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
E 
0
F  qE
 E  0
( f   E)
E 

E  dS 
 Q S (V )
0
S (V )
1

0

  r ´ dV ´
V
El flujo de campo eléctrico a través
de una superficie cerrada es igual a
la carga total neta encerrada en la
superficie entre ε
0
•Aislantes
•Conductores
•Semiconductores
•Superconductores
•Son aquellos materiales o sustancias en las cuales
“no” fluye la corriente eléctrica
•Los electrones no se pueden mover libremente
•La resistividad es mayor a 108 Ohm-m
•Algunos alcanzan resistividades hasta 1016 Ohm-m
•La teoría del estado sólido (la teoría de bandas)
explica su comportamiento
•Vidrio, porcelana, plásticos
•Son “perfectos” conductores de la corriente
electrica
•Tiene un “infinito” de cargas libres
•En realidad tiene muchos electrones libres
•La teoría del estado sólido (la teoría de bandas)
explica su comportamiento
•Las resistividades pueden ser tan bajas como 10-8
Ohm-m
•Casi todos los metales son buenos conductores
•Entre los aislantes y los conductores en lo que a
resistividad se refiere
•Son aislantes a bajas temperaturas
•Son buenos conductores a temperatura ambiente
•La teoría del estado sólido (la teoría de bandas)
explica su comportamiento
•A muy bajas temperaturas prácticamente
tiene resistividad cero
•Expulsan el campo magnético
•Es un efecto completamente cuántico
El campo eléctrico dentro de un conductor es
siempre cero
E0
El campo eléctrico dentro de un conductor es
siempre cero
Sino las cargas eléctricas (que en un
conductor perfecto consideramos
que hay una cantidad infinita) se
seguirán moviendo hasta que lo
hagan cero
No existe carga libre dentro de un conductor
 0
No existe carga libre dentro de un conductor
Aplicando la ley de Gauss a la superficie roja (una que este justo debajo de
la superficie del conductor, tenemos

E  dS  0
S (V )
Ya que el campo eléctrico dentro del conductor es estrictamente cero.
Así que, por la ley de Gauss, la carga neta encerrada dentro de la
superficie roja debe ser cero.
Por tanto, la carga neta dentro del conductor es cero
En un conductor, toda la carga libre reside en la
superficie

Un conductor es una equipotencial. Todo él,
superficie y volumen
  constante
El campo eléctrico inmediatamente afuera del
conductor siempre es perpendicular a su superficie
y de magnitud

E
0
 E  0  0  AE
 Q S  A

E
0
•El campo electrostático dentro de un conductor
siempre es cero
•No existen cargas libres dentro de un conductor
•En un conductor toda la carga libre reside en la
superficie
•Un conductor es una equipotencial. Todo su
volumen y su superficie están al mismo potencial
•El campo eléctrico inmediatamente afuera del
conductor siempre es perpendicular a su
superficie y de magnitud σ/ε0
•Integración directa
•Solución de la ecuación de Laplace
•Método de imágenes
•Desarrollo del potencial en armónicos esféricos
•Solución mediante la función de Green
•Solución por inversión
Conocida   r  "podemos" hacer cualquiera
de estas integrales
E r  
1
4 0
 r  
 (r ) r  r 
 r  r
1
4 0

2
 (r)
r  r
r  r
dV 
dV 

E 
0
 E  0

E 
0
 E  0 
 E  0
E  

E 
0
 E  0 
 E  0
E  

  E          
0
2

E 
0
 E  0
 E  0 
E  

  E          
0
2
La ecuación de Poisson:
2



0

 
0
2
Si estamos en una región donde
  r   0, tenemos la ecuación
de Laplace:
2
  0
2  0
En coordenadas cartesianas:
2
2
2






2
  2  2  2 0
x
y
z
En coordenadas esféricas:
2
1



1



1






2
2
   2 r
0
 2
 sin 
 2 2
2
r r  r  r sin   
  r sin  
En coordenadas cilíndricas:
2
2
1



1






 2 
r


0


2
2
2
r r  r  r 
z
2
 qi
1
 q2
 q1
M
  0
2
3
 qN
j
 q3
•Sobre los conductores el potencial es constante e
igual al de la superficie
•En los conductores NO SE CONOCE la distribución
de carga
•Sobre las cargas    r   
2
qi
  r  ri 
0
2

 r   0
•En todo el resto del espacio
Es decir, lo que hay que resolver es la
ecuación de Laplace
2  0
con las condiciones a la frontera adecuadas. Por ejemplo,
  sobre el conductor i   i
-Linealidad: Cualquier combinación lineal de soluciones
es una solución.
-Unicidad: Si una función satisface la ecuación de Laplace
y las condiciones de frontera, entonces es única.
- Las soluciones de la ecuación de Laplace no tienen
extremos locales; es decir, no tiene ni máximos ni
mínimos más que en las fronteras.
Fijas las condiciones a la frontera, la solución
a la ecuación de Laplace
2

0
es única.
Así que si tenemos las solución a un problema
podemos adecuar otros problemas a esa solución.
La ecuación de Laplace    0 se escribe
2
en coordenadas cartesianas como
2
2
2






2
  2  2  2 0
x
y
z
Así que si por simetría el problema sólo depende
de una variable, que escogeremos como x, la
ecuación de Laplace queda como
d   x
0
2
dx
2
  r   0
2
d   x
0
2
dx
2
se reduce a
La solución es
  x   ax  b
donde a y b son constantes que se eligen
para satisfacer las condiciones de frontera
  x   ax  b
es la solución para un plano infinito
d
ˆ
E  x     x   i
 ax  b   aiˆ
dx

por tanto a  
2 0
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es
2
1



1



1


 2



2
   2 r
0
 2
 sin 
 2 2
2
r r  r  r sin   
  r sin  
que en el caso de problemas con simetría esférica
depende únicamente de la variable r y se reduce a una
sola dimensión
1 d  2 d  r  
r
0
2
r dr 
dr 
La ecuación de Laplace para problemas con
simetría esféricas es
1 d  2 d  r  
r
0
2
r dr 
dr 
Una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden.
a
  x    b
r
es la solución para todos los problemas
con simetría esférica.
Nota: Es la ecuación de Laplace,
entonces fuera de las distribuciones
de carga
Fijadas las condiciones a la frontera, la solución
a la ecuación de Laplace
2  0
es única.
Así que si tenemos las solución a un problema
podemos adecuar otros problemas a esa solución.
Sea
  x, y, z   ax  b
donde a y b son constantes
Es obvio que
      d  ax  b 
 2 2 2 
0
2
x
y
z
dx
2
2
2
2
2
Sea   x, y, z   ax  b donde a y b son constantes

2
d
2
 ax  b   0
dx 2
Además,
  x, y , z   c
implica
x  constante
(planos paralelos al plano YZ )
Sea   x, y, z   ax  b donde a y b son constantes
Las equipotenciales son planos paralelos al plano YZ
Dos placas conductoras infinitas a potenciales fijos
separadas una distancia l
  1
  2
x0
xl
Dos placas conductoras infinitas a potenciales fijos
separadas una distancia l
 ( x, y, z )  ax  b
  x  0, y, z   1  b  1
  x  l , y, z   2  al  b  2
 2  1 
 ( x, y , z )  
 x  1
 l 
 2  2  2
 2  2 0
2
x
y
z
  x, y, z   X  x Y  y  Z  z 
d 2 X  x
d 2Y  y 
d 2Z  z 
Y  yZ  z
 X  x Z  x
 X  x Y  y 
0
2
2
2
dx
dy
dz
d X  x
1 d Y  y
1 d Z z


0
2
2
2
X  x  dx
Y  y  dy
Z  z  dz
1
2
2
2
d X  x
2
 
2
X  x  dx
1
2
1 d Y  y
2
 
2
Y  y  dy
2
1 d Z z
2

2
Z  z  dz
2
      0
2
2
2
  
 2  2 0
2
x
y
z
2
2
2
 i x
 i x
i y
i y
 z
 z





  x, y, z    Ae  Be  Ce  De   Ee  Fe 
Las constantes  , ,
y los coeficientes A, B, C , D, E , F
se determinan dependiendo de las
condiciones a la frontera
Caja rectangular
  V  x, y 
Sobre todas las caras,
excepto la de arriba el
potencial es cero
 0
 0
c
a
b
  x, y, z    Ae  i x  Be  i x  Ce  i y  De i  y   Ee  z  Fe  z 
 0
x0
  0, y, z    A  B  Ce  i  y  De i  y   Ee   z  Fe  z   0
B  A
  x, y, z   A e  i x  e  i x  Ce  i  y  De i  y   Ee   z  Fe  z 
  x, y, z   A  2i sin  x   Ce  i  y  De i  y   Ee  z  Fe  z 
  x, y, z   2iA sin  x  Ce  i y  De  i y   Ee  z  Fe  z 
 0
y0
 z
 z

  x, y, z   2iA sin  x  C  D   Ee  Fe   0
D  C
  x, y, z   4 AC sin  x  sin   y   Ee   z  Fe  z 
  x, y, z   4 AC sin  x  sin   y   Ee  z  Fe  z 
 0
z0
  x, y,0   4 AC sin  x  sin   y   E  F   0
F  E
  x, y, z   4 ACE sin  x  sin   y  e  z  e  z 
  x, y, z   4 ACE sin  x  sin   y  e  z  e  z 
 0
xa
 z
 z

  x  a, y, z   4 ACE sin  a  sin   y  e  e   0
 a  n donde n es un entero
n

a
 n
  x, y, z   4 ACE sin 
 a

 z
 z

x  sin   y  e  e 

 n
  x, y, z   4 ACE sin 
 a
 0
yb

 z
 z

x  sin   y  e  e 

 n 
 z
 z

  x, y  b, z   4 ACE sin  x  sin   b  e  e   0
 a 
 b  m donde m es un entero
m

b
 n
  x, y, z   4 ACE sin 
 a
  m
x  sin 
  b
    z  z 
y  e  e 

 n
  x, y, z   4 ACE sin 
 a
  m
x  sin 
  b
 2 2  2
2
2


n

m

n
m

 

2
2
   
   2  2 
b 
 a   b 
a
2
2

y  e   z  e  z 

 n
  x, y, z   4 ACE sin 
 a
  m
x  sin 
  b
    z  z 
y  e  e 

Caja rectangular
 0
x  0, y  0, z  0
X  sin  x
Y  sin  y
Z  sinh

  z
2
2

Caja rectangular
 0
x  a, y  b
n
n 
a
m
m 
b
 mn
2
2
n
m

 2
2
a
b
Caja rectangular
nm  sin n x  sin  m y  sinh  nm z 
  x, y, z  

A
n , m 1
nm
sin  n x  sin   m y  sinh  nm z 
Caja rectangular
  z  c   V  x, y 

A
n , m 1
nm
sin  n x  sin   m y  sinh  nmc   V  x, y 
a
Anm
b
4

dx  dyV  x, y  sin  n x  sin   m y 

ab sinh   nm c  0 0
Caja rectangular
  x, y, z  

A
n , m 1
nm
a
sin  n x  sin   m y  sinh  nm z 
b
4
Anm 
dx  dyV  x, y  sin  n x  sin   m y 

ab sinh   nmc  0 0
n
n 
a
m
m 
b
 mn
2
2
n m
 2  2
a b
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es
2
1



1



1






2
2
   2 r
0
 2
 sin 
 2 2
2
r r  r  r sin   
  r sin  
  r, ,   R  r       
 d  2 dR 
R d 
 
R d 2
0
r
 2
 sin 
 2 2
2
2
r dr  dr  r sin  d 
  r sin  d
 d  2 dR 
R d 
 
R d 2
0
r
 2
 sin 
 2 2
2
2
r dr  dr  r sin  d 
  r sin  d
1 d  2 dR  1 1 d 
  1 1 d 2
0
r

 sin 

2
2
R dr  dr   sin  d 
   sin  d
1 d  2 dR 
r
  l  l  1
R dr  dr 
1 1 d 
  1 1 d 2
 l  l  1
 sin 

2
2
 sin  d 
   sin  d
1 1 d 
  1 1 d 2
 l  l  1
 sin 

2
2
 sin  d 
   sin  d
1 1 d 
  1 1 d 2
 l  l  1  0
 sin 

2
2
 sin  d 
   sin  d
2
sin  d 
 
1
d

2
0
 sin 
  l  l  1 sin  
2
 d 
 
 d
2
sin  d 
 
1
d

2
0
 sin 
  l  l  1 sin  
2
 d 
 
 d
sin  d 
 
2
2
sin


l
l

1
sin


m




 d 
 
1 d 2
2


m
 d 2
1 d 2
2
 m
2
 d
    e
 im
Q   2 n   Q  
implica que
m debe ser un entero
sin  d 
 
2
2
 sin 
  l  l  1 sin   m
 d 
 
1 1 d 
d 
m2
 sin 
  l  l  1  2  0
 sin  d 
d 
sin 
1 1 d 
d 
m2
 sin 
  l  l  1  2  0
 sin  d 
d 
sin 
Haciendo el cambio de variable
x  cos
tenemos
d  d  dx
d

  sin 
d
dx d
dx
d
d
d
2
2
2 d
sin 
  sin 
  1  cos  
  1  x 
d
dx
dx
dx
d 
d  d 
d   dx
d 
2 d 
  sin    1  x 
 sin 
   sin 

d 
d  dx 
d  d
dx 
dx 
d 
d  d 
d   dx
d 
2 d 
  sin    1  x 
 sin 
   sin 

d 
d  dx 
d  d
dx 
dx 
1
d 
d  1 d 
2 d 
1 x 

 sin 


 sin  d 
d   dx 
dx 
2
1
d 
d 
m2
1 d 
d

m

2
sin



1

x





2


 sin  d 
d  sin   dx 
dx  1  x 2
La ecuación queda ahora
1 d 
m
2 d 
1 x 

 l  l  1

2


 dx 
dx  1  x
2
ó bien
2

d 
m 
2 d 
1 x 
 l  l  1 
0

2


dx 
dx  
1 x 
La ecuación es la generalizada de Legendre
2


d 
dP
m

2
1  x    l  l  1 
P0

2

dx 
dx  
1 x 
y sus soluciones se llaman funciones asociadas
de Legendre.
Estas son "funciones especiales" que han sido
extensamente estudiadas y que sus propiedades
pueden ser cincultadas.
* La solución se encuentra mediante series.
La ecuación es la generalizada de Legendre
2


d 
dP
m

2
1  x    l  l  1 
P0

2

dx 
dx  
1 x 
Sus soluciones se llaman funciones asociadas
de Legendre
Pl m  x 
1


l
m
2 l!
1  x 
2 m/2
l
d l m 2
x  1
l m 
dx
La solución a la parte ángular queda
Yl
m
 ,  
l  m ! m

im
Pl  cos  e
 2l  1
 l  m !
1 d  2 dR 
r
  l  l  1
R dr  dr 
d  2 dR 
r
  l  l  1 R  0
dr  dr 
2
d
R
dR
2
r
 2r
 l  l  1 R  0
2
dr
dr
2
d
R
dR
2
r
 2r
 l  l  1 R  0
2
dr
dr
n
a
r
 n
 n  n  1 a r  2 na r  l  l  1  a r
 n  n  1  2n  l  l  1 a r  0
n
n
n
n
n
n
n
n  n  1  2n  l  l  1  0
n
0
2
d
R
dR
2
r
 2r
 l  l  1 R  0
2
dr
dr
n
a
r
n
n 2  n  l  l  1  0
n
1  1  4l  l  1
1  4l  4l  1 1   2l  1


2
2
2
1   2l  1
n
2
n1  l
n2  l  1
B
Ar  l 1
r
l
2
2
2
1



1



1






2
2
   2 r
0
 2
 sin 
 2 2
2
r r  r  r sin   
  r sin  

Blm 

l
  r , ,      Alm r  l 1  Ylm  , 
r 
l  0 m  l 
l
Problema 3 del capítulo 3 del libro de Murphy