1
Download Trig_Plana1
Document related concepts
Transcript
Trigonometría Trigonometría Plana Idea de “ángulo” Rectas que se cortan → ángulos iguales Segmento entre rectas paralelas → ángulos iguales Entre rectas perpendic. → ángulos iguales Ángulos de un poligono Ángulos de un circulo ÁNGULOS EN RADIANES Se define el radian como el ángulo que en una circunferencia subtiende respecto del centro O un arco MN con igual longitud que el radio r. N s O r M Para una circunferencia de radio r, y un cierto ángulo α subtendiendo un arco de longitud s, el cociente s/r nos da el valor de ese ángulo en radianes. s r Relación entre grados y radianes. Π radianes 180º Regla: ¿ cuántos radianes son 30° ?. x 180 30 x = π / 6 radianes ¿ cuántos grados son 0,357 radianes ?. 0,357 180 x x 20,45º * Es interesante también recordar que 1 radián son 180°/π , es decir, 57,29... grados. Mientras que 1 grado son π /180° , o sea, 0,1745... radianes. Propiedad importante: * puede establecerse la siguiente relación entre un ángulo α y el arco de circunferencia subtendido: s=α.R (para α en radianes) Algunas relaciones entre ángulos y radianes: Ejemplo 1: Queremos conocer rápidamente a qué equivalen 75° , entonces: 75° = 60° + 15° π/3 + (1/2) π/6 5 π/12 Ejemplo 2: Queremos conocer rápidamente a qué equivalen 265° , entonces: 265° = 270° - 5° 3 π/2 - (1/6) π/6 53 π/36 Relaciones Circulares y R x cos R y sin tan x cos sin R. Fundamental: Proyecciones x = R cos α y = R sin α sin2 α + cos2 α = 1 Relaciones recíprocas. y R x cos R y sin tan x cos sin R y R sec x x cos cot y sin csc 1 csc sin 1 sec cos 1 cot tan Funciones seno, coseno y tangente. Funciones seno, coseno y tangente. Funciones seno, coseno y tangente. La circunferencia Trigonométrica s=α.R s=α Las relaciones circulares en la circunf. Trigonométrica sin α = y / R cos α = x / R tan α = y/x = sin α / cos α En la circ. Trig. (con R = 1): sin α = y cos α = x 1 y 1 sec x csc Para la tangente: sin tan cos recuérdese el “Teorema de Tales” y tan x y x tan x y cot Atención: En el anterior ejemplo tanto el seno como el coseno eran positivos, pues se encuentran o bien arriba del eje horizontal, o bien a la derecha del vertical. Pero pueden darse otros casos: Para la tangente hay que ver en qué cuadrante se halla. Este tipo de circunferencias trigonométricas sirve para hacer diversas consideraciones sobre senos y cosenos de ciertos ángulos. sin (α + π/2) = cos α cos (α + π/2) = - sin α sin (π - α ) = sin α cos ( π - α ) = - cos α EJERCICIOS 1) Dibuje una circunferencia trigonométrica con dos ángulos y b, siendo pequeño y siendo b = π/2 - α (dos ángulos complementarios). Establezca las relaciones entre senos y cosenos de los ángulos complementarios. 2) Considere una circunferencia trigonométrica con dos ángulos α y β, siendo α pequeño y siendo β = α + π . Establezca las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos. 3) Sean dos ángulos α y β, siendo α pequeño y siendo β = 3π/2 -α . Establezca con la ayuda de la circunferencia trigonométrica las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos. 4) Sean dos ángulos α y β, siendo α pequeño y siendo β = -α (también puede expresarse β = 2π - α) . Establezca con la ayuda de la circunferencia trigonométrica las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos. Relación fundamental sin cos 1 2 2 Razones trigonométricas de la suma sin( b ) sin cos b cos sin b cos( b ) cos cos b sin sin b tan( b ) tan tan b 1 tan tan b Razones trigonométricas de la resta sin( b ) sin cos b cos sin b cos( b ) cos cos b sin sin b tan tan b tan( b ) 1 tan tan b Razones del ángulo doble sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 tan 2 2 tan 1 tan 2 Razones del ángulo mitad sin / 2 1 cos 2 1 cos cos / 2 2 1 cos sin tan / 2 1 cos 1 cos Suma y resta de razones trigon. A B A B sin A sin B 2sin cos 2 2 A B A B sin A sin B 2sin cos 2 2 A B A B cos A cos B 2 cos cos 2 2 A B A B cos A cos B 2sin sin 2 2
