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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON
Facultad de Ciencias y Tecnología_H Departamento de Matemáticas H_Fecha: 25 de agosto de 2012
XI OLIMPIADA MATEMÁTICA “GAUSS”
NIVEL 2
A.Paterno/A.Materno/Nombre(s)
Colegio/ Num. telefónico domicilio
Recomendaciones: Llene sus datos usando letra imprenta en mayusculas, dejando un espacio en
blanco como separación. Lea cuidadosamente cada pregunta y justi…que sus respuestas. Prohibido copiar
1. A lo largo de una recta se ponen triángulos rectángulos idénticos de color blanco de lados 3 cm, 4
cm y 5 cm, como en la …gura, uno tras otro tal que la posición de un triángulo es la del anterior
cuando ha girado hacia la derecha, en la …gura se pusierón 5 triángulos, se sigue este proceso usando
200 triángulos. Halle el perímetro de la …gura que se obtiene con este proceso. Por ejemplo la …gura
tiene perímetro 48
5
4
3
2. Pedrito escribió en una lista todos los números naturales que no son múltiplos de 3:
1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; :::
Luego Pedrito escogió un número de su lista, y sumó los dos números de la lista que son vecinos del
número (el que esta a la izquierda y el que esta derecha del número escogido) que él escogió. Si el
resultado de esa suma fue 785, ¿qué número de la lista escogió Pedrito?
3. Miriam escribe un número de tres cifras. Después intercambia la cifra de las centenas con la cifra de
las unidades y escribe este nuevo número. Si suma los dos números que escribió obtiene un número
de tres cifras iguales. ¿Cuál fue el primer número que escribió Miriam? Dar todas las posibilidades.
4. Carola pensó tres números (ninguno cero), los sumó y obtuvo 100. Uno de los números es múltiplo
de 11 y los otros dos son múltiplos de 4. ¿Cuáles pueden ser los tres números que pensó Carola? Da
todas las respuestas posibles.
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1
Solución Nivel 2, XI Olimpiada Matemática "GAUSS"_2012
Responsable: Mgr. Alvaro H. Carrasco Calvo
1.Observenmso que el siguiente patrón se repite periódicamente
1
5
5
43
3
4
4
3
5
y además tiene perímetro 30, entonces dividiendo los 200 triángulos entre este patrón de 3 triángulos,
tenemos
200
2
3
66
de donde todo tiene la forma siguiente
1
5
5
4
3
5
3
4
66
y así el perimetro es igual a: 66 30 + (5 + 1 + 5 + 4 + 3) = 1998:
2. Como 785 será suma de tres números "casi" consecutivos entonces uno de ellos será aproximadamente
' 261, entonces construyamos los números de Pedrito en torno a este número:
igual a 785
3
...,256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263,...
en la cual eliminamos los números multiplos de tres, tomando un número y sus vecinos obtenemos:
257 + 265 + 259 = 781
259 + 257 + 260 = 776
260 + 259 + 262 = 781
262 + 260 + 263 = 785
de manera que Pedrito escogió el número 262
3. Sea el número que penso Miriam abc; entonces tenemos la siguiente suma:
2
observemos que a + c no puede ser mayor de 10 que la suma daría un número de 4 cifras lo cual no es.
Como el resultado es un número de tres cifras iguales tenemos
2b = a + c
y se tienen las soluciones
c
a
2b
b
1
1
2
1
3
1
4
2
2
2
4
2
1
3
4
2
5
1
6
3
4
2
6
3
3
3
6
3
2
4
6
3
1
5
6
3
7
1
8
4
6
2
8
4
5
3
8
4
4
4
8
4
3
5
8
4
2
6
8
4
1
7
8
4
luego existen los siguientes 16 números:
111; 123; 222; 321; 135; 234; 333; 432; 531; 147; 246; 345; 444; 543; 642; 741
4.Carola pensó tres números, los sumó y obtuvo 100. Uno de los números es múltiplo de 11 y los otros
dos son múltiplos de 4. ¿Cuáles pueden ser los tres números que pensó Carola? Da todas las respuestas
posibles.
Consideremos todos los múltiplos de 11 y tenemos
Caso 1: usemos el múltiplode 11 igual a 11 1 = 11; entonces 100 11 = 89 el cual no es múltiplode 4
Caso 2: usemos el múltiplode 11 igual a 11 2 = 22; entonces 100 22 = 78 el cual no es múltiplode 4
Caso 3: usemos el múltiplode 11 igual a 11 3 = 33; entonces 100 33 = 67 el cual no es múltiplode 4
Caso 4: usemos el múltiplode 11 igual a 11 4 = 44; entonces 100 44 = 56 el cual es múltiplode 4
, entonces los otros dos número múltiplos de 4 pueden ser 4a y 4b entonces 4a + 4b = 4 (a + b) = 56 de
donde a + b = 14 y tenemos los casos
b
a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Caso 5: usemos el múltiplode 11 igual a 11 5 = 55; entonces 100 55 = 45 el cual no es múltiplode 4
Caso 6: usemos el múltiplode 11 igual a 11 6 = 66; entonces 100 66 = 34 el cual no es múltiplode 4
Caso 7: usemos el múltiplode 11 igual a 11 7 = 77; entonces 100 77 = 23 el cual no es múltiplode 4
Caso 8: usemos el múltiplode 11 igual a 11 8 = 88; entonces 100 88 = 12 el cual es múltiplode
4, entonces los otros dos número múltiplos de 4 pueden ser 4a y 4b entonces 4a + 4b = 4 (a + b) = 12 de
donde a + b = 3 y tenemos los casos
b
a
2 1
1 2
Caso 9: usemos el múltiplode 11 igual a 11 9 = 99; entonces 100 99 = 1 el cual no es múltiplode 4
Como el orden de los números no es importantes, Carola penso en 8 número los cuales son:
f44; 4; 52g f44; 8; 48g f44; 12; 44g f44; 16; 40g f44; 20; 36g f44; 24; 32g f44; 28; 28g f88; 8; 4g
3