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CINEMÁTICA
Movimiento Rectilíneo Uniforme
(MRU)
GRADO DECIMO
LIC. RUBY GUERERO
Cinemática
Describir el movimiento de cuerpos
• ¿Cuando y dónde se detienen?
• ¿Cuál fue su aceleración?
• ¿Dónde, cuándo y qué velocidad tienen los cuerpos cuando
chocan o se cruzan?
• ¿Cuándo alcanza su altura máxima?
• ¿Cuál es su alcance horizontal?
• ¿Con que velocidad y en que dirección pega cuando llega al
suelo?
Sistema de Referencia
• Para describir (Cinemática) el movimiento o causas (Dinámica) del
movimiento de cuerpos es IMPORTANTE tener un Sistema de
Referencia a partir del cual se hace la descripción o se analizan las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo.
Tales sistemas son:
– Línea Recta (m.r.u. / m.r.u.a / caída libre)
– Plano Cartesiano (tiro parabólico / m.c.u. / dinámica)
– Sistema tridimensional
• Todo Sistema de Referencia debe contener:
– Origen
– Convención de signos
– Unidades
Sistemas de Referencia
l
-3
l
-2
1
l
l
-4
2
l
l
y + ( unidades)
l
eje vertical
3
(variable dependiente)
l
0
-1
l
-1
l
-2
l
1
l
2
l
3
l
l
4
x + (unidades)
eje horizontal
(variable independiente)
z
l
-3
Plano yz
l
sistema de coordenadas cartesiano o
sistema de coordenadas rectangulares
y
x
Movimiento Rectilíneo Uniforme
En el desplazamiento: El símbolo ∆ se lee Delta y
significa promedio de algo y X= POSICION.
Dx = xf – x0
•
Si xf > x0 entonces Dx > 0 (Mov. Derecha)
• Si xf < x0 entonces Dx < 0 (Mov. Izquierda)
• Si xf = x0 entonces Dx = 0 (Reposo o Regreso)
Analizar el movimiento hacia la izquierda nos ayuda a
saber:
1. ¿Qué valor tiene la velocidad? ¿Qué signo tiene?
2. ¿Significa lo mismo velocidad y rapidez?
A continuación responderemos estas preguntas.
Física del movimiento
Lic. Ruby Guerrero
Grado Decimo
CARACTERISTICAS DEL M.R.U
• En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es una constante.
• El desplazamiento es: Dx = x – x0
• La velocidad media o uniforme es:
v = Dx / Dt
• La ecuación de movimiento rectilíneo uniforme es:
x = x0 + v (t – t0)
• La gráfica de la ecuación anterior es una línea recta.
• Si la velocidad es positiva el cuerpo se mueve hacia la derecha
• Si la velocidad es negativa el cuerpo se mueve hacia la izquierda.
• La rapidez es el valor absoluto de la velocidad.
• Cuando hay cambios de dirección (en una gráfica se tienen líneas
quebradas), el problema se debe de resolver por intervalos de
tiempo.
CARACTERISTICAS DEL M.R.U
• Cuando dos cuerpos se mueven simultáneamente, cada uno tiene su
propia ecuación de movimiento.
• Si queremos saber donde y cuando se: encuentran, alcanzan o
chocan dos cuerpos, se deben de igualar las ecuaciones de
movimiento, resolver para el tiempo y después sustituir en
cualquiera de ellas para encontrar la posición. En caso de gráficas,
es donde se cortan (intersectan) las rectas.
• En gráficas de posición contra tiempo, NO SON LAS
TRAYECTORIAS de los cuerpos, las gráficas son las HISTORIAS
DEL MOVIMIENTO. Los cuerpos se mueven sobre una carretera
horizontal.
• En una gráfica de velocidad contra tiempo (v vs. t), el área bajo la
recta me da la distancia recorrida.
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
x = x0 + v (t – t0)
Donde X = Posicion
x0 = Posicion Inicial
V = Velocidad
t = Tiempo
t0 = Tiempo inicial
Se denomina movimiento uniforme debido a que la velocidad no
cambia, siempre es la misma, es una constante.
Donde a la velocidad se le conoce como velocidad media o velocidad
uniforme.
Como es una velocidad media es una valor promedio y se expresa:

Dx

vm 
Dt
El símbolo ∆ se lee Delta y significa promedio de algo
Como se obtiene la ecuación del MRU?
Si el MRU en un plano cartesiano: posición versus tiempo (x vs. t) es
representado por una recta, entonces es posible escribir su ecuación.
En la definición de velocidad media consideremos lo
siguiente:
x f  xi

vm 
t f  ti
Vm = v; es la velocidad constante.
ti = 0 es el instante en que se empieza a medir.
tf = t es el instante transcurrido.
xf = x(t) es la posición para cualquier instante.
Despejando esta expresión, se tiene:
ECUACION DEL M.R.U
x = x0 + v (t – t0)
x (t)  x i
v
t
x(t) = xi + v.t
La rapidez es la relación entre la distancia recorrida y el
tiempo que tarda en recorrerla.
d es la distancia recorrida y
restamos el tiempo final al
tiempo inicial.
en este caso despejaríamos
quedando
d= v.t
d
Rapidez instantánea es la rapidez en un instante cualquiera.
El velocímetro de un automóvil nos indica la rapidez instantánea que lleva el
automóvil en ese mismo instante.
Un automóvil no se desplaza siempre con la misma rapidez.
Puede recorrer una calle a 50km/h, reducir su
velocidad a 0 km/h en un semáforo y luego
aumentarla solo 30 km/h a causa del tráfico.
Se puede saber la rapidez instantánea del
vehículo en cualquier momento simplemente
mirando el velocímetro.
El velocímetro proporciona lecturas de rapidez instantáneas
en km/h
La rapidez media es la media de todas las rapideces
instantáneas y se calcula dividiendo la distancia
entre el tiempo.
4) Por ejemplo, si un coche recorre 150 km.
en 3 horas, su rapidez media es:
R media= 150 km / 3h = 50 km/h
Velocidad es un concepto más completo que el de rapidez.
El concepto de velocidad además de tener un número y
una unidad de medida posee indicaciones de dirección y
sentido. Siempre se expresa en líneas rectas (vector de
desplazamiento)
Esta gráfica nos indica la velocidad que
tiene una bici durante un
espacio de tiempo.
Podemos saber qué
distancia recorre, qué
velocidad lleva, en qué
sentido va, si se
para o no, etc.
5) Sabemos que esta bici recorre 10m en un seg, se para a los 10m
durante 2 seg. Recorre 14m en otro seg, y se para de nuevo un seg para
luego ir hacia atrás hasta el lugar desde donde había empezado.
La rapidez nos da una información que no es muy
precisa. Una rapidez se reconoce por entregar dos
datos: un número y una unidad de medida.
Si nos colocamos en la plaza de la ciudad y tenemos a un automóvil que
se mueve a 60 kilómetros por hora, de él no sabríamos decir cuál será su
posición al cabo de una hora, su sentido, etc...
La velocidad es una magnitud física que expresa la
variación de posición de un objeto en función del tiempo
La unidad de velocidad, en el Sistema
Internacional de Unidades, es el metro por
segundo :
V=m/s o Km/h
Se denomina velocidad instantánea a la velocidad que
lleva un cuerpo en cada instante.
Si el cuerpo no lleva velocímetro incorporado, puede
calcularse averiguando la velocidad media en un
intervalo de tiempo muy pequeño.
La velocidad media informa sobre la velocidad en un
intervalo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento
(Δx) por el tiempo transcurrido (Δt)
restamos los metros finales a los metros
iniciales y hacemos lo mismo con los
segundos
2) Por ejemplo, si un objeto ha recorrido una
distancia de 1 metro en un lapso de 31,63
segundos, el módulo de su velocidad media es:
APLICACIÓN DE LA VELOCIDAD MEDIA.
• La mayoría de los movimientos que realizan los
cuerpos no son uniformes, es decir, sus
desplazamientos
generalmente
no
son
proporcionales al cambio de tiempo; entonces,
se dice que el movimiento no es uniforme, sino
que es variado.
• A este movimiento no uniforme se le llama
velocidad media la cual representa la relación
entre el desplazamiento total hecho por un móvil
y el tiempo en efectuarlo.
Aplicación del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
Es un modelo físico – matemático que describe el movimiento de los
cuerpos, es decir en una sola dimensión que puede ser
representada en algunos de los ejes del sistema cartesiano.
La velocidad constante de los cuerpos es otra de las características
de este tipo de movimiento, de aquí se deriva el término uniforme.
Para el estudio de este modelo usaremos el eje X, así de la
velocidad media:

Dx

vm 
Dt
tenemos:
x f  xi

vm 
t f  ti
Físicamente en un grafico se puede representar así:
ti
0
Xi
Vm
tf
Xf
Análisis del MRU
Representemos el movimiento de un cuerpo con velocidad constante
que empieza su movimiento en el instante t=0 y posición inicial x=0:
t = 1h
0
70
140
210
X(km)
70
140
210
X(km)
70
140
210
X(km)
t = 2h
0
t = 3h
0
Análisis del MRU (continuación)
La velocidad media en el tramo
comprendido entre x=0 y
x=70km es:
70  0

vm 
 70km/h
1 0
La velocidad media en el tramo
comprendido entre x=70km y
x=140km es:
140  70

vm 
 70km/h
2 1
La velocidad media en el tramo
comprendido entre x=140km y
x=210km es:
210  140

vm 
 70km/h
3 2
La velocidad media es constante en todos los tramos.
Análisis gráfico posición vs. tiempo del MRU
El movimiento observado puede ser representado también en un plano
cartesiano posición versus tiempo (x vs. t)
Físicamente, son las
posiciones del
automóvil para los
instantes dados.
X(km)
210
140
Geométricamente, el
MRU es una recta
cuya pendiente es la
velocidad.
70
0
1
2
3
t(h)
Como se representa un Gráfico del MRU?
Escribiremos la ecuación del ejemplo anterior del MRU
x(t) = xi + v.t
X(km)
Se determinó que Xi=0km y
la velocidad es: 70km/h,
sustituimos estos valores y
tenemos:
210
140
x(t) = 0 + 70t
70
Se reduce a:
0
1
2
3
t(h)
x(t) = 70t
Ejemplos de aplicación de MRU
Ejemplo 1.- El carrito de la figura pasó por la posición x=8m con una
velocidad constante de 4m/s, si a partir de ese momento se activó el
cronómetro del observador determine: a) su ley de movimiento, b) la
posición del carrito para t=10s
ti = 0
0
De la ley general:
8
x(t) = xi + v.t
X(m)
a) Identificando los términos según los datos del
problema tenemos que Xi=8m cuando ti=0, que
sustituyendo en la ley se tiene:
x(t) = 8 + 4.t
b) Cuando t=10s tenemos:
x(t=10) = 8 + 4.(10)
x(t=10) = 8 + 40 = 48m
Interpretación del resultado: Se puede predecir que cuando el
cronómetro marque 10s, el carrito se encontrará en la posición x=48m
Ejemplo 2.- La ruta P47A pasó por la Ciudad de Cali en la posicion
x=13km con una velocidad constante de 54km/h, si a partir de ese
momento el conductor activó su cronómetro determine: a) su posicion
final, b) la posición del bus para t=2h, c) En que momento pasará por la
estación de Nuevo Latir marcada a x=85km. Considere un trayecto
lineal.
ti = 0
0
De la ecuación:
13
x(t) = xi + v.t
X(km)
a) Identificando los términos según los datos del
problema tenemos que Xi=13km cuando ti=0,
que sustituyendo en la ecuación se tiene:
x(t) = 13 + 54.t
b) Cuando t=2h tenemos:
x(t=2) = 13 + 54.(2)
x(t=2) = 13 + 108
x(t=2) = 121km
Cuando hayan transcurrido dos
horas estará en x=121km
Ejemplo 2.- (continuación)
c) ¿Qué instante(tiempo) será cuando el bus pase por el nuevo latir
x=85km? Debemos usar la ecuación del M.R.U ya encontrada:
t=?
85
0
X(km)
x(t) = 13 + 54.t
Ahora la incógnita es t:
85 = 13 + 54.t
54t = 72
t = 1,33h
Cuando haya transcurrido 1,33h el bus estará en x=85km
Ejemplo 3.- Dos Mios parten de una misma estación, uno a 72km/h y
otro a 90km/h, ¿qué distancia se habrán separado al cabo de media
hora? a) Si ambos marchan en el mismo sentido; b) Si ambos marchan
en sentido contrario.
Solución a).- construyamos la ecuación de movimiento de ambos
móviles A y B, nótese que parten de la misma estación  Xi=0km
A
0
Estación
X(km)
B
0
Ecuación de A: x(t)=72.t
Ecuación de B: x(t)=90.t
Después de media hora ambos estarán separados:
Ejemplo 3.- Solución a) (continuación)
0
Estación
XA
X(km)
XB
0
B tiene mayor velocidad que A  avanzará
más, este raciocinio escrito como ecuación
matemática sería:
d = XB – XA
d =90.t – 72.t
Si t = 0,5h 
d = 18.t
d = 18.(0,5) = 9km
Después de media hora ambos estarán separados 9km
Ejemplo 3.- Solución b) (continuación)
XA
0
Estación
0
Ecuación de A: x(t)= –72.t
X(km)
XB
Ecuación de B: x(t)=90.t
Nótese que por efecto del sistema de referencia, A tiene velocidad
negativa.
Al viajar en direcciones opuestas  la distancia de separación
aumentará, este raciocinio escrito como ecuación matemática sería:
d = XB – XA
d =90.t – (–72.t)
Si t = 0,5h 
d = 162.t
d = 162.(0,5) = 81km
Después de media hora ambos estarán separados 81km
Análisis Gráfico
• Mediante el análisis gráfico es posible extraer información
adicional:
• La posición inicial del auto.
• La posición final del auto.
• La posición del auto en cualquier instante de tiempo que esté en
el rango de nuestra observación .
• La posición del auto en cualquier instante de tiempo que no esté
en el rango de nuestra observación .
• La rapidez con que se efectúan los cambios de posición.
• La dirección en la que ocurre el movimiento.
• La ecuación de movimiento que rige el fenómeno observado.
Análisis Gráfico
• Luego entonces, debemos llevar la tabulación a su respectiva
gráfica, pero antes debemos recordar como se realiza.
• La gráfica se realiza en el plano cartesiano que consta de dos
ejes mutuamente perpendiculares, uno horizontal y el otro
vertical.
• En el eje horizontal se destina a la variable independiente. Y el
eje vertical a la variable dependiente.
• Se elige una escala adecuada para cada eje (de 1 en 1, de 2 en 2,
de 3 en 3, etc.). No necesariamente tienen que tener la misma
escala, por ejemplo, el horizontal puede estar de 3 en 3 y el
vertical de 20 en 20.
• En los extremos de los ejes se coloca una punta de flecha y
debajo de ella, con un símbolo o letra se indica la variable
seguida de un paréntesis dentro del cual se coloca la unidad de la
variable observada (m, s, etc.) según sea el caso.
Analisis Grafico
• Se adopta una convención de signos, la universalmente aceptada
es positivos a la derecha y negativos hacia la izquierda para el
eje horizontal. Positivos hacia arriba y negativos hacia abajo
para el vertical.
• Las escalas deben ser tales que la gráfica sea proporcional en
ambos ejes y que los puntos que en ella marquemos no se
encuentren ni muy pegados ni muy distanciados.
• La escala debe de ser en números enteros. (no marcar puntos
intermedios entre los valores convenidos)
Aplicación de Análisis Grafico
•El cuerpo recorre distancias iguales en iguales intervalos de tiempo
El desplazamiento o cambio de
posición es:
Dx = xf - xi
Para un desplazamiento particular:
Dx = x3 - x2
Los intervalos de tiempo son:
Dt = tf - ti
Donde tf > ti . Por tanto, Siempre
ocurre que:
Dt > 0
¡¡¡ No existen tiempos negativos !!!
A partir de la observación ( y
medir posición y tiempo), se
registran los datos en una
Tabulación
t(s)
0
x (m) 0
2
4
6
8
30
60
90
120
Movimiento Rectilíneo Uniforme
Los cambios de posición con respecto al tiempo son uniformes
La gráfica de tiempo contra posición es una línea recta
Dx
 ctte.
Dt
Análisis Gráfico
Análisis Gráfico
x +(m)
240
220
200
180
cateto opuesto
160
Dx = x – x0
140
o
120
100
q
80
cateto adyacente
o
x = 20 t
Dt = t – t0
60
40
o
20
q
o
l
0
2
l
l
l
4
6
8
10
12
t (s)
Dx x6  x2 240m  80m 160m
m
m



 20
Dt t6  t 2
12 s  4s
8s
s
Análisis Gráfico
• ¿Es posible aprovechar la regularidad que presenta el auto
para conocer sus posiciones en tiempos que no están en la
tabla de datos?
Por ejemplo:
¿Cuál fue su posición en los tiempos t = 1 s, t = 5 s, t = 10 s?
ó bien
¿En qué tiempo la posición del automóvil fue de 50 m?
¿Cuándo paso por la posición 100 m?
Realizando el análisis se encuentra que:
x = 20 t
Aplicacion
Del ejemplo anterior:
- Si nos interesa la posición en t = 5.9 s, la podemos encontrar
evaluando en t = 5.9 s
x = 20(m/s)(5.9s)=118m
De igual forma si nos interesa la posición el tiempo t = 23.7 s
x = 20(m/s)(23.7s)=474m
Además si nos interesa conocer cuanto tiempo le toma alcanzar la
posición de 150 m simplemente despejamos t de la ecuación:
x = x0 + v (t – t0)
t = (x – x0) / v
dado que x = 150 m, x0 = 0 m y v = 20 m/s; entonces
t= 7.5 s
Ejemplo m. r. u.
Encuentre la ecuación de movimiento del siguiente problema.
Ejemplo m. r. u.
x = 40 + 15 t
Describa el movimiento del cuerpo del
problema anterior
• 2.- Que distancia recorrerá en línea recta
un avión que se desplaza a una
velocidad de 600 km/h durante un tiempo
de 15 min. Dar la respuesta en km y en
metros.
• Datos
• V = 600 km/h
• t = 15 m
• d=vxt
•
•
•
•
•
Conversión de las unidades de tiempo:
60 min → 1 h
15 min → X
X = 15 min x 1 h = 0.25 h
60 min
•
•
•
•
•
•
Sustitución y resultado:
d=vxt
d = 600 km x 0.25 h = 150 km.
h
150 km x 1000 m = 150000 metros.
1 km
• 3.- En los juegos olímpicos de Atenas el record en los
100 m planos fue de 9.89 seg. ¿Cuál es la velocidad y
desarrolló del atleta vencedor, dar la respuesta en m/s y
en km/h?
• Datos
Fórmula
Sustitución
• d = 100 m
v = d/t
v = 100 m/9.89 seg
• t = 9.89 s
v = 10.11 m/seg.
• v=?
• Conversión de la velocidad de m/seg a km/h:
• 10.11 m x 1 km x 3600 seg = 36.4 km/h.
•
seg 1000 m 1 h
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE
ACELERADO O VARIADO (MUA o MRUV)
Intervalo
Rapidez
media
durante el
intervalo
Distancia
recorrida
durante el
intervalo
Distancia
total
(desde t = 0)
0-1s
5 m/s
5m
5m
1s-2s
15 m/s
15 m
20 m
2s-3s
25 m/s
25 m
45 m
3s-4s
35 m/s
35 m
80 m

¿Cuánto cambia la rapidez de un segundo a otro?

Si la aceleración de un móvil es siempre la misma, entonces se está
moviendo con aceleración constante.
 Se trata de un movimiento uniformemente acelerado.
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
En la practica es raro que un cuerpo posea movimiento
uniforme. Cuando un auto arranca, su velocidad va en
aumento y al final disminuye progresivamente. La
aceleración esta relacionada con los cambios de velocidad.
En el M.R.U la velocidad es constante por lo tanto la
aceleración es nula.
La aceleración instantánea es aquella en la cual el cuerpo
móvil cambia su velocidad en intervalos muy pequeños de
tiempo. Mientras mas reducido sea el intervalo de tiempo, la
aceleración instantánea será mas exacta.
En general, se usara el termino aceleración para referirnos a
la aceleración instantánea.
La aceleración es la magnitud
física que mide la tasa de
variación de la velocidad
respecto del tiempo.
Es una magnitud vectorial con
dimensiones de
longitud/tiempo² (en unidades
del sistema internacional se
usa generalmente [m/s²]). No
debe confundirse la celeridad
con la aceleración, pues son
conceptos distintos, acelerar
no significa ir más rápido, sino
cambiar de velocidad a un
ritmo dado.
ACELERACIÓN
• Cuando la velocidad de un móvil
no permanece constante, sino que
varía, decimos que sufre una
aceleración.
• Por definición, la aceleración es la
variación de la velocidad de un
móvil con respecto al tiempo.
• La aceleración es una magnitud
vectorial
que relaciona los
cambios en la velocidad con el
tiempo que tardan en producirse.
Un móvil está acelerando mientras
su velocidad cambia.
• Se representa con la letra a
Aceleración
• La aceleración relaciona los cambios de la velocidad con el
tiempo en el que se producen, es decir, mide cuán rápidos
son los cambios de velocidad:
– Una aceleración grande significa que la velocidad cambia
rápidamente.
– Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia
lentamente.
– Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia.
• La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad y no cómo
es la velocidad. Por lo tanto, un móvil puede tener un
velocidad grande y una aceleración pequeña (o cero) y
viceversa.
• Como la velocidad es una magnitud que contempla la rapidez
de un móvil y su dirección, los cambios que se produzcan en
la velocidad serán debidos a variaciones en la rapidez y/o en
la dirección.
La aceleración es grande si la velocidad de
un cuerpo varía bruscamente y es pequeña si
la velocidad varía poco a poco; la aceleración
es cero si la velocidad es constante y es
negativa si la velocidad disminuye.
¿Cuáles de los siguientes mecanismos producen una
aceleración en un vehículo en movimiento?
•
•
•
•
•
•
Pedal del acelerador
Manilla de cambios
Pedal del freno
Limpiador de parabrisas
Ruedas
Volante
Aceleración media (am)
• La aceleración media de un cuerpo o móvil es aquella
en la cual el cuerpo cambia su velocidad en grandes
intervalos de tiempo.
• La aceleración media relaciona el cambio de la
velocidad con el tiempo empleado en efectuar dicho

 
cambio.
v

Dv v
am 
t

final
inicial
t
• En este caso la aceleración media relaciona el cambio
de rapidez o velocidad media con el tiempo empleado
en efectuar dicho cambio
Dv v final  vinicial
am 

t
t
• La ecuación para calcular la aceleración cuando el
móvil parte del reposo es la siguiente:
a=v/t
• Y cuando no parte del reposo es:
a = vf – vi
t
•
•
•
•
•
Donde:
a = aceleración de un móvil en m/s2 , cm/s2
vf = velocidad final del móvil en m/s, cm/s
vi = velocidad inicial del móvil en m/s, cm/s
t = tiempo en que se produce el cambio de velocidad en
seg.
ACELERACIÓN MEDIA
• Supongamos que un auto pasa por un punto A en un
tiempo inicial to ; este tendrá una velocidad vo , y al
pasar por un punto B lo hará con una velocidad v en un
tiempo t; el cambio de velocidad del auto será vf – vo , y
el tiempo transcurrido será de tf – to; por lo tanto:
•
A = vf – vo
•
tf – to
• Los intervalos de la velocidad y del tiempo están dados
por
•
Dv = vf – vo cambio de la velocidad
•
Dt = tf – to intervalo de tiempo
• la relación para la aceleración será
•
a = Dv
•
Dt
Calcula la Aceleración media (am)
¿Hacia dónde apunta el vector velocidad del automóvil?
• El automóvil de la figura anterior cambia su
rapidez desde vi = 15 m/s hasta vf = 45 m/s en
un intervalo de 5 s. ¿Cuál es el valor de la
aceleración media? R/ 6 m/seg2
Calcula la Aceleración media (am)
¿Hacia dónde apunta el vector velocidad del automóvil?
• El automóvil de la figura anterior cambia su
rapidez desde vi = 55 m/s hasta vf = 15 m/s en
un intervalo de 5 s. ¿Cuál es el valor de la
aceleración media?
ECUACIONES DERIVADAS UTILIZADAS
EN EL MRUV.
• Como hemos observado el movimiento rectilíneo
uniforme variado, la velocidad cambia constantemente
de valor; por ello, si deseamos conocer el
desplazamiento en cualquier tiempo, lo podemos
obtener si utilizamos el concepto de velocidad media ya
que hemos estudiado.
•  = vf + vi
•
2
•
•  = d/t -------:. d=  t
•
• Si sustituimos la ecuación nos queda:
• d= vf + vi (t)
•
2
• A partir de estas expresiones deduciremos las
ecuaciones
que
se
utilizan
para
calcular
desplazamientos y velocidades finales cuando el
movimiento tiene aceleración constante.
• Cada una de las ecuaciones se despejan con respecto a
t, y se igualan. Puesto que los dos primeros miembros
son iguales entre si, se obtiene:
• a = vf - vi
•
t
• Despejando el valor de t en la ecuación de aceleración
• t = vf – vi
•
a
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
De la ecuación de velocidad media se tiene entonces
d = vf2 –vi2
2a
por lo tanto
vf2 = vi2 + 2ad
Otra ecuación útil se obtiene despejando vf de la
ecuación de aceleración.
Vf = vi + a t
Entonces sustituimos velocidad final en la formula
anterior, por lo tanto nos queda así
D= vi t + a t2
2
INICIANDO EL MOVIMIENTO DESDE
EL REPOSO.
• Cuando el cuerpo parte del reposo y adquiere una
aceleración constante, la velocidad inicial vi = 0
• A estas ecuaciones se les llama ecuaciones especiales.
• Por la importancia de las ecuaciones deducidas es
conveniente recordar las cuatro ecuaciones generales
para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
Las ecuaciones especiales se derivan de las ecuaciones
generales, es también muy importante saber deducirlas
para evitar su memorización. A continuación se puede
observar las ecuaciones generales en la siguiente tabla
ECUACIONES GENERALES
•
•
•
•
•
•
vf = vi + a t
d= vf + vi (t)
2
vf2 = vi2 +2ad
d = vi t + a t2
2
ECUACIONES ESPECIALES
•
•
•
•
•
Vi=0
vf = a t
d = ½ vf t
vf2 = 2 a d
d=½at
Ejercicios de movimiento
uniformemente acelerado.
• 1.- Un motociclista que parte del reposo y 5
segundos más tarde alcanza una velocidad de
25 m / s ¿qué aceleración obtuvo?
• DATOS
FORMULA
• a =?
a=v a= 25 m/s= 5 m/seg2.
• V = 25m/s
t
5s
•
cuando el móvil parte del
• t =5 s reposo.
• 2.- ¿Un coche de carreras cambia su velocidad de 30
Km/ h a 200 Km/h en 5 seg, cuál es su aceleración?
• DATOS
FORMULA
• Vo = 30 km/h a= vf-vo
• Vf = 200km
t
200km/h-30km/h=170 km/h
• t=5s
Conversión de unidades.
• a=?
170 km/h x 1000 m/1 km x 1 h/3600
seg= 47.22 m/seg.
•
la velocidad en m/seg es de 47.22
m/seg.
• a =47.22 m/seg = 9.44 m/seg2
•
5 seg
• 3.- Un automóvil se desplaza inicialmente a 50 km/h y acelera a razón
de 4 m/seg2 durante 3 segundos ¿Cuál es su velocidad final?
• Datos
Fórmula
• vo = 50 km/h
Vf = Vo + at
• a = 4m/seg2.
• t = 3 seg.
• Conversión a de km/h a m/seg.
• vf =50 km/h x 1000 m/1 km x 1 h/ 3600 seg= 13.88 m/seg.
• Sustitución y resultado:
• Vf = 13.88 m/seg + 4 m/seg2 x 3 seg
• Vf = 25.88 m/seg.
•
• 4.- Un tren que viaja inicialmente a 16 m/seg se acelera
constantemente a razón de 2 m/seg2. ¿Qué tan lejos viajará en 20
segundos?. ¿Cuál será su velocidad final?
• Datos
Fórmulas
• Vo = 16 m/seg
Vf = Vo + at
• a = 2 m/seg2.
d= vf + vi (t)
• d=?
2
• Vf = ?
• t = 20 seg
• Sustitución y resultados:
• Vf = 16 m/seg + 2 m/seg2 x 20 seg= 56 m/seg.
d= 56 m/seg + 16 m/seg x 20 seg = 720 metros.
•
2
Aplicaciones
• Cuando se da una ecuación de movimiento, en ella está contenida la
posición inicial y la velocidad. Para conocerlas, compare la ecuación
de ese cuerpo con la ecuación general de MRU.
x = 100 – 20 t (donde x está en m y t en s)
x = x0 + v t
x0 = 100 m
v = -20 m/s
Si se pide el tiempo que tarda el cuerpo en llegar al origen del
sistema, entonces se sustituye x = 0
¿Se puede describir el movimiento del cuerpo de la ecuación
anterior?