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SEK-CATALUNYA COL·LEGI INTERN ACIONAL Quadern d’estiu 2010/11 Àmbit: Científic-Tecnològic Matèria: Matemàtiques I Alumn@: Curs: 1BAT COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: GENERAL Estudia (abans de fer els exercicis) la teoria que calgui en cada cas. Els exercicis tenen dificultat gradual. INDICACIONS Aquests dossier de matemàtiques és part imprescindible del curs vinent. Els exercicis són fonamentals per poder seguir l’assignatura de matemàtiques de segon. Els apunts que teniu i els exercicis que hem estat realitzant al llarg del curs us seran de gran utilitat per resoldre un dossier pensat per aquells alumnes que no volen tenir problemes el proper curs de batxillerat. La data de lliurament serà el primer dia de curs 2011/2012 i per aprovar el dossier cal presentar tots els exercicis comentats i resolts. Heu de tenir en compte que el interès d’aquests fulls consisteix en entendre el perquè de la solució i no la solució en si. L’any que bé les matemàtiques seran molt diferents i els procediments seran fonamentals per resoldre problemes que no haureu realitzat durant el curs. La selectivitat ens demanarà dominar la visió conjunta de la resolució dels problemes. Així que aprofiteu aquest estiu per posar-vos al dia. ¡ Passeu unes bones vacances! 2 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: TEMARIO MATEMÁTICAS 1º BAT PARTE 1-REPASO DE CONCEPTOS 1.1.- Repaso Identidades notables 1.2.- Repaso de operaciones con fracciones 1.3.- Repaso de trigonometría básica 1.4.- Repaso de ecuaciones de 2º grado, bicuadráticas y SE. 1.5.- Repaso de representaciones gráficas PARTE 2-RACIONALIACIÓN 2.1.- Identidades notables 2.2.- Raíces y potencias 2.3.- Propiedades de las raíces. Operaciones con raíces. 2.4.- Racionalización de denominadores 2.5.- Simplificación de expresiones. Racionalización y potenciación. PARTE 3-TRIGONOMETRÍA 3.1.- Razones trigonométricas 3.2.- Transformaciones de sumas en productos y productos en sumas 3.3.- Razones trigonométricas del ángulo doble, mitad, ángulo suma y resta 3.4.- Teorema del seno y del coseno 3.5.- Resolución de Ecuaciones trigonométricas e interpretación geométrica PARTE 4-AMPLIACIÓN DE TRIGONOMETRÍA 4.1.- Representación gráfica de funciones trigonométricas básicas. 4.2.- Periodo, dominio y continuidad de funciones trigonométricas 4.3.- C/D, Máximos y mínimos relativos en funciones trigonométricas 4.4- Rep. Gráf. de funciones trigonométricas complejas: valor absoluto, etc PARTE 5-VECTORES 5.1.- Definiciones y operaciones con vectores. 5.2.- Combinaciones lineales entre vectores 5.3.- Producto escalar 3 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: 5.4.- Aplicaciones geométricas PARTE 6-ANALÍTICA DE LA RECTA 6.1.- Ecuaciones de la recta: explícita, implícita, canónica, continua 6.2.- Paralelismo y perpendicularidad 6.3.- Puntos de intersección 6.4.- Ángulo entre dos rectas. Distancia entre dos puntos. PARTE 7-FUNCIONES. LÍMITES 7.1.- Concepto de función. Dominio y recorrido. 7.2.- Funciones algebraicas y operaciones con funciones. 7.3.- Límite en un punto, laterales y en el infinito 7.4.- Función continua en un punto 7.5.- Interpretaciones gráficas del límite PARTE 8-INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS 8.1.- Variación de una función en un punto 8.2.- Derivada de una función en un punto 8.3.- Función derivada. Cálculo de derivadas 8.4.- Aplicaciones de la derivada. Recta tangente y Optimización PARTE 9-INTRODUCCIÓN A LAS MATRICES 9.1.- Concepto de matriz 9.2.- Matrices de 2x2. Operaciones con matrices de 2x2 9.3.- Determinante de una matriz 2x2 9.4.- Adjunta de una matriz 2x2. Inversa de una matriz 2x2 9.5.- Resolución de Sistemas de Ecuaciones con matrices 9.6.- Introducción a las matrices de 3x2, 2x3 y 3x3 9.7.-Métodos de inducción para potencia de matrices. PARTE 10-INTRODUCCIÓN A LAS INTEGRACIÓN 10.1.- Introducción al concepto de función primitiva 10.2.- Cálculo de integrales inmediatas 10.3.-Integrales definidas. Aplicaciones: Regla de Barrow 4 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: 1. Resolver las siguientes ecuaciones irracionales: a) x 2 x - 1 4 c) b) x 4 2x - 1 6 0 d) x 20 3 x - 1 2x 9 x 1 x - 4 0 2. Racionalizar las siguientes expresiones: a) 5 7 7 5 b) 3 5 5 3 3. Halla todas las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen x = 0 2 b) cos 2x = 2 c) 1 + cos x = 0 d) tg 3x = -1 4. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas, dando todas sus soluciones: a) cos 2x – 3 sen x + 1 = 0 b) sen x – sen 2x = 0 sen 2 x tgx c) 3 4 d) sen x + cos x = 0 e) 2 tg2 x + sec2 = 2 5. Resolver los sistemas: senx seny 1 a) senx seny 1 sen 2 x y 2 b) cos 2 x y 2 cosx cosy 1 c) cos2x cos2y 0 5 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: 6. Determina si son ciertas las siguientes igualdades: a) tg (45 + a) – tg (45 – a) = 2 tg 2a b) ( cos x + sen x)2 = sen 2x + 1 c) (tg x + ctg x)2 = sec2 x + cosec2 x x 1 2λ 7. Dadas las rectas r ax – 2y + 3 = 0 y s Calcular “a” : y - 1 - λ a) Para que r y s sean paralelas b) Para que r y s sean perpendiculares 8. Los puntos A(-1 , 3), B(5 , 6) y C(7 , 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Hallar el cuarto vértice D. 9. Calcular el valor de x para que el punto A(x,-3) pertenezca a la recta que pasa por B(1,-1) y C(4,7) x2 y 1 se pide: 2 a) Comprobar que A no pertenece a r b) Calcular la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular a r. c) Obtener las coordenadas del punto simétrico de A respecto a r. 10. Dados el punto A (1,1) y la recta r : 11. Calcular el dominio de las funciones: 3x - 5 a) y 3 b) y 3 x 3 x 2 x x 2x c) y log x 3 4x x 2 2x 1 d) y x 3 3x 2 12. Representar las funciones: x 2 si x 1 a) f(x) 2 si x 1 2 - x si x 1 d) f(x) x 2 - x 2 x 2 si x 3,1 b) f(x) si x 1, 0 e) f(x) x 2 2x - 3 3x - 1 si x 0 c) f(x) x 2 1 si 0 x 2 4 si 2 x - x 2 2x 3 si x -1 f) f(x) x 5 si x -1 13. Calcular los límites siguientes: 6 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: a) lím 3x 4 7x 2 x 2 x x 2 5x 2 g) lím x 5x 3 x 2 1 2x 5 2x 3 5x 3 x 2x 5 b) lím 2x 5x 5 4x 3 x 2 2x 3 3 d) lím 5x 3 2 x x x 7 e) lím x h) lím x x 4x 2 2 c) lím 3x 2 x 2 5x 5 6x 2 4x 2 7x 3 2x 5 f) lím x 3x 2 x 2 1 x 3 x 3x 1 i) lím 2 x x 3 2 14. Calcular las asíntotas de las funciones: a) y 3x 2 5x 1 x2 9 b) y 5x 2 2x 1 x d) y 5x - 2 x 2x 3 2 15. Calcular los puntos de discontinuidad de las funciones siguientes: a) y 3x - 5 3 x x 2 2x b) y 3 x 3 x c) y log x 3 4x x 2 2x 1 d) y x 3 3x 2 16. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: x 2 si x 1 a) f(x) 2 si x 1 2 - x si x 1 d) f(x) x 2 - x 2 x 2 si x 3,1 b) f(x) 0 si x 1, e) f(x) x 2x - 3 2 3x - 1 si x 0 c) f(x) x 2 1 si 0 x 2 4 si 2 x - x 2 2x 3 si x -1 f) f(x) x 5 si x -1 7 3x 2 x 1 5x 4 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: x 3 kx2 2 x 4 sea un x 2 x2 x 2 17. Calcula el valor de k para que el límite lím número real. Calcula cuál es ese número. 18.Calcular la derivada de las funciones siguientes: a) y = 3x 2 e) y = b) y = 5x 4 2 3 x 4 x 2 3x + 5 5 c) y = 4x 3 5 d) y = 5x 4 4x 3 - 2x + 3 f) y = 3x + 2 5x 2 2x - 1 19. Aplicando la regla de la cadena, calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y = (5x +3)5 d) y = 3x + 2 3x - 2 b) y = x 2 7 2 x e) y = c) y = 3x2(x2+3)8 1+ x f) y = 1- x g) y = L(2x-1) h) y = ln j) y = x 3 e 5x -2 k) y = 2x + 1 2x - 1 2x + 3 x 2 3 2 i) y = x3 L(x2-1) ln x x l) y = e 2x x2 20. Calcula la derivada de las siguientes funciones trigonométricas: a) y = sen x2 d) y = cos (7x2 + 3) g) y = cos e 2x b) y = sen2 x e) y = cos h) y = sen 2 3x 2 c) y = sen (x2 + 2x + 3) 2x f) y = sen 2x + 1 x i) y = sen 2x · cos 3x 8 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: k) y = sen 2x l) y = tg 5x2 m) y = tg ( x3 + 2x) n) y = tg 2 ñ) y = tg e2x o) y = L (sen 5x) p) y = tg 5x2 q) y = tg2(10x) r) y = arc sen ( 5x2+2) 21. Calcula la derivada de las siguientes funciones implícitas: x+y 1 x-y a) x2+y2+3x-2y = 5 b) 3x2- 2y2+ 3xy = 0 c) d) sen (x + y) = x f) sen x + cos y = 0 g) Ln y = 3x2 22. Aplica la derivación logarítmica para calcular la derivada de las funciones siguientes: a) y = 33x+5 b) y =x5x-2 c) y = e x 2 23. a) Calcular la segunda derivada de y = 3x + 1 x2 3 b) Calcular la tercera derivada de y = cos 3x. c) Calcular la cuarta derivada de y = e2x 9 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: 24. Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a las curvas siguientes en los puntos que se indican: a) y = x4 – 2x + 3 en el punto (-1, 6) b) y = 2x3 + x2 + 1 en el punto de abscisa -1 c) y x 2 en el punto (2, ) 2 5 1 x 25. Calcular la ecuación de la tangentes a la función y = 3x2 + 6x – 2 paralelas a la recta de ecuación 6x + 3y + 5 = 0 26. Calcular las ecuación de la tangente a la función y = x+4 en el punto x = 2 4-x 27. Calcular las ecuación de la tangentes a la función y = x4 – 2x2 que sean horizontales 28. Halla la pendiente de la tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto dado: a) 3x2 + y2 =7 en el punto (-1,2) b) x3 - 3xy + y2 = 8 en el punto (-2,2) 29. Hallar b, c y d en la función f(x) = x3 + bx2 + cx + d para que tenga un punto de inflexión de abcisa x = 3, y alcance un mínimo en el punto (1,0) 30. Determinar a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un punto de inflexión en (-2, 6) con tangente en él paralela a la recta 8x + y + 10 = 0 y tome el valor –2 para x = 0 31. Calcula la derivada n-ésima de las siguientes funciones: a) y = e2x 10 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: b) y = x·ex c) y = sen (3x) 32. Estudia y representa las siguientes funciones: a) y = x3 + x2 d) y x2 1 x 2 b) y = x4 – 4x2 e) y x2 x2 1 c) y = x2 1 x f) y x3 2x 2 8 33.En una amplia pradera atravesada por un camino recto se quiere vallar un campo rectangular tomando como uno de sus lados el camino. Se sabe que el metro de valla del lado del camino vale a 100 € el metro y la de los otros lados a 20 € el metro. ¿Cuál es la medida del mayor campo que se puede vallar con 36000 €? 34. De entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima? 35. Se quiere construir un recipiente cónico cuya generatriz mida 10 cm y tenga capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base? 36. Se quiere construir una ventana rectangular con 2 m2 de luz. Se sabe que el precio del marco vertical es de 80 €/metro y el horizontal 10 €/metro. ¿Cuáles serán las medidas del marco más económico? 37. Encuentra las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un círculo de radio 4 m. 38. Se quieren vallar dos campos de deporte rectangulares iguales con un lado común con 600 m de valla (se trata de vallar el contorno de ambos y el lado de separación). Halla las dimensiones si el cercado encierra una superficie máxima. 39. Se sabe que el rendimiento r en % de un estudiante que realiza un examen de una hora viene dado por: rt300t1tsiendo 0 < t < 1 a. Explica cuándo aumenta y cuándo disminuye el rendimiento. 11 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: b. ¿Cuándo se anula?. c. ¿Cuándo es máximo? 40. Se desea construir una lata de conserva de área total 150 cm2 y de volumen máximo. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones? 41. Un jardinero desea construir un parterre con forma de sector circular de 40 m de perímetro, ¿qué radio debe de tener el sector para que el parterre tenga la mayor superficie posible? 42. Una noche oscura y lluviosa, la temperatura T (en grados centígrados) varió con el a. b. c. d. tiempo t (en horas) según la función Ttt 2 9t 8 si 0 t 12 . ¿Qué temperatura había a las dos de la mañana? ¿A qué hora hubo una temperatura de cero grados? ¿Cuál fue la temperatura máxima?¿A qué hora se produjo? ¿Cuál fue el intervalo de variación de la temperatura desde las 0 horas hasta las 12 horas? e. Dibuja la gráfica de la función en el intervalo 0,12horas. 43. Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de dicha pista sea de 200 m, haya las dimensiones que hacen máxima el área de la región rectangular. 44. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un triángulo equilátero de 2 m de lado si el rectángulo tiene dos vértices consecutivos en un lado y los otros dos vértices uno en cada uno de los lados del triángulo. 45. Calcula las dimensiones de un cono cuya generatriz es constante e igual a 12 m si su volumen ha de ser máximo. 46. Se ha estudiado el rendimiento de los empleados de una oficina a mediada que transcurre la jornada laboral. (Dicho número corresponde al número de instancias revisadas en una hora). La función que expresa dicho rendimiento es: Rt30t 10,5t 2 t3 siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral. Determina cuándo se produce el máximo rendimiento y cuándo se produce el mínimo rendimiento. 12 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: 47. Se desea construir cajas de embalaje en forma de prisma cuadrangular recto de modo que sus tres dimensiones sumen 72. ¿Cuáles han de ser las dimensiones para que la capacidad de las cajas sea máxima? 48. Hallar los puntos de la curva y2 = 6x cuya distancia al punto P(4,0) sea mínima. PER AMPLIAR CONEIXEMENTS… 1. Expressa en forma d’una sola arrel a. 23 3 d. a3 a 2 e. 7 .3 5 12 10 0.5 3 b. 5 . 2 1 2 1 3 3 .6 4 5 c. f. a 2 .n a 2. Expressa de manera més senzilla: a. 4 12 3 75 6 3 b. 125 2 20 5 3. Racionalitza i calcula: 6 6 a. 6 6 7 6 b. 4 2 4 2 4. Calcula : 13 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: a) 2 34 2 2 b) 7 3 3 12 2 75 5. Escriu com única arrel 3 4 a) 7 · 7 0,5 b) 3 100 ·10 1 2 23 4 5 c) 8 c) a2 ·3 a 6. Calcula i racionalitza les expressions següents 3 3 a) 3 3 2 ·( b) 1 8 3 3 3 3 3 32 ) 7. Resol les següents equacions 3 a) b) 1 x 2 2 2x x 1 8. Indica quines de les següents expressions són polinomis. En cas que ho siguin, indica’n el grau: x2 1 4 a. 2 b. 5 x 4 x 1 14 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT CIENTÍFIC MATEMÀTIQUE 1r BAT QEST-0405 S ALUMNE: c. x4 16 d. x5 16 9. Trobar el domini de les següents funcions: 5x 8 3x 7 x 4 a. 3x 2 5 g ( x) 3 x 5 x 2 4 x 20 b. 2 c. h( x) 2 x 32 f ( x) 2 3 2 d. p( x) x x 30 x 2 e. q( x) log 2 (2 x 8x 42) 2 f. r ( x) ln( 3x 2 x 8) 10. Troba el domini de les següents funcions: 2 a. f (x) = 3 - 5 x 3 b. f (x) = x - 2x +4 2 2 c. f (x) = x 3 d. f (x) = 2 x 1 2 e. f(x) = x 1 15 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 16 ALUMN@: x2 f. f(x) = 4 x 1 g. f (x) = x 5 11. Troba els següents límits a. b. lim x 4 x 6 lim x 2 x2 2 x 2 18 lim c. x3 x 3 5 x 15 lim 2 d. x 3 x 9 x2 9 lim 2 e. x3 x 6 x 9 12. Troba els següents límits lim x 4 a. x lim x 2 b. x 2 x 2 18 lim c. x x 3 5 x 15 lim 2 x x 9 d. x2 9 lim 2 e. x x 6 x 9 13. Calcular els límits següents: 16 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 17 ALUMN@: 2x 2 6 x4 4 2 x 2x 2 lim 3 x 1 x 1 x2 9 lim 2 x 3 x 4 x 3 4x 9 lim x 5 5 3 x x 3 3x 2 4 x 12 lim x 3 9 x2 lim a. b. c. d. e. 17 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 18 ALUMN@: 2x 4 14. Troba el domini de la següent funció: f(x) = 1 x Calcula les seves asímptotes verticals i horitzontals. Troba els talls amb els eixos i fes un dibuix aproximat de la funció. Digues el seu recorregut. 15. Trobeu el domini de la funció: f(x) = -x2 + 7x + 10 a. Amb l’ajuda de la primera derivada estudia quan és creixent i quan decreixent. b. Amb l’ajuda de la segona derivada estudia quan és còncava i quan convexa. c. Estudia els punts de tall amb els eixos. d. Fes un dibuix aproximat de la paràbola i indica on té el màxim. e. Digues quin és el recorregut. 16. Donada la funció f(x) = ax4 – 5x3 + bx2 – cx + 3. Calcular a, b i c de manera que: a. La funció talla a l’eix d’abscissa en x = 3 b. La recta tangent en x = 2 és perpendicular a 2x + 4y + 100 = 0 c. f (0.5) 4 3x 2 6 x 3 4x 8 17. Donada la funció: a. Trobar el seu domini i les asímptotes b. Trobar els intervals de creixement i decreixement c. Trobar els màxims i mínims f ( x) 18. Trobar a i b de manera que f(x) = a ln x + b x2 + x tingui extrems relatius en els punts de abscisses x = 1 i x = 2, i dir, en cada cas, si es tracta d’un màxim o d’un mínim. 15 3 x f ( x) 2 2 x 32 , trobar els punts en els que la recta 19. Donada la funció: tangent és paral·lela al eix de abscissa. 18 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 19 ALUMN@: f ( x) 20. Considereu: x 2 4x 1 x 1 a. Trobeu el domini i les asímptotes de la funció b. Calculeu els intervals de creixement i decreixement c. Calculeu els màxims i mínims x2 1 x 1 21. Considereu la funció definida per a. Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en el punt x = 0 b. En quin punt de la gràfica de la funció f la recta tangent és paral·lela a la recta tangent que heu trobat en l’apartat anterior. f ( x) a 6 x x 2 , on a és un paràmetre. 22. Considereu la funció: a. Calculeu el valor del paràmetre a sabent que f(x) té un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 3 b. Aquest extrem relatiu, es tracta d’un màxima o d’un mínim? Raoneu la resposta a 6 f ( x) 1 2 x x , on a és un paràmetre. Calculeu el 23. Considereu la funció: valor del paràmetre a sabent que f(x) té un extrem relatiu en el punt d’abscissa x = 3 f ( x) 1 4 3 2 24. Considereu la funció: f ( x) x ax bx cx 7 a. Calculeu els valors de a, b i c sabent que: i. La recta tangent en el punt x = 0 és horitzontal ii. La funció té un extrem relatiu en x = -2 iii. La funció talla l’eix OX quan x = 1 b. Per als valors obtinguts, calculeu els intervals on la funció creix i decreix, els seus màxims i mínims. x 2 2x 3 f ( x) x 1 25. Considereu: a. Trobeu el domini i les asímptotes de la funció b. Calculeu els intervals de creixement i decreixement c. Calculeu els màxims i mínims 19 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 20 ALUMN@: x2 1 x 1 26. onsidereu la funció definida per a. Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en el punt x = 0 b. En quin punt de la gràfica de la funció f la recta tangent és paral·lela a la recta tangent que heu trobat en l’apartat anterior. f ( x) 27 - Considereu les matrius 1 3 A 2 2 i 1 3 B 2 2 a) Trobeu la matriu M, quadrada d’ordre 2, tal que M · A = B. 2 b) Comproveu que M = I ( I matriu identitat d’ordre 2) i deduïu l’expressió de Mn 28 - Calculeu l’àrea del triangle ABC representat en l’esquema següent: 28 - Del polinomi P(x) = x³+ax²+bx se sap que la seva recta tangent en el punt x = 1 és paral·lela a la recta y = 7x-3 i també se sap que té un extrem en x = -1. Calculeu a , b i l’ equació de la recta tangent en x = 1. 29 - La gràfica següent representa una funció polinòmica de segon grau (paràbola). 20 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 21 ALUMN@: a) Trobeu el vèrtex de la paràbola i les interseccions amb els eixos. b) Determineu l’equació de la paràbola. 30 - Considereu la funció real de variable real f ( x) 2x m x , on m és un paràmetre real. a) Calculeu el valor que ha de tenir m perquè la tangent a la gràfica de f (x) en el punt d’abscissa x = –3 sigui paral·lela a la recta x – 3y + 1 = 0. Calculeu també l’equació d’aquesta tangent. Ara fixeu el valor de m = 1. b) Determineu el domini de la funció i els intervals on és creixent o decreixent. c) Determineu-ne les asímptotes. d) Dibuixeu un esbós de la gràfica resultant. 31- Donades les matrius: 4 2 A 2 2 i 1 1 B 1 1 Trobar la matriu X tal que : a. b. c. d. e. AX = B BX= A AX +A = BX +B AX = tB + X AX - tA = BX – tB 21 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 22 ALUMN@: 32- Considereu les matrius 0 3 1 2 i B A 2 1 3 2 t 1. Trobeu la matriu X tal que X · A = B - X 99 100 2. Calculeu X i X . MATRICES 22 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 23 ALUMN@: CONOCIMIENTOS 1 1) (2 puntos) 2) (2 puntos) 3) (2,5 puntos) Estudio de las asíntotas y de la monotonía (C/D, máx y mín y Concavidad/Convexidad) de la función siguiente: 4) (2 puntos) 5) (1,5 puntos) 23 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 24 ALUMN@: CONOCIMIENTOS 2 1) (2 puntos) Representa gráficamente la función y. 2) (2 puntos) Calcula también la monotonía (C/D, máx y mín) de la función y. 3) (3 puntos) Estudio de las asíntotas y de la monotonía (C/D, máx y mín y Concavidad/Convexidad) de la función siguiente: 4) (3 puntos) Determinar el ángulo que forman las rectas siguientes: r1 : x y 3 r2 : x y 1 2 Determinar también el punto de intersección de las rectas. Y finalmente calcular las ecuaciones explícitas de sus bisectrices y representar gráficamente las 4 rectas que intervienen en el ejercicio. 24 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 25 ALUMN@: CONOCIMIENTOS 3 1) Estudi d´extrems (Màx-Mín-C/D) de la funció f x 2) a) Donades les matrius calculeu A B C x2 2 x 2 x 1 c 0 0 1 1 1 B C on c R A 1 0 1 1 1 1 1 1 0 calculeu per inducció A 55 . b) Si A 0 1 3) Calculeu els paràmetres a i b, tals que f ( x) a Ln( x) b x 2 x tingui extrems relatius (màxims o mínims) en els punts x=1 i x=2. (Utilitzeu matrius si surt un S.E. de 2 equacions amb 2 incògnites) 4) Determineu l´angle que formen les rectes següents (no utilitzeu decimals): x 2 y 1 0 i 8 5 3 x y 3 0 Representeu gràficament les rectes. Calculeu els punts de la gràfica de la funció f ( x) x 3 2 x 2 x 1 on la recta 1 tangent té pendent m . Determineu la equació explícita d´aquesta recta tangent. 3 Dibuixeu un gràfic esquemàtic del problema. 5) 25 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 26 ALUMN@: CONOCIMIENTOS 4 1) Simplificar las expresiones polinómicas siguientes (obteniendo su forma más compacta): x 3 x 2 2x 1 b) x 2 2x x 9 3 3 x6 a) 2 1 x x x x x 1 c) Desarrolla utilizando el binomio de Newton la expresión siguiente: ( x c) 7 , c R 2) Factoriza y simplifica la siguiente función polinómica. Luego, representa gráficamente la función de forma aproximada (utiliza la expresión simplificada e incluye las asíntotas verticales si las hay). f ( x) x x 12 x 3 4 x 3 7x 2 x 6 3)Representa gráficamente de forma aproximada las funciones siguientes. Calcular además: dominio, recorrido, cortes con abcisas, cortes con ordenadas, vértices y asíntotas verticales: a) f ( x) x 2 4 x 3 y a partir de su gráfica (tómala como base) y utilizando las transformaciones de funciones representar también: f ( x 3 ) x 2 2 x 3 si x 2 1 b) f ( x) x 6 si 2 x 4 . 2 4 x si 4 x 6 4) Repaso de conceptos: a) Una recta r1 pasa por los puntos A(0,4) y B(4,0). Determinar las ecuaciones explítitas de 2 rectas ( r2 y r3 ): r2 es paralela a r1 ; y r3 es perpendicular a r1 ; pasando ambas ( r2 y r3 ) por el origen de coordenadas. b) Representa gráficamente la función: f ( x) 1 Sen x 2 . Indica su Periodo, Dominio y Recorrido. 26 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 27 ALUMN@: CONOCIMIENTOS 5 1) Calcular la segunda derivada f´´(x) de las siguientes funciones: a) f ( x) 2 e x b) f ( x) x Ln x c) f ( x) Ln 1 x 4 2) Realiza el estudio asintótico completo de la siguiente función (debe incluirse estudio AL y gráfico orientativo de las asíntotas): f ( x) 1 x 4 2 3)Estudiar la monotonía de la siguiente función (Intervalos D/C y extremos): f ( x) 1 1 x 2 4) Calcular los parámetros a y b de la función: f ( x) a Ln x b x 2 x con a, b R sabiendo que presenta extremos en los puntos x=1 y x=2. 5) Responde a las siguientes cuestiones: a) Define de forma ràpida en una sola frase el concepto geométrico de derivada de una función en un punto. b) Si v1 (0,3) y v2 (1,1) , determina el ángulo que forman entre si ambos vectores. c) Escribe la ecuación de una recta que sea paralela a la recta y=x+3 y pase por el origen de coordemnadas. 27 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 28 ALUMN@: CONOCIMIENTOS 6 1) Opera y expresa de forma simplificada : a)2 5 3 20 125 b) x 7 x 28 2 x 63 c) 20 10 2) Racionaliza y simplifica las siguientes expresiones: a) a b) a3 1 c) x y x y x y 2 xy x x y 3)Si tg x = 6, calcular el Sen x y el Cos x sin utilizar la calculadora y sin decimales. ¿En qué cuandrante/s podría estar el ángulo x? 4) Simplifica las expresiones trigonométricas siguientes: a) Sec 2 x 1 b) Sec x c) Comprueba que: Cos x Sec x Sen 2 x Sen x Sen y Sen x Sen y x y 2 x y tg 2 tg 5) Siendo tg x = 2 y tg y = 3 calcula las siguientes expresiones. Utiliza las fórmulas de la tangente del ángulo doble y la tangente de la suma. a) tg (2 x) b) tg ( x y ) 28 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 29 ALUMN@: CONOCIMIENTOS 7 1) Soluciona los límites siguientes: a) lim x 2x 3 9 x5 6 b) lim x 1 x 6 x 5 2 x 4 3x 1 c) lim x 2 x3 3 x 2 x3 2) Soluciona los límites siguientes e interpreta gráficamente el resultado: x x42 a) lim x 6 x 10 x 4 5 x 2 x 0 3x 5 2 x b) lim c) lim x 0 6x 2 6x x 3)Estudiar las asíntotas de las siguientes funciones (Incluir gráficas finales): a) f ( x) x2 x 1 b) f ( x) 3x 2 x 3 4x 4) Analítica de la recta: a) Hallar el punto de intersección (Pi) entre la recta r1 : y 2x 8 y una recta r2 que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a la recta r1 b) Gráfica completa del problema (gráfico GRANDE Y CLARO) c) Obtener r1 en sus formas: implícita, segmentaria y vectorial. 5) Calcula el valor del parámetro k en las siguientes expresiones: x k x 2 1 a) lim 0 siendo k R k 0 x x x 4 4x 2 3 lim 0 siendo k N k 0 xk 12 3 x 2 b) 29 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 30 ALUMN@: CONOCIMIENTOS 8 1) Determinar un número positivo cuya suma con 100 veces su inverso sea mínima. 2) Calcular el diámetro de la base de un recipiente cónico de generatriz capacidad màxima. 3 m. y de 3) ¿Qué puntos (de abcisa positiva) de la gráfica f ( x) 2 x 2 está más cerca del punto que hace de “ordenada en el origen” en la recta 2 x y 1 0 ? Adjuntar esquema del problema. 4) a) Determina justificadamente la continuidad y la derivabilidad de la función f ( x) x . Adjuntar esquema del problema. b) Explicar con detalle la continuidad y derivabilidad de funciones. Formulación analítica, ejemplos numéricos, tipos de discontinuidades con ejemplos... 5) a) Obtener la ecuación de la recta (r1) tangente a la curva f ( x) 1 en el punto de x 1 2 abcisa 2. b) Obtener la ecuación de la recta (r2) tangente a la curva f ( x) x e x en el punto de abcisa nula. c) Obtener el ángulo entre las rectas r1 y r2 obtenidas en los apartados anteriores. d) ¿En qué punto de abcisa la recta x y 12 0 es tangente a la función f ( x) Sen( x) NOTA: Adjuntar esquema del problema para cada uno de los apartados. 30 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÀMBIT Científic-Tecnològic QEST-1011-MAT MATEMÀTIQUES I 1r BAT Pàg. 31 ALUMN@: CONOCIMIENTOS 9 1) a) (1p.) Determinar dos números positivos cuya suma sea 30 y tengan mínima la suma de sus cuadrados. b) (1p.) Calcula la matriz X que se cumpla la expresión matricial siguiente: A1 X B siendo: 1 0 A 1 2 1 2 B 3 4 Calcula también el determinante de la matriz X. 2) a) (1,5p.) Determina el dominio, los puntos de corte con los ejes, las asíntotas, los intervalos de Crecimiento/Decrecimiento y los extremos relativos de la siguiente función: x2 5x 7 b) (0,25p.) ¿Qué tipo de discontinuidades presenta? ¿En qué puntos? f ( x) x3 c) (0,75p.) Representa gráficamente la función f(x) 3) (2p.) Se sabe que f ( x) ax 2 bx 12 presenta un mínimo en el punto P(4,-4). Calcula la abcisa x1 para la cual la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) es ese punto x1 , es x y paralela a la recta 6 3 1 4) Dada la función definida por tramos siguiente: ax b f ( x) 2 2 x 3 si x 2 si x 2 a, b R a) (1p.) Encontrar los valores de los parámetros a y b que hagan que la f(x) sea derivable en el punto x= 2 5)a)Calcular f ( x) 18 e x b) (1p.) Calcular: la derivada 3 1 f ( x) dx de las siguientes funciones: f ( x) 8 x 3 2 x 2 b) Calcular las integrales indefinidas siguientes: x 4 2 dx e x 3 x 2 dx (2p.) Calcula el área encerrada entre el eje OX, las rectas x=1 y x=e, y la función 2 x f ( x) x 3 6) 31
