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CAPITULO 5
Cuadripolos
Teoría de Circuitos I
Hemos visto que una red arbitraria de dos terminales (dipolo)
compuesta por fuentes y elementos pasivos puede representarse por
su equivalente de Thevenin o de Norton.
Podemos extender el concepto de circuito equivalente para incluir
una clase importante de redes de cuatro terminales denominadas
cuadripolos.
En la figura siguiente se muestra un cuadripolo vinculado a una red
genérica y la nomenclatura asociada a los bornes.
a y a’ configuran el Puerto 1 (entrada)
b y b’ configuran el Puerto 2 (salida)
IMPORTANTE !!!
RED GENÉRICA
Para que sea un cuadripolo
se debe cumplir que:
I1 = I 1 ’
y
I2 = I 2 ’
Se denomina cuadripolo a cualquier red de cuatro terminales
(dos puertos) en la cual se cumple que la corriente neta que entra
a cada puerto es igual a cero.
Las condiciones impuestas a las corrientes que entran a un cuadripolo son, a veces, el resultado de los elementos que lo componen, sin
embargo, frecuentemente, dichas condiciones dependen de la forma
en que se conecta a otros cuadripolos o a la red. Algunos ejemplos,
1)
3)
2)
jw M
I
I
1
j w L1
*
*
4)
2
jw L2
Caracterización de cuadripolos
De las cuatro variables, V1, V2, I1 e I2, un par cualquiera puede
considerarse como variables independientes, y el par restante como
variables dependientes.
Así, tenemos 6 posibles combinaciones para elegir el par de variables
independientes. Para cada una podremos escribir las variables dependientes como combinación lineal de las
restantes.
A diferencia de los dipolos que pueden caracterizarse mediante un
solo parámetro (relación entre una variable independiente y una
dependiente, como ocurre en una resistencia V = R I), un cuadripolo requiere cuatro parámetros, siendo posibles seis conjuntos
diferentes de cuatro parámetros cada uno.
Parámetros admitancia en cortocircuito ( Y )
Tomando V1 y V2 como variables independientes, e I1 e I2 como
dependientes, podemos escribir:
I1  y11 .V1  y12 .V2
I 2  y21 .V1  y22 .V2
Donde, los parámetros quedarán definidos según:
I1
y11 
V1
V2 0
I1
y12 
V2
V1 0
I2
y21 
V1
V2 0
I2
y22 
V2
V1 0
Para el cálculo práctico de y11 y y21 podemos cortocircuitar los bornes
2-2’, conectar una fuente V1=1V, medir I1 e I2 y calcular las relaciones respectivas.
Un
los otros
de y12 y y22
• Enplanteo
caso de similar
trabajar vale
en CCpara
hablaremos
de
conductancias.
+ parámetros
1V por ej. V =1V
cortocircuitando
los
bornes
1-1’
y
forzando
• y , y son las admitancias de entrada vistas desde21-1' o 2-2‘.
11
22
• y12 , y21 son las admitancias de transferencia.
Parámetros admitancia en cortocircuito ( Y )
En notación matricial:
 I1   y11
I    y
 2   21
y12  V1 
V1 
.    Y  .  

y22  V2 
V2 
Podemos ver las ecuaciones del cuadripolo como las LKC en dos
nudos:
I1  y11 .V1  y12 .V2
I 2  y21 .V1  y22 .V2
Así, podemos sintetizar un modelo de cuadripolo como:
Parámetros impedancia en circuito abierto ( Z )
Tomando I1 e I2 como variables independientes, y V1 y V2 como dependientes, tenemos:
V1  z11 . I1  z12 . I 2
V2  z21 . I1  z22 . I 2
Donde, los parámetros quedarán definidos según:
V1
z11 
I1
I 2 0
V1
z12 
I2
I1 0
V2
z21 
I1
I 2 0
V2
z22 
I2
I1 0
Para calcular los parámetros z11 y z21 podemos dejar los bornes 2-2'
abiertos, conectar una fuente I1=1A, medir V1 y V2 y calcular las
relaciones correspondientes.
+
+
Un
los otros
parámetros
de
z
y
• Enplanteo
caso de similar
trabajar vale
en CCpara
hablaremos
de
resistencias.
12 V2 z22
1A
V1
dejando
los bornes 1-1’
forzando
por- desde
ej. I2 =1A
• z , z abiertos
son las impedancias
de yentrada
vistas
1-1' o 2-2‘.11
22
• z12 , z21 son las impedancias de transferencia.
Parámetros impedancia en circuito abierto ( Z )
En notación matricial:
V1   z11
V    z
 2   21
z12   I1 
 I1 
.     Z .  

z22   I 2 
 I2 
Podemos ver las ecuaciones del cuadripolo como las LKT en dos
mallas:
V1  z11 . I1  z12 . I 2
V2  z21 . I1  z22 . I 2
Así, podemos sintetizar un modelo de cuadripolo como:
Parámetros híbridos ( H )
Tomando I1 y V2 como variables independientes, y V1 e I2 como dependientes, tenemos:
V1  h11 . I1  h12 .V2
I 2  h21 . I1  h22 .V2
Donde, los parámetros quedarán definidos según:
V1
h11 
I1
V2 0
V1
h12 
V2
I1 0
I2
h21 
I1
V2 0
I2
h22 
V2
I1 0
Para calcular h11 y h21 habrá que cortocircuitar los bornes 2-2' y
realizar los cálculos correspondientes, mientras que para calcular h12
y h22 deberemos dejar los bornes 1-1' abiertos.
• h11 impedancia de entrada del puerto 1 con el puerto 2 cortocircuitado
• h12 inversa de la ganancia en tensión en circuito abierto.
• h21 ganancia de corriente en cortocircuito.
• h22 admitancia de entrada del puerto 2 con el puerto 1 en circ. abierto.
Parámetros híbridos ( H )
A diferencia de los parámetros Y y Z que tienen dimensiones de
y
 respectivamente, los parámetros H tienen diferentes dimensiones
(inclusive hay 2 que son adimensionales).

En notación matricial:
V1   h11 h12   I1 
 I1 
.     H .  
 I   h

 2   21 h22  V2 
V2 
En este caso podemos pensar la primera ecuación como una LKT, la
segunda como una LKC y sintetizar un modelo de cuadripolo:
Parámetros híbridos ( H’ )
También podríamos haber definido una segunda matriz híbrida, tomando como variables independientes la tensión V1 y la corriente I2.
A esto parámetros se los conoce como parámetros H’.
I1  h '11 .V1  h '12 . I 2
V2  h '21 .V1  h '22 . I 2
En notación matricial:
 I1   h '11 h '12  V1 
V1 
.     H ' .  
V   h '

 2   21 h '22   I 2 
 I2 
Se ve claramente que H' = H-1 si H es no singular.
Ejercicio: Plantear un modelo circuital genérico de un cuadripolo
representado a partir de parámetro H’.
Parámetros de transferencia o fundamentales ( T )
Tomando I2 e V2 como variables independientes, y V1 e I1 como dependientes, tenemos:
V1  A.V2  B . I 2
I1  C .V2  D . I 2
Donde, los parámetros quedarán definidos según:
V1
A
V2
I 2 0
V1
B 
I2
V2 0
I1
C
V2
I 2 0
I1
D
I2
V2 0
En este caso los ensayos para poder determinar los parámetros se
realizan cortocircuitando (para los parámetros B y D) o dejando
abierto (para los parámetros A y C) el puerto 2.
• A : ganancia de tensión c/puerto 2 en circuito abierto.
• B : impedancia de transferencia en cortocircuito.
• C : admitancia de transferencia en circuito abierto.
• D : opuesto de la ganancia de corriente c/puerto 2 en cortocircuito
Parámetros de transferencia o fundamentales ( T )
En notación matricial:
V1   A B   V2 
 V2 
 I   C D  .   I   T .   I 
  2
 1 
 2
En este caso, no se puede dibujar un circuito equivalente como se
hizo en los casos anteriores, dado que ambas ecuaciones corresponden a las variables tensión y corriente en el mismo puerto.
Estos parámetros son muy convenientes para analizar redes
conectadas en cascada, como se vera más adelante.
Parámetros de transferencia inversa ( T’ )
Si hubiéramos tomando como variables independientes la tensión V1
y la corriente I1 podríamos también haber definido una segunda
matriz de transferencia, tal que:
V2  t '11 .V1  t '12 . I1
 I 2  t '21 .V1  t '22 . I1
En notación matricial:
 V2   t '11 t '12  V1 
V1 
.    T '.  
  I   t '

 2   21 t '22   I1 
 I1 
Vemos que, la matriz de transferencia directa T expresa tensión y
corriente en el puerto 1 en función de la tensión y corriente en el
puerto 2, y la matriz de transferencia inversa T ' expresa la tensión y
corriente en el puerto 2 en función de la tensión y corriente en el
puerto 1, resulta que ambas matrices son inversas, es decir [T'] = [T]-1.
Cálculo de parámetros para un circuito
Ejemplo 1: Hallar los parámetros Z para el circuito mostrado
Las ecuaciones de los parámetros Z son:
=0
+
V1  z11 . I1  z12 . I 2
V1
V2  z21 . I1  z22 . I 2
+
V2
-
Por lo tanto, forzando V1 y dejando abierto el puerto 2 podemos
calcular z11 y z21:
I2=0  I1= - I
V1
I1 rb  I re I1  rb  re 
 rb  re
z11 


I1
I1 I 2  0
I1
I2=0  I1= - I
V
z21  2
I1

I 2 0
 I rc  I re
I1
I1   rc  re 

 re   rc
I1
Cálculo de parámetros para un circuito
Ejemplo 1: Hallar los parámetros Z (continuación)
=0
+
+
V1
V2
-
Para calcular z12 y z22 dejamos el puerto 1 en circuito abierto.
V
z12  1
I2
V
z22  2
I2
- I = I2
 I re I 2 re
 re


I2
I2
I1 0
- I = I2
 I  I 2  rc


I1 0
I2

  I 2  I 2  rc
I2
 1    rc
Cálculo de parámetros a partir de ensayos
Ejemplo 2: Se realizaron los siguientes ensayos sobre un cuadripolo.
Proponer un modelo cuadripolar.
Puerto 2 abierto:
V1 = 8 mV
I1 = 4 µA
Puerto 2 en cortocircuito:
V1 = 5 V
I1 = 5 mA
V2 = - 8 V
C
I2 = 250 mA
Como las variables que se anulan en los ensayos son siempre las
variables independientes, V1 e I1 se escribirán en función de las
mismas tal que:
V1  A.V2  B . I 2
I1  C .V2  D . I 2
luego
V1
A
V2
C
I1
V2
8 mV

8 V
I 2 0

I 2 0
4 A
8 V
V1
B 
I2
D
I1
I2
5V

250 mA
V2 0

V2 0
5 mA
250 mA
Relaciones entre los distintos tipos de parámetros
Sucederá a veces que teniendo expresado un cuadripolo a través de
un determinado juego de parámetros, nos interesará conocer otra
representación. Para ello, operando algebraicamente, podremos
obtener cualquiera de los otros juegos de parámetros.
Ejemplo 3: Hallar los parámetros H en función de los Z
Conocidos V1  z11 . I1  z12 . I 2 queremos
V2  z21 . I1  z22 . I 2 calcular
Despejando I2 de la segunda ecuación:
I2 
V1  h11 . I1  h12 .V2
I 2  h21 . I1  h22 .V2
1
z
.V2  21 . I1
z22
z22
Reemplazando en la primer ecuación y reagrupando tenemos:
 V2  z21 . I1 
 z12 
z11. z22 z12 . z21
V1  z11 . I1 z12 . 
 . I1    .V2

z22
z22


 z22 
Relaciones entre los distintos tipos de parámetros
De manera similar se pueden calcular las restantes relaciones entre
los diferentes parámetros (en el apunte pueden encontrarse otros
ejemplos).
Todos los resultados están en la:
Ejemplo
anterior
H = f( Z )
Cuadripolos recíprocos
Se dice que un cuadripolo es recíproco si su matriz de admitancia en
cortocircuito y su matriz impedancia en circuito abierto son
simétricas (es decir, si aij = aji para todo j). En otras palabras, si es
simétrica respecto a la diagonal principal. Para que se verifique esta
condición el cuadripolo solo debe contener elementos pasivos (pero
no fuentes controladas).
Analizando las ecuaciones del modelo en parámetros Z:
V1  z11 . I1  z12
12 . I 2
V2  z1212 . I1  z22 . I 2
Vemos entonces que podemos caracterizarlo solo con tres parámetros. Si suponemos que las ecuaciones anteriores corresponden al
método de bucles, vemos que existe un vínculo galvánico entre las
mallas de entrada y de salida debido justamente al elemento z12 .
Cuadripolos recíprocos
Luego, podemos proponer un circuito que sintetice al cuadripolo, tal
que se cumpla:
V1  z11 . I1  z12 . I 2
z11 - z12
z22 - z12
C
C
z12
V2  z12 . I1  z22 . I 2
I 2  y12 .V1  y22 .V2
y12
C
A este modelo circuital se lo denomina modelo “  ”.
y22 - y12
I1  y11 .V1  y12 .V2
y11 - y12
A este modelo circuital se lo denomina modelo “ T ”.
Análogamente, veamos que ocurre si consideramos las ecuaciones de
un cuadripolo a partir de sus parametros Y, pero pensando en
ecuaciones de nudos:
Transformaciones de red T a red 
Ambas representaciones son únicas para redes recíprocas, es decir,
cada red recíproca tiene una y sólo una T equivalente, y una y solo
una  equivalente. Surge así que cualquier red T que consista sólo en
elementos pasivos tiene una red  equivalente también pasiva, y
viceversa. La transformación de T a  es la que se conoce como
estrella-triángulo, fue analizada en el Capítulo 4,
z12 
z A . zB  z A . zC z1z. zB12. zC
z . z  z ..zz  z B . zC
z z. z. z  z . z  z B . zC
zA 
z1  zBA  B 12A C2
zC z2  A 1 B 2 A C
zCz1  z12  z2
z1  zz12B  z2
z1  z12  z2z A
Interconexión de cuadripolos
A continuación, analizaremos las distintas posibilidades de interconectar 2 cuadripolos según como se conecten entre si los puertos
de entrada y de salida de cada cuadripolo.
Así, tendremos cinco opciones: serie-serie, paralelo-paralelo, en
cascada y mixta (serie-paralelo o paralelo-serie).
Es interesante analizar para cada una cuál es el juego de parámetros
más conveniente para hallar un cuadripolo equivalente.
Interconexión paralelo-paralelo (o simplemente paralelo)
En esta interconexión ambos
cuadripolos tienen idénticas tensiones de entrada (V1) e idénticas
tensiones de salida (V2) por lo que
decimos que se encuentran en
paralelo.
Si modelizamos ambos cuadripolos
de manera que las variables independientes sean las tensiones:
I1o  y11o .V1o  y12o .V2o
o

 I1o 

V
I1  y11 .V1  y12 .V2  I1 

V
o
1 

1 
 o   Y   o  
    Y    
o
o
o
o
o




I 2  y 21 .V1  y 22 .V2  I 2 
V2  I 2  y 21 .V1  y 22 .V2  I 2 
V2 
Observando la corriente del cuadripolo total:
o

o

o





I
I


I

I
V1 
I
 1
o

1
1
1
1
o V1 
 V1 
   o       Y   o   Y      Y   Y   
I    o

 2   I 2  I 2   I 2   I 2 
V2 
V2 
V2 
o

V1  V1o  V1 y V2 YVequiv
2  V2


Interconexión serie-serie (o simplemente serie)
En esta interconexión ambos
cuadripolos tienen idénticas corrientes de entrada (I1) e idénticas
corrientes de salida (I2) por lo que
decimos que se encuentran en
serie.
Si modelizamos ambos cuadripolos
de manera que las variables independientes sean las corrientes:
V1o  z11o . I1o  z12o . I 2o
o
V1o 

I
o
1 




Z
V2o  z 21o . I1o  z 22o . I 2o V2o     I 2o 
V1  z11 . I1  z12 . I 2

V1 

I

1 




Z
V2  z 21 . I1  z 22 . I 2 V2     I 2 
Observando la tensión del cuadripolo total:
o

o

o







V

V
V
V
V



 1
I
I
1
1
1
1
o

1
1 














Z

Z

V 


o

o

o





 2  V2  V2  V2  V2 
 I2 
 I2 
I1  I1o  I1
 I1 
 Z    Z   
 I2 
y I 2  IZ2oequiv
 I 2

o


Interconexión mixta serie-paralelo
En esta interconexión ambos
cuadripolos tienen idéntica corriente de entrada (I1) e idéntica
tensión de salida (V2) por lo que
decimos que la interconexión es
mixta.
Si modelizamos ambos cuadripolos
de manera que las variables independientes sean I1 y V2:
V1o  h11o . I1o  h12o .V2o
o
V1o 

I
o
1 
 o    H   o 
o
o
o
o
o
I 2  h21 . I1  h22 .V2  I 2 
V2 
V1  h11 . I1  h12 .V2

V1 

I

1 
     H    





I 2  h21 . I1  h22 .V2
 I2 
V2 
Observando las variables V1 y I2 del cuadripolo total:
o

o

o







V

V
V
V
V
 I1 



I
I
 1
o

1
1
o

1
1
1
1 
   o        H   o    H       H    H   
I    o

 2   I 2  I 2   I 2   I 2 
V2 
V2 
V2 
I1  I1o  I1 y V2  H
V2oequiv
 V2


Interconexión mixta paralelo-serie
En esta interconexión ambos
cuadripolos tienen idéntica tensión de entrada (V1) e idéntica
corriente de salida (I2) por lo que,
como en el caso anterior, decimos
que la interconexión es mixta.
Si modelizamos ambos cuadripolos
de manera que las variables independientes sean V1 y I2:





o




I1o  h11o .V1o  h12o . I 2o  I1o 
I

h
.
V

h
.
I


V



I
V
1
1
2
o
1

1
1 
11
12






H




H
  I o  V   h .V   h . I  V   
I 
V2o  h21o .V1o  h22o . I 2o V2o  
1
2
 2 2
 2 
 2
21
22
Observando las variables I1 y V2 del cuadripolo total:
o

o

o







I

I
I
I
I
 1
o

1
1
1
1
o  I1 
  I1 

















H

H

H

H









V 
o

o

o








 2  V2  V2  V2  V2 
V2 
V2 
o  V 
V  V o  V  y V H
V equiv

1
1
1
2
2
2

V1 
 
V2 
Interconexión de cuadripolos
Resumiendo, de acuerdo a como estén conectados los puertos de
entrada y los puertos de salida de los cuadripolos será conveniente
utilizar un juego de parámetros determinados para hallar una representación equivalente resultante de la interconexión.
PARALELO SERIE
Puertos de salida
Puertos de entrada
SERIE
PARALELO
 Z equiv    Z o    Z    H'equiv    H' o    H'  
 H equiv    H o    H  
Yequiv   Y o   Y  
Interconexión en cascada (o en tandem)
En esta interconexión el puerto de salida de un cuadripolo
se conecta al puerto de entrada
del siguiente. Así, dado que
las variables de salida de un
cuadripolo son las variables de
entrada del siguiente, el modelo más conveniente para analizar la
interconexión será el de parámetros T.
o






V1o 

V
V1 

V
o
2  V1  A .V2  B . I 2

2 


 o   T   o  
    T    
o
o
o
o
o




I1  C .V2  D . I 2  I1 
 I 2 
  I 2  I1  C .V2  D . I 2  I1 
V1o  Ao .V2o  B o . I 2o
Observando las variables de entrada del cuadripolo total tenemos:
o
o






V
V
V



V
V
 1
o
  V2 
o
o
1
2
1
o

2 

 I    o   T  .  o   T  .     T  . T      T  . T  
I

I
I

I

I
 2 
 1   1 
 1 
 2
 2
V2  V2 y I 2Tequiv
I2
V2o  V1 y  I 2o  I1
Observ: El producto matricial no es conmutativo! Respetar el orden según la conexión!
Ejemplo 4: Interconexión de cuadripolos
Hallar los parámetros del cuadripolo equivalente correspondiente
a la conexión mostrada.
Lo primero que observamos es que
ambos cuadripolos comparten en
sus puertos de entrada la misma
tensión (V1) y en sus puertos de
salida también (V2).

 Conviene utilizar los
Interconexión paralelo-paralelo
parámetros Y
Para determinar los parámetros Y de cada cuadripolo habrá que ensayar cada cuadripolo con un corto en el puerto de entrada y con un
corto en el puerto de salida y hallar las impedancias correspondientes.
I1  y11 .V1  y12 .V2
I 2  y21 .V1  y22 .V2
Ejemplo 4: Continuación
Cuadripolo 1:
salida enencorto
Ensayando el puerto de entrada
corto
=0
+
V1
=0
II11
y

11
12
+
V12
V2
I 22
y21

22
V12
1
0
2 x 106 
VV2100
105 V1
1
75  105


75 
VV21  0 75 V1
Cuadripolo 2:
+
V1
+
V2
y1211 
I1
V12
y2221 
I2
V21
I2
1 2
1



3
2I 2x 10310
3 
10

V21  0



2
2 I2
I12
1





3 3
I 23 
103  
103  
   10
V1200


I10
1 10
2
Ejemplo 4: Continuación
Así, tenemos nuestra interconexión
de dos cuadripolos en paralelo,
donde cada cuadripolo está caracterizado por sus paramtros Y.
1

 2 x 106 
YC1  
 105
 75 


0 

1 
75  
1

 2 x 103 
YC2  

1


3
 10  

Cequiv
1 
103   

2

103  

C1
C2
Luego, como se dedujo anteriormente, el cuadripolo equivalente estará caracterizado por:
Yequiv   YC1   YC2 
Ejemplo 5: Interconexión de cuadripolos
Para la siguiente interconexión de
los cuadripolos C1 y C2 se conocen dos ensayos realizados sobre
C1 y la matriz H del cuadripolo 2.
+
V1
-
I2
C1
+
V2
-
C2
Cuadripolo 2:
V2 = 8 V
V2 = 2,5 V
H C2
103 
10 


3
10
10



Cuadripolo 1:
1) Puerto 1 en circuito abierto:
V1 = 8 mV
I2 = 4 mA
2) Puerto 2 en circuito abierto:
V1 = 5 V
I1 = 1 mA
I1 Cequiv
Determinar el modelo cuadripolar equivalente más conveniente
para caracterizar la interconexión.
Lo primero que vemos es que la interconexión es del tipo cascada, por
lo que conviene trabajar con los parámetros T de cada cuadripolo.
A su vez de los ensayos sobre C1 vemos que al ser la variables independientes las que se anulan podemos calcular sus parámetros Z.
Ejemplo 5: Continuación
Cuadripolo 1:
z21 
V1
I1
V2
I1

I 2 0
5V
 5K 
1mA
z12 
2,5V
 2,5K 
1mA
z22 

I 2 0
V1
I2
V2
I2

I1 0
8mV
 2
4mA

I1 0
8V
 2K
4mA
Cuadripolo 2:
HC2
Tabla
 9,9
TC 2  
-3

0,1
x
10

Tabla
 2
TC1  
-3
0,
4
x
10

TC1
3998  
0,8 
TC2


H C2
103 
10 


3
10
10


ZC1

z11 
 1 
 0,1 
Como ya vimos anteriormente para la interconexión en cascada, la
matriz de parametros equivalente Tequiv se obtiene a partir de la
multiplicación matricial de TC1 por TC2.
Tequiv   TC1 TC2 