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Lógica
Equivalencia Lógica
-¿Qué es?
-¿Cómo comprobarla?
Leyes Lógicas
-¿Cuáles son?
-¿Cómo usarlas?
Circuitos
Lógicos
-¿Qué son?
-¿Cómo se aplican?
Introducción
La Sra. Ana le escribe a su casero, el Sr. Pepe: “A menos que
arregle la tubería, no pagaré la renta”.
¿Cómo expresar esta proposición mediante proposiciones más
simples?
Consideremos que las proposiciones simples son:
p: “La Sra. Ana paga la renta”.
q: “El Sr. Pepe arregla la tubería”.
Respuesta 1:
Respuesta 2:
Usando “”Y
Usando “”
¿ son la
q  p
lógicamente
q  p
misma
proposición?
Equivalencia Lógica
Dos proposiciones u y v
u es VERDADERA
u es FALSA
Y lo denotamos por
son lógicamente equivalentes cuando
si y sólo si v es VERDADERA
si y sólo si v es FALSA
u  v.
Ejemplo: Comprobemos que p  q es lógicamente
equivalente a q  p.
q  p
q
qq
 p
p
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
q
p
V
V
V
F
F
p
Conclusión: Sí son lógicamente equivalentes ! ! !
pq

 q   p.
Equivalencia Lógica
¿Puedes identificar otra proposición cuya tabla de verdad coincida
con ésta?
p
V
V
q
V
F
p  q
q  p
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
p  q

q  p

p ? q
pq
Llamaremos “Equivalencia 1 ó de la implicación” a:
pq

p  q
Vocabulario
Determinadas proposiciones están relacionadas con una
implicación; usamos términos tales como la recíproca, la
inversa y la contra recíproca o contrapositiva.
Para p  q,
q  p es la recíproca
p  q es la inversa
q  p es la contrapositiva
o contrarecíproca
Además, p  q
es
equivalente a q  p
Ejemplo en lenguaje común:
“Si hubo un robo, algo desapareció”
es equivalente a
“Si nada ha desaparecido entonces no hubo robo”
Ejercicio
Sean p, y q proposiciones. Asocia las proposiciones u y v
que sean lógicamente equivalentes !propuesto!
u
(pq)
(pq)
p(pq)
v
p  q
p  q
q
p
p
Leyes Lógicas
En muchos casos, necesitamos usar una proposición
equivalente a la que tenemos entre manos... Y no siempre es
fácil realizar tablas de verdad si se tienen muchas proposiciones.
Por eso, necesitamos conocer algunas equivalencias notables
entre proposiciones, que llamaremos Leyes Lógicas
Ley
pp V
pp F
pF F
pV V
 ( p)  p
pV p
pF p
Nombre de la Ley
Tercio excluido o de Dicotomía
de Contradicción
de Dominación
de Doble Negación
Leyes de identidad o Elemento
Neutro
Leyes Lógicas
Ley
Nombre de la Ley
 (p  q)  p   q
 (p  q)  p   q
de De Morgan
p  (p  q)  p
p  (p  q)  p
de Absorción
pq qp
Conmutativa
(p  q)r  p(q  r)
p (q  r)  (pq)  (pr)
Asociativa
Distributiva
Recuerda cómo demostrar una ley
Uso de las Leyes
Las leyes son muy útiles para demostrar que dos proposiciones
son equivalentes.
Ejemplo: Demuestra que
(p  q  r)  (p  q  r)

pr
- Ley usada -
(p  q  r )  (p  q  r)

(p  r  q )  (p  r  q)
Conmutativa

[(p  r)  q ]  [(p  r)  q]
Asociativa

(p  r)  (q  q)
Distributiva

(p  r)  V
tercio excluido

pr
ley de identidad
Ejercicios
1.- Utiliza las leyes para demostrar que
p  (q  r)  (p   q)  r
2.- Descubre el error en la “demostración” siguiente:
p  (q   r)   p  (q   r)
  p  ( r  q)
 ( p   r)  q
  (p  r)  q
 (p  r)   q
Para ver las
respuestas, clickea
Circuitos Lógicos
Una red de conmutación o circuito está formada por cables e
interruptores que conectan a dos terminales.
T1 _______ ... _______T2
Si un interruptor está abierto, no fluye la corriente por él y se le
asocia el valor 0
y si está cerrado, permite el paso de la corriente y se le asocia
el valor 1.
Hay dos tipos simples de circuitos: en serie y en paralelo.
Cuando está en paralelo, la corriente fluye si alguno o ambos
están cerrados y se representa por p  q.
T1
Red en paralelo
p
T2
q
pq
Circuitos Lógicos
En un circuito en serie, la corriente fluye de T1 a T2 si ambos
interruptores están cerrados y no fluye, si alguno o ambos están
abiertos. Se le asocia, entonces, la proposición p  q
Red en serie
T1
p
q
T2
pq
Podemos ahora, utilizar la simplificación de proposiciones para
simplificar circuitos y conseguir otros que sean equivalentes y
realicen la misma función más eficientemente.
Ejercicio
3.- Simplifica el circuito
p
q
q
r
T1
T2
q
p
r
q
Tarea
1. a) Expresa simbólicamente la proposición:
“Si Juan se va de vacaciones, el se va a divertir si
no le da miedo volar.”
b) Niega la proposición anterior
(Ayuda: la negación de una implicación no es una
implicación)
2. Realiza los ejercicios 20c, 21b, 21c y 22b del libro.
No olvides escuchar la
música de la Vida.
Respuestas
1.- Uso de las leyes:
p  (q  r)   p  (q  r)
 ( p  q)  r
 (p   q)  r
 (p   q)  r
Equivalencia 1
Asociativa
De Morgan
Equiv. 1
2.- El error en la demostración esta en el ultimo paso. De
hecho, p  (q   r)  (p  r)  q
Respuestas
3.- El circuito lógico:
-Razones[(p  q)  (q  r)]  [p  ( q  (r  q))]
 [(p  q)  (r  q)]  [(p   q)  (p  r  q)] Conmut. y Distrib.
 (p  q)  (p   q)  (r  q)  (p  r  q) Conmut. y Asociat.
 [p  (q   q)]  [(r  q)  (p  r  q)]
Distrib y Asociat.
 p  [(r  q)  (p  r  q)]
Inverso y Neutro
 p  (r  q)
Absorción
El circuito
simplificado es
p
T1
T2
r
q