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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, MEDELLIN
ESCUELA DE MATEMATICAS
1000007 ECUACIONES DIFERENCIALES
PRIMER EXAMEN PARCIAL, SEPTIEMBRE 14 DE 2009, Duración 1 hora y 50 minutos
NOMBRE____________________NRO. de IDENTIFICACION_________
PRIMERA PARTE. (20%) Para cada pregunta señale una única opción en el tema del examen. En
esta parte del examen se cali…ca solamente la respuesta.
dq
1. El crecimiento de un cultivo de bacterias se modela con la ecuación
= kq; donde q (t) es el
dt
número de bacterias en el tiempo t y k es una constante. Se sabe que en un cierto cultivo de bacterias su
número se incrementa seis veces en 10 horas. ¿Cuánto tiempo le toma a la población duplicarse?
(a) 10(ln 6= ln 2)
(b) 10 ln(1=3)
(c) 6(ln 10= ln 2)
(d) 10(ln 2= ln 6)
dN
= 4 (N
dt
(c) Es semiestable (d) No es único.
2. Para el punto crítico N = 1 de la ecuación logística
(a) Es estable
(b) Es inestable
3. Para volver homogénea la ecuación diferencial
ción z = x
(a) 2h
h; w = y
k= 1
k; se requiere:
(b) 6h + k =
4. Considere el PVI
3
(c) 2h
dy
2x
=
;
dx
1 + 2y
2
1) ; se puede a…rmar:
dy
6x + y 3
=
por medio de la transformadx
2x y 1
k=1
(d) h
k=1
y (2) = 0:
El mayor intervalo
en el que se puede
de este PVI es
! de…nir la solución
p
p !
p
p !
1 1
15
15
15
15
(a)
;
(b)
;1
(c)
1;
(d)
;
2
2
2
2
2 2
SEGUNDA PARTE. Responda cada uno de los puntos justi…cando de manera clara sus respuestas.
1. Un tanque con capacidad de 1200 galones contiene originalmente 40 libras de sal disueltas en 480
galones de agua. Suponga que se le agrega agua que contiene media libra de sal por galón a una rata de
6 galones por minuto y que del tanque sale la mezcla a una rata de 4 galones por minuto.
a. (15%) Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante anterior al rebose.
b. (5%) ¿Cuánto tiempo necesita para rebosarse?
2. (20%) Resuelva la EDO (2x2 + y)dx + (x2 y
x)dy = 0:
3. (20%) Resuelva la ecuación
dy
x2 + xy + y 2
=
dx
x2
4. (20%) Resuelva el problema de valor inicial
y 0 = 2xy 2
y (0) = y0
y encuentre el mayor intervalo en el que existe la solución.
Recordar:
Z
xN dx =
xN +1
+ C si N 6=
N +1
1;
Z
dx
= arctan (x) + C y
1 + x2
Z
dx
= ln jxj + C
x