (R3+R4))] V2
Problema 2.59 a) Vo/Vi = (α-1)/(α+1)
b) No, pues el consumo en las condiciones especificadas es superior al
permitido por las especificaciones. c) Vimax = 2 V
− G2
− G1
G2 + G3 + G5 + G6
− G3
⎤ ⎡V A ⎤ ⎡V G4 ⎤
⎥ ⎢V ⎥ = ⎢ 0 ⎥
− G3
⎥⎢ B ⎥ ⎢
⎥
G1 + G3 + G7 ⎥⎦ ⎢⎣VC ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
Problema 3.15. El sistema de ecuaciones de tensiones de nodo es:
− G5
⎡G1 + G3 + G5
⎤ ⎡V A ⎤ ⎡VS G1 ⎤
=
⎢
G2 + G4 + G5 ⎥⎦ ⎢⎣VB ⎥⎦ ⎢⎣VS G2 ⎥⎦
− G5
⎣
VS (G1G4 − G2 G3 )
Vx =
2
(G1 + G3 + G5 )(G2 + G4 + G5 ) − G5
Problema 3.16. El sistema de ecuaciones de corrientes de malla es:
− R2
− R3
⎡ R1 + R2 + R3
⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎡ Va ⎤
⎢
⎥ ⎢I ⎥ = ⎢R I ⎥
−
+
+
+
−
−
R
R
R
R
R
R
R
2
2
4
5
6
4
5
⎢
⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ 6 b ⎥
− R3
− R4 − R5
R3 + R4 + R5 + R7 ⎦⎥ ⎣⎢ I 3 ⎦⎥ ⎣⎢ R7 I b ⎦⎥
⎣⎢
El sistema de ecuaciones de tensiones de nodo es:
⎡
⎤
⎢
⎥
+
+
−
−
G
G
G
G
G
2
6
2
6
⎢ 1
⎥ ⎡V A ⎤ ⎡Va G1 − I b ⎤
−1
1
⎥
⎢
⎥ ⎢V ⎥ = ⎢
− G2
0
G2 + G3 +
⎥
⎢
⎥⎢ B ⎥ ⎢
R4 + R5
R4 + R5
⎥⎦
0
⎢
⎥ ⎢⎣VC ⎥⎦ ⎢⎣
−1
1
⎢
− G6
+ G6 + G7 ⎥
R4 + R5
R4 + R5
⎣⎢
⎦⎥
Problema 3.7. C1) Vo = μR2R4R5/[(R3+R5)(R1(R4(1-μ)+R2)+R2R4)] Vs
C2) VE = (1+β)G2 / [(G1+G2) GE+ G1G2(1+β)] Is
C3) Vo = Vs [(G2+rG1G3/(1-r G1)] / (G2+G3+G4)
C4) Io = Vs G4 [G5 + βμ G1G3/(G1+G4)] / (G4 + G5)
Problema 3.8. VB= (- μ Vs G1 ) / [G1 + G2 + G3 (1+μ)]
Problema 3.9. VA = [(G2 + G3) V1 + (G3 + G4) V2] / (G1 + G2 + G3 + G4)
VC = [(G2 + G3) V1 – (G1 + G2) V2] / (G1 + G2 + G3 + G4)
VB = V1,
Problema 3.10. C1) El sistema de ecuaciones nodales es
− G3
⎡G1 + G3
⎢ −G
G2 + G3 + G4
3
⎢
− G2
⎢ − G1
⎢
0
⎢ 0
⎢ 0
0
⎢
G4
0
−
⎣
− G1
0
0
− G2
G1 + G2
0
0
0
0
0
0
0
G7 + G8
− G7
G6 + G7
− G7
0
− G6
⎤ ⎡VN 1 ⎤ ⎡ I1 + G3V1 ⎤
⎥ ⎢V ⎥ ⎢ − G V ⎥
− G4
3 1 ⎥
⎥⎢ N 2 ⎥ ⎢
0
⎥ ⎢VN 3 ⎥ ⎢ − I 2 ⎥
⎥⎢ ⎥ = ⎢
⎥
0
⎥ ⎢VN 4 ⎥ ⎢ − I1 ⎥
⎥ ⎢VN 5 ⎥ ⎢ + IV2 ⎥
− G6
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
G4 + G5 + G6 ⎦ ⎣VN 6 ⎦ ⎣ 0 ⎦
0
donde IV2 es la corriente saliente de la fuente V2 hacia el nodo 5. La ecuación correspondiente a ésta fila
puede eliminarse ya que sólo sirve para calcular IV2 puesto que VN5 ≡ V2.
C2) El sistema de ecuaciones de mallas es
R1
0
0
0 ⎤ ⎡ I 1 ⎤ ⎡ ( r + 1)V1 ⎤
⎡
⎢
R2 + R3
− R2 ⎥ ⎢ I 2 ⎥ ⎢ V3 − V2 ⎥
0
0
⎢
⎥⎢ ⎥ = ⎢
⎥
R4
⎢ − βR4
0
− R4 ⎥ ⎢ I 3 ⎥ ⎢ − (V3 + rV1 )⎥
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
− R2
− R4 R2 + R4 ⎦ ⎣ I 4 ⎦ ⎣
0
⎦
⎣ β ( R2 + R4 )
donde se aplicó la técnica de movilidad de fuentes de corriente y transformación Norton/Thévenin para
obtener una fuente de tensión en las mallas 2 y 3. Posteriormente se reordenó el sistema matricial. Estas
operaciones son las responsables de los términos con β en el sistema matricial.
Problema 3.11. Io = Vg/2, Vo = Vg/4
Problema 3.12. Vo = [gm RL(1 - gmrd)] / [rd (gmrd - 2) - RL] V1
Ic1= (2+β) (Vce1-VT)/Rb
Problema 3.13. Vce1= [(2+β)VTGb+Gc1Vcc]/[(2+β)Gb+Gc1]
Vce2= Vcc - β (Vce1 - VT) Rc2 / Rb
Ic2 = β (Vce1-VT)/Rb
Problema 3.14. Ve = (1+b) Is R1 Re / [R1+R2+R3+(1+b) Re]
Problema 3.15. PV1 = 6 mW, PV2 = -9 mW, Pai2 = -4.5 mW, PI1 = -5 mW, Pbi1 = 5.625 mW
28
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
⎡G1 + G2 + G4
⎢
− G2
⎢
⎢⎣
− G1
Problema 4.4. a) Y11 = 1/ri, Y12 = 0, Y21 = β/ri, Y22 =1/ro,
b) H(s) = - Y21/det(Y)
Problema 4.5. ZTh= A /C, VTh= [(A D/C) –B] Ig
Problema 4.6. Y11 = 3/2 Ω-1, Y12 = -1/2 Ω-1, Y21 = - 5 Ω-1, Y22 = 3 Ω-1
Problema 4.7. VTh = Z21/(Z11+rg) Vg, IN = Z21 / [(Z11+rg)Z22 - Z21Z12] Vg, RTh= Z22 - Z21Z12/(Z11+rg)
Problema 4.8. Z11= (R1 R2 + R1 R4 + R1 R5 + R2 R4 + R4 R5) / (R2 + R4 + R5)
Z12 = R4 R5 /(R2 + R4 + R5), Z21 = R4 R5 / ( R2 + R4 + R5)
Z22= (R2 R3 + R2 R5 + R3 R4 + R3 R5 + R4 R5) / (R2 + R4 + R5)
Problema 4.9. Ya11= 3/2, Ω-1, Ya12= -1 Ω-1, Ya21= -1 Ω-1, Ya22= 1 Ω-1
Yb11= 1 Ω-1, Yb12= - 1/2 Ω-1, Yb21= -1/2 Ω-1, Yb22= 3/4 Ω-1
Z11= 7/2 Ω, Z12 = 3 Ω, Z21 = 3 Ω, Z22 = 5 Ω
Problema 4.10. h11= 5/3 Ω, h12 = 1/3, h21= - 1/3, h22= 5/6 Ω-1
g11= 0.55 Ω-1, g12= - 0.22, g21 = 0.22, g22= 1.11 Ω
Problema 4.11. A = 1, B = 10 Ω, C = 2.1 Ω-1, D = 22.2
Problema 4.12. Y11 = 1 Ω-1, Y12 = -1/4 Ω-1, Y21 = - 1/2 Ω-1, Y22 = 5/4 Ω-1
A = 2.5, B = 2 Ω, C = 2.25 Ω-1, D = 2
Problema 4.13. Z11= 24 Ω, Z12 = 2 Ω, Z21 = 2 Ω, Z22 = 21 Ω
A = 12, B = 250 Ω, C = 1/2 Ω-1, D = 21/2
29
Teoría de Circuitos I – Colección de Ejercicios
Capítulo 4 __________________________________________________________________________
Problema 4.1. Z11 = R1 + R3, Z12 = R3, Z21 = R3, Z22 = R2 +R3 +R4
Problema 4.2. Y11= (1/6) Ω-1, Y12= - (1/12) Ω-1, Y21= - (1/12) Ω-1, Y22= (1/8) Ω-1
Problema 4.3. a) Vo/Vi = (1-α)/α b) El circuito equivalente es: