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Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Chile
MA1001-3: Introducción al Cálculo.
Profesor: Leonardo Sánchez C.
Auxiliar: Ítalo Riarte C.
Auxiliar 14: Derivadas.
- Definición : f ′(x 0 ) = lim
f (x ) − f (x 0 )
x − x0
x →x 0
= lim
f (x 0 + h ) − f (x 0 )
h
h →0
.
- Álgebra de Derivadas : La suma, resta y ponderación se portan como debe ser, mientras que para el
 f ′
f ′ ⋅ g − f ⋅ g′
producto y cuociente se tienen las fórmulas: ( f ⋅ g )′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ y   =
.
 g 
g2
- Regla de la cadena : Bajo ciertas hipótesis se cumple que (g f )′ = g ′( f ) ⋅ f ′.
- Derivada de la Inversa : Si f es derivable ⇒ ( f −1 )′ =
1
.
f ′( f −1 )
- Derivadas conocidas : (x α )′ = αx α −1, (e x )′ = e x , (ln x )′ = x1 , (sen x )′ = cos x , (cos x )′ = − sen x .
…………………………………………………………………………………………………………………......
P1. Derive las siguientes funciones:
3
(
)
a) f1(x ) = 1 + ln(e x + 1) + x 2 .
b) f2 (x ) = a x + x a + e, a > 0.
c) f3 (x ) = cos3 (e 3x ) + cos sen(2x )(x ) + cos(x sen(2x ) ).
d) f4 (x ) =
P2. Sea f (x ) =
n
x − tan(2x )
+ arcsen e −x tan ( 51x ) .
x + sec(x )
(
)
arctan (x )
, si x ≠ 0, con f (0) = 1. Demuestre que la función es derivable y calcule su
x
derivada para cada x ∈ .
P3. (a) Escriba la ecuación de la recta tangente a la curva, definida implícitamente por la relación:
x 3y 3 + xy = 2,
en el punto P = (x 0, y 0 ), del primer cuadrante. Pruebe que la recta tangente corta a los ejes
coordenados en A y B de modo que P es el punto medio del trazo AB.
(b) Para f (x ) = x 2 + x determine la ecuación de la recta tangente ( T ) y normal ( N ) en el punto
x = x 0 . Determine el conjunto Ω definido por:
{
Ω = x 0 ∈ : (2, −3) ∈ T
}
P4. Sea f diferenciable en x = x 0 y en x = 0, Calcule los siguientes límites:
(i) lim
h →0
f (x 0 + 2h ) − f (x 0 − h )
h
.
(ii) lim
h →0
f (x 0 + αh ) − f (x 0 + βh )
h
.
f (h 2 ) − f (3h )
(iii) lim
.
h →0
h
1