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Universidad Juárez Autónoma de Tabasco
División Académica de Ciencias Biológicas
Licenciatura en Biología
Materia: Pensamiento matemático
Profesor: Filemón Baeza Vidal
Alumno: Erick Alberto Badillo Estrella
Tarea: Trabajo sobre la unidad 1.
Elementos de Lógica
Introducción
La lógica formal, al nivel de la lógica de enunciados, sólo puede
analizar formalmente aquellos razonamientos en cuya validez no
desempeña ningún papel la estructura interna de las proposiciones
que
la
componen.
Hay razonamientos formalmente válidos que no lo son simplemente
en virtud de las conexiones externas entre los enunciados. Es decir su
forma no puede exhibirse tan sólo mediante letras y conectivos, sino
que es preciso penetrar en la estructura interna del enunciado, para
buscar la validez de la inferencia en cuestión.
Ejemplo:
P: ningún árbol puede hablar.
Q: Juan puede hablar.
Luego,
R: Juan no es un árbol.
La lógica proposicional no puede explicar porqué R se deduce de P y
de Q.
Se trata entonces de construir a partir del cálculo proposicional
nuevos elementos de análisis para poder tener un más poderoso
instrumento
de
deducción.
Dada una proposición, la lógica cuantificacional distingue en esta a
los individuos y a sus propiedades.
Ejemplo:
Manuel estudia mucho.
Itagüí es un municipio muy próspero.
La savia alimenta las plantas.
En las tres proposiciones anteriores los individuos son: "Manuel",
"Itagüí" y "la savia", ellos coinciden con los sujetos gramaticales. Las
propiedades atribuidas a dichos individuos son las frases: "estudia
mucho", "es un municipio muy próspero" y "alimenta las plantas",
estos
coinciden
con
los
predicados
gramaticales.
Este tipo de proposiciones en donde se atribuye una propiedad a un
individuo determinado son las llamadas proposiciones simples. Los
nombres propios hacen referencia a cualquier tipo de individuos
determinados:
personas,
animales,
países,
ríos,
etc.
y
se
simbolizarán con letras minúsculas a, b, c …y se llamarán constantes
individuales o términos. Se llamará predicado a la palabra o frase que
hace referencia al sujeto o término, y se simbolizará con letras
mayúsculas: A, B, C…
Si
en
el
ejemplo
anterior
Manuel,
por
la
Itagüí,
por
la
La
savia,
Estudia
Es
un
por
mucho,
municipio
se
letra
la
próspero,
i.
letra
la
s.
letra
por
la
a:
m.
letra
por
muy
simboliza
P.
letra
R.
Alimenta las plantas, por la letra T. Entonces, la simbolización de las
anteriores proposiciones es:
Pm
Ri
Ts
Las proposiciones simples pueden combinarse mediante conectivos
lógicos para formar proposiciones compuestas tales como:
"Pedro duerme y María lee"
Que se puede simbolizar así:
Dp  Lm
INDICE
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
Elementos que componen un lenguaje formal.
Símbolo, definición, axioma, proposición, teorema y corolario.
El lenguaje matemático.
Negación de proposiciones.
Cuantificadores:
1.5.1. Para todo
1.5.2. Existe
1.6 .Conectivos lógicos entre proposiciones:
1.6.1. Disyunción
1.6.2. Conjunción
1.6.3. Implicación
1.6.4. Equivalencia
1.1. Elementos que componen un lenguaje formal
Primeramente, hay que explicar el significado de la expresión “objeto
formal”.
El objeto formal de una ciencia, en general, es el aspecto de una cosa
que se estudia. Dicho de otro modo, es el ángulo o faceta o punto de
vista especial que se considera en el objeto estudiado. Un objeto material
tiene varios objetos formales; es decir, una misma cosa puede ser
estudiada bajo varios puntos de vista, y cada uno de ellos da origen a
una ciencia diferente. En términos técnicos, se dice que estas ciencias
coinciden en el objeto material, pero difieren en el objeto formal.
Aplicando este término técnico a nuestra materia, podemos establecer: el
objeto formal de la Lógica está constituido por las formas mentales.
1.2. Símbolo, definición, axioma, proposición, teorema y
corolario.
Símbolo. En términos semióticos, el símbolo es un signo que, de
acuerdo a la clasificación de Peirce posee siempre una relación arbitraria
entre significado y significante, a diferencia del ícono cuya relación es de
semejanza y el índice, caracterizado por la causalidad.
Gracias a los símbolos, es como se puede uniformar, por ejemplo, el
sentido exacto de las conexiones entre proposiciones y, por tanto, lo que
se puede inferir correctamente a partir de ellos. Los símbolos lógicos
tienen un papel semejante a los símbolos algebraicos. En esta ciencia
se pueden sustituir las literales por números concretos, y, en cualquier
caso, las relaciones expresadas simbólicamente tienen que realizarse
también en los contenidos sustituidos.
Definición. Definir quiere decir delimitar (del latín: definire) , poner límites.
Por tanto, una definición es la expresión de lo que es un objeto, sin
añadirle ni quitarle nada.
En otras palabras, nuestros conceptos se refieren a ciertos objetos; y
explicitar con exactitud a qué tipo de objetos se refieren estos con
conceptos es definir. Como puede notarse, estamos en el terreno de la
comprensión de un concepto. Saberlo desarrollar con exactitud y
fidelidad, sin que falten o sobren notas esenciales, es saber definirlo.
Axioma. En lógica matemática, un axioma no es necesariamente una
verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción
para llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de
axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.
Axioma es un enunciado aceptado como cierto, el cual contiene términos
no definidos (punto, recta, plano y otros conceptos primitivos a los cuales
no hay forma de definirlos sino con ellos mismos).
Axiomas lógicos
Éstas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente
válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y
por cualquier función variable, en términos coloquiales, éstos son
enunciados que son verdaderos en cualquier universo posible, bajo
cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores.
Usualmente uno toma como axiomas lógicos un conjunto mínimo de
tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el
lenguaje.
Axiomas no-lógicos
Los Axiomas no-lógicos son fórmulas específicas de una teoría y se
aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras
diferentes, por ejemplo, los números naturales y los números enteros
puede involucrar a los mismos axiomas lógicos, sin embargo, los
axiomas no-lógicos capturan lo que es especial acerca de una estructura
en particular (o un conjunto de estructuras). Por lo tanto los axiomas nológicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías. Otro
nombre para los axiomas no-lógicos es postulado.
Casi cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto
de axiomas no-lógicos, se pensaba que en principio cualquier teoría
puede ser axiomatizada y formalizada, posteriormente esto se demostró
imposible.
En el discurso matemático a menudo se hace referencia a los axiomas
no-lógicos simplemente como axiomas, esto no significa que sean
verdaderos en un sentido absoluto. Por ejemplo en algunos grupos, una
operación puede ser conmutativa y esto puede ser afirmado
introduciendo un axioma adicional, pero aún sin la introducción de este
axioma se puede desarrollar la teoría de grupos e incluso se puede tomar
su negación como un axioma para estudiar los grupos no-conmutativos.
Un axioma es el elemento básico de un sistema de lógica formal y junto
con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo.
Proposición. Una proposición es un enunciado declarativo que es verdadero o
falso, pero no las dos cosas. Por ejemplo, los tres enunciados que siguen son
todas proposiciones:
El 24 de enero de 1972, fue un lunes.
El agua corre hacia arriba.
3 + 1 = 6.
Teorema. Las proposiciones válidas se llaman también teoremas. No siempre tenemos
evidencia directa de la validez de un teorema. Eso depende en parte del grado de
complejidad del teorema y de nuestra mayor o menor familiaridad con su contenido.
Un teorema requiere demostración cuando no hay evidencia de su validez. Hay
demostraciones directas y demostraciones indirectas.
Una demostración directa de un teorema P consiste en una lista P1, P2,…, Pn de
proposiciones tales que P1 es P y, para cada i=1,2,…,n, Pi es evidentemente válida o
es consecuencia de una o varias de las proposiciones que le preceden en la lista.
Corolario. Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia
inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del
teorema previamente demostrado
Una proposición A es un corolario de una proposición o teorema B si A puede ser
deducida sencillamente de B.
1.3. El lenguaje matemático
Las matemáticas fueron primeramente utilizadas como método de medida
de las circunstancias y acontecimiento físico. Y quizás esa debería ser su
principal función.
Sin embargo, con el desarrollo de operaciones y sistemas matemáticos se
cree haber sobrepasado el simple método de medida para convertir las
matemáticas en un leguaje de expresión y demostración con el cual
podemos averiguar toda la realidad física.
Y la pregunta sería, ¿Puede las matemáticas ser realmente un método de
expresión?
Parece claro que sí. Las matemáticas pueden tener unas dimensiones tan
extensas que pueden convertirse en método de expresión y demostración de
cualquier acontecimiento.
Pero aquí surge el problema: Como método de expresión las matemáticas
pueden abarcar cualquier acontecimiento real, pero también cualquier
acontecimiento inventado o imaginario.
Por tanto al utilizar el lenguaje matemático podemos tomar dos opciones:
---Podemos hacer formulaciones, mediciones y demostraciones sobre
hecho físicos reales, para lo cual es necesario comprobar que los
parámetros matemáticos y sus resultantes coinciden con los parámetros y
acontecimientos físicos y también con sus resultantes.
---Y podemos crear a partir de formulaciones matemáticas arbitrarias y
preconcebidas una creatividad y una física imaginaria, la cual podríamos
manejar a nuestro antojo.
Y en eso parece que estamos en la actualidad, en inventarnos fórmulas con
las que intentamos explicar un universo a nuestro modo, y si las layes
físicas y por tanto el universo real no coincide con nuestras ideas
preconcebidas decimos que es el mundo físico el que resulta
incomprensible, inestable, virtual o simplemente equivocado.
Pero como es lógico siempre procuramos que este mundo inestable o
virtual se sitúe lejos de nuestro alcance (como en el mico-espacio o espacio
quántico, a la velocidad de la luz, etc.) y de esta forma podemos aceptar
mejor nuestro engaño.
Así, la física que nosotros podemos observar es diferente de la que no
podemos observar. Aquí se cumplen unas leyes físicas claras lógicas y
comprensible. Allí donde no llegamos, las leyes son diferentes, ilógicas e
incomprensibles.
Creo por tanto que antes de explicar complicadas fórmulas matemáticas
deberíamos saber que son en realidad las matemáticas y cuál es su alcance
real y alcance ficticio.
Puede ser maravilloso inventarnos un universo a nuestro gusto, pero es
triste estar engañado con tantas alegorías matemáticas como lo estamos en
la actualidad.
Como ejemplo de estos errores podemos reseñar:
---El invento de su fórmula por Lorentz para justificar un posible aumento
de masa propuesto por Einstein en las partículas que se acercan a la
velocidad de la luz, todo ello debido al desconocimiento que estos tenían de
una propiedad de toda energía de tener una velocidad máxima de
desarrollo.
---El tremendo error de escoger las coordenadas cartesianas en vez de las
radiales en la composición de las órbitas de los electrones en mecánica
cuántica.
---La de escoger la constante de Planck como número cuántico real cuando
solo es una cantidad arbitraria para poder relacionar la frecuencia con la
energía.
---La de crear un principio de incertidumbre o de probabilidades para
después decirnos que realmente la física es incierta y que solo se cumplen
sus leyes donde nosotros estamos mirando.
1.4. Negación de proposiciones
Una negación es una proposición de la forma
No es cierto que P,
Donde la componente P es una composición cualquiera.
Como ejemplos de negaciones, tenemos las proposiciones siguientes:
(1) No es cierto que 9 es un número primo.
(2) No es cierto que x está comprendido entre 0 y 1.
(3) No es cierto que si x>4 entonces x<3.
Cuando la componente de una negación es simple, es más apropiado,
aunque no esencial, poner el verbo en la forma subjuntiva. Así, en vez de
(1) debemos escribir:
No es cierto que 9 sea un número primo.
El método que hemos descrito para formar una negación es aplicable a
todos los casos. Sin embargo, en la práctica se prefieren a menudo
métodos más específicos, que varían de un caso a otro. Así, por ejemplo,
para formar la negación de una proposición simple, basta con anteponer
el adverbio “no” al verbo de la proposición. De acuerdo con este método,
en vez de las proposiciones (1) y (2), podemos escribir sencillamente:
(1”) 9 no es un número primo.
(2”) x no está comprendido entre 0 y 1.
Nótese la imposibilidad de hacer algo semejante en el caso de la
negación (3), cuya componente no es simple.
Para formar la negación de una proposición compuesta, existen, también,
en formas específicas, como puede apreciarse a través de los siguientes
ejemplos, donde aparecen proposiciones compuestas seguidas
inmediatamente de sus negaciones respectivas.
--Algo es variable.
Nada es variable.
--Todo es objetivo.
No todo es objetivo.
--A veces llueve.
Nunca llueve.
Cuando el predicado de una oración simple está representado por un
símbolo matemático, es costumbre formar la negación cancelando el
símbolo por medio de una raya inclinada.
En lo sucesivo, escribiremos:
~P
para simbolizar la negación cuya componente es P.
En cuanto a significado se refiere, podemos decir que toda negación
afirma lo contrario de lo que afirma su componente.
Cuantificadores:
1.5.1 Para todo
Las expresiones:
Todo hombre es mortal.
Algunos hombres son sabios.
Pueden traducirse respectivamente como:
Para todo x, si x es hombre entonces x es mortal.
Existe un x, tal que x es hombre y x es sabio.
Otros giros utilizados para la expresión "para todo x", son:
Todo x
Cualquiera x
Cada x
que se simbolizan por "x" y se llama cuantificador universal.
1.5.2 Existe
Otros giros utilizados para la expresión "Existe un x" son:
Hay x
Existe x, tal que
Algún x
Algunos x
Que se simbolizan por "x" y se llama cuantificador existencial.
Existen tres formas de convertir una función proposicional Px en una
proposición a saber:



Haciendo la sustitución de las variables por un término
específico.
Anteponiendo la expresión "para todo x" o cuantificador
universal.
Anteponiendo la expresión "existe almenos un x" o
cuantificador existencial.
El enunciado "existe almenos un x tal que Px" se representa como:
(x)(Px)
El enunciado "para todo x, Px" se representa como:
(xPx
Al anteponer a la función proposicional Px un cuantificador, se dice
que
la
variable
x
ha
pasado
a
ser
una
variable
ligada.
Una proposición de la forma (xPxes verdadera cuando todas la
sustituciones de la variable x por términos específicos del conjunto de
referencia
convierten
a
Px
en
enunciado
verdadero.
Un enunciado de la forma (x)(Px) es verdadero cuando al menos un
caso de sustitución de la variable x por un término específico del
conjunto de referencia, convierte a Px en un enunciado verdadero.
Las proposiciones universales pueden aparecer negadas, como en el
enunciado: "No todos son mecánicos". En este caso la simbolización
será  (xMxdonde Mx es la función proposicional "x es mecánico"
que toma valores dentro del conjunto de referencia formado por los
hombres.
Las palabras "ningún", "ninguno", "nada", "nadie" corresponden
también a enunciados universales con negaciones, pero de una
manera distinta a las proposiciones anteriores. La proposición
"ninguno es mecánico" no equivale a la proposición "no todos son
mecánicos" sino a la expresión "para todo x, x no es mecánico" que
se
simboliza
(
x)(
M
x.
Las proposiciones anteriores pueden estar negadas, como por
ejemplo "no es cierto que hay fantasmas" la cual se simboliza como 
( x)(Fx) donde Fx simboliza la expresión "x es un fantasma".
Análogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales, las
proposiciones existenciales puede tener negaciones internas como
"algo no es mortal" la cual se simboliza como ( x) ( Mx) donde Mx
simboliza la expresión "x es mortal".
1.6. Conectivos lógicos entre proposiciones
1.6.1 Disyunción
En matemáticas , una disyunción lógica (comúnmente conocida como o) es un
operador lógico que resulta en verdadero si cualquiera de los operadores es verdadero.
Definición
En lógica y matemáticas una disyunción es un "enunciado con dos o más elementos
optativos". Por ejemplo "Puedes leer este artículo o editarlo", es una disyunción con dos
elementos, mientras que "Puedes leer este artículo, imprimirlo o editarlo" es una
disyunción con tres elementos.
Nótese que en el lenguaje cotidiano el uso de la palabra "o" significa a veces "alguno,
pero sólo uno", por ejemplo: "¿Vas a ir mañana a México o a España?". En lógica, a
esto se le llama "disyunción exclusiva" u "o exclusivo". Cuando se utiliza formalmente,
"o", permite que uno o más de los elementos de la disyunción sean válidos, por lo cuál
"o" es también llamado "disyunción inclusiva"Plantilla:Rf.
Para dos entradas A y B, la tabla de verdad de la función disyuntiva es: también la
disyuccion es cuando hay dos elementos en dos conjuntos que forman una propocicion
A B AoB
F F
F
F V
V
V F
V
V V
V
Más generalmente la disyunción es una fórmula lógica que puede tener una o más
literales separadas con "os". Una sola literal se considera una disyunción degenerada.
Símbolo
El símbolo matemático para la disyunción lógica varia en la literatura. Además de
utilizar "o", el símbolo en forma de "v" ("∨") es comúnmente utilizado para la
disyunción. Por ejemplo: "A ∨ B" se lee como "A o B". Esta disyunción es falsa si
ambas A y B son falsas a la vez. En todos los demás casos es verdadera.
Todas las expresiones siguientes son disyunciones:
A∨B
¬A ∨ B
A ∨ ¬B ∨ ¬C ∨ D ∨ ¬E
La noción equivalente en teoría de conjuntos es la unión. Y el símbolo representativo es
"O" y "V"
Asociatividad y Conmutatividad
Para más de dos elementos de entrada o puede ser aplicada a los primeros dos, y el
resultado obtenido operado con o al siguiente elemento y así sucesivamente:
(A o (B o C)) ⇔ ((A o B) o C)
Debido a que o es asociativo, el orden de las entradas no importa: el mismo resultado se
obtiene sin importar la asociación que se haga.
El operador xor es también conmutativo y por consiguiente el orden de los operandos
no importa:
A or B ⇔ B or A
Operación con bits [editar]
La disyunción es utilizada a menudo para operaciones con bits. Por ejemplo:





0o0=0
0o1=1
1o0=1
1o1=1
1010 o 1110 = 1110
Nótese que en ciencias computacionales el operador o puede ser utilizado para llevar un
bit a 1 aplicando una operación o entre el bit y un 1.
Unión
La unión utilizada en teoría de conjuntos se define en términos de la disyunción lógica:
x ∈ A ∪ B si y solo si (x ∈ A) ∨ (x ∈ B). Debido a esto, la disyunción lógica satisface
muchas de las mismas identidades que la unión de la teoría de conjuntos, como la
asociatividad, conmutatividad, distributividad y las leyes de Morgan.
Nota
Boole, estableció como una condición necesaria a la definición de "x+y" —siguiendo
una analogía muy similar a las matemáticas ordinarias—, que x e y fuesen mutuamente
exclusivas. Jevons, y prácticamente todos los matemáticos lógicos después de él,
advocaron en varias áreas la definición de "adición lógica" de tal forma que no requiere
mutualidad exclusiva.
1.6.2 Conjunción
Conjunción copulativa (lógica) ^
Este símbolo es utilizado en lógica para indicar la conjunción copulativa 'y'. Es decir:
A^B quiere decir 'A y B'. De otro modo: A^B es verdad si A es verdad y B es verdad.
Se desconoce su origen, aunque se supone que se eligió por inversión del signo v
utilizado para la disyunción. También es de señalar que Peano, en su Formulaire de
mathématiques (1895), usaba el signo ^.
El primer uso del que se tiene noticia está en la Introducción a la lógica (1940) de
Alfred Tarski. Un signo parecido se utiliza en los programas de informática para indicar
los exponentes de las potencias.
v
Conjunción disyuntiva (lógica)
Este símbolo es utilizado en lógica para indicar la conjunción disyuntiva 'o'. Es decir:
AVB quiere decir 'A o B'. De otro modo: AB es verdad si A lo es, o B lo es, o ambas.
Se usa por ser 'v' la inicial de la conjunción disyuntiva latina vel.
El primer uso del que tengo noticia está en los Principia mathematica (1910) de
Whitehead y Russell, aunque es de señalar que Peano, en su Formulaire de
mathématiques (1895), usaba el signo
.
1.6.3 Implicación
Etimológicamente del latín “in ─ plicare”, significa el hecho de algo que está “plegado”
o doblado en el interior de algo que oculta lo que hay en su interior que, por tanto,
aunque está, no es visible o perceptible.
Su contraposición se manifiesta en el término latino “ex ─ plicare”. La “explicación” es
el hecho de desplegar lo que está plegado; sacar al exterior, hacer visible, o
comprensible, aquello que está “implicado” en el interior de algo que lo hacía oculto o
no comprensible.
La realidad del mundo como un orden implicado
La realidad del mundo no se nos manifiesta como un conjunto de cosas o de hechos
aislados, sino que, por el contrario, aparece como un proceso, como un conjunto de
hechos y de cosas relacionados entre sí de forma que unos "dependen" de otros, unos
hechos "suceden" a otros, o suceden "siempre y cuando" se dé un orden de determinadas
circunstancias etc. etc.
Estas relaciones en las que unas cosas dependen de otras, o unos hechos suceden a
otros, solemos comprenderlas, de forma general, bajo la idea de causa.1
El conocimiento del mundo lo elaboramos a través de unos datos captados por los
sentidos; y lo manejamos conceptual y lingüísticamente y lo comunicamos a los demás
según interpretamos la realidad y "creemos" que conocemos el mundo como realidad.
Esta creencia en el modo de conocer el mundo como relación de causas, la expresamos
en el pensamiento y el lenguaje mediante las oraciones hipotéticas u oraciones
condicionales que en lógica se formulan como proposiciones hipotéticas o
condicionales o implicaciones:
"Si llueve el suelo está mojado"
"Cuando llueve el suelo está mojado"
"Siempre que llueve el suelo está mojado"
"Llueve, luego el suelo está mojado"
"Llueve, por tanto, el suelo está mojado" etc.
Que de forma general vienen a decir que:
"El suelo está mojado porque llueve"
"La lluvia causa que el suelo esté mojado"
"El suelo está mojado a consecuencia de la lluvia".
En lógica este tipo de expresiones se formalizan como
,
que se leen e interpretan como más adelante se explica.
Al percibir algunas cosas o algunos hechos, "esperamos", "creemos", que van a suceder
otras; o "suponemos" que estas cosas suceden porque antes han sucedido otras. En otras
palabras damos por supuesto que unas cosas implican otras y los hechos están
implicados unos en otros.
Esta implicación de las cosas y los hechos del mundo suceden no de forma arbitraria
sino de forma legal, conforme a leyes. El mundo se nos manifiesta conforme a unas
"leyes naturales" según las cuales las cosas suceden así por "necesidad", porque tienen
que ser así, y no de forma arbitraria, "por voluntad de los dioses" o el "azar".
Al expresar nuestro conocimiento por medio del lenguaje, utilizamos unas reglas
gramaticales y lógicas que, aunque no las conozcamos, las manejamos de forma
inconsciente y natural. Pero mediante ellas, creemos que conocemos y expresamos la
realidad del mundo.
Pensamos que el conocimiento, cuando es una interpretación adecuada de la realidad, es
verdadero.
Luego reflexionamos que dicho conocimiento es producto de nuestra interactuación con
ella, la realidad, puesto que nosotros somos parte de la misma y del mismo proceso, y
esta reflexión es el fundamento del pensamiento racional que da lugar a la ciencia y a la
filosofía.2
El conocimiento de la ciencia y de la reflexión filosófica supone una gran depuración
del conocimiento vulgar. De ahí que la noción de causa, de implicación, de ley
científica, la misma noción de experiencia en el contexto científico y filosófico, aunque
tengan el mismo fundamento que la noción corriente, requiere un proceso de depuración
o formalización para adecuar las nociones lo mejor posible al contenido experimental
(que no es lo mismo que la experiencia) de las mismas3
El comprender la realidad del mundo en sus "implicaciones" se hace mediante las
"explicaciones" de la ciencia.
La ciencia, por su parte, como pensamiento racional, se somete a unas reglas de
razonamiento o funcionamiento de la razón, conocidas, elaboradas y formalizadas, que
es lo que normalmente entendemos por lógica.
En este artículo consideramos la "implicación" en su sentido lógico. Reservando la
explicación al ámbito del método científico.4
La implicación lógica requiere algunas precisiones para su correcta comprensión:
Implicación y condición
Aunque en el lenguaje ordinario no suele tener importancia esta distinción, en su
sentido lógico y científico las diferencias pueden tener un sentido importante.
Tanto la condición como la implicación en el cálculo lógico se expresa según el
esquema A → B, que puede leerse de dos formas:
Si A entonces
B
"Si hoy es martes entonces mañana es miércoles"
A implica B
"Hoy es martes", implica que, (por tanto) "mañana es
miércoles"
En el primer caso hemos leído como un condicional. En el segundo como una
implicación.
1.- Observamos que, en su escritura, la expresión difiere de forma fundamental en el uso
de las comillas:
“si A entonces B” es una proposición como tal y, por tanto, en su interpretación lógica,
puede tener dos valores posibles de verdad. Su tabla de valores de verdad nos indica que
solamente es falsa en el caso en que “A” sea verdadera y “B” sea falsa, y en los demás
casos posibles es verdadera.
“A” implica “B” cita dos proposiciones, de manera que citando o afirmando A, como
sentencia verdadera en su contenido semántico, se exige la citación o afirmación de B
como sentencia verdadera en su contenido semántico. Por tanto la diferencia entre
ambas es equivalente a la que existe entre uso y mención del lenguaje.
2.- Lo condicional es una afirmación hipotética sobre una relación meramente formal.
“si se da una condición (antecedente), tiene que darse también lo condicionado
(consecuente)”. El hecho de que no se dé la condición no afecta al hecho de que se dé o
no se dé lo condicionado.
En la implicación, sin embargo, la relación se establece sobre sentencia en su condición
de "contenido semántico". A debería tomarse como afirmación sobre "A"; y B como
afirmación sobre "B".
Mientras la condición es una relación meramente sintáctica, la implicación exige
además una relación semántica. En este segundo caso la condición responde a un
contenido material.
Así pues implicación debe entenderse como:
“La verdad de ‘A’ exige, o lleva implícita, la verdad de ‘B’ ”; o, si
queremos ponerla en forma
hipotética, si se afirma como verdadero A tiene que afirmarse como
verdadero B.
Lo que nos viene a sugerir que, siendo los dos conceptos similares,
se debe reservar la implicación sólo a los casos en los que la condición es
verdadera
Un ejemplo que solemos usar en el lenguaje ordinario puede servir de de ejemplo para
lo que intentamos decir.
Cuando alguien está contando algo que el oyente considera una fantasía que no puede
ser admitida de ningún modo como verdadera, es frecuente, en español, que el oyente
manifieste su incredulidad diciendo: “Si esto es verdad, yo soy el Papa de Roma”.
Si interpretamos dicha expresión como un condicional, entonces la proposición como
tal es lógicamente verdadera, puesto que, partiendo de la falsedad del antecedente, el
valor de verdad del consecuente no incide en la verdad del condicional como verdad
formal, según las tablas de verdad.
Pero si lo interpretamos como una implicación: “Lo que dices” implica que “yo soy el
Papa de Roma”, entonces no tiene sentido alguno. Porque “Lo que dices” (como
significado) no tiene nada que ver conmigo ni con el Papa de Roma (como significado),
y es por tanto un absurdo.
"Si esto es un triángulo entonces la suma de sus ángulos tendrá que ser 180º", es una
afirmación hipotética, por tanto débil, mínima, similar en su forma a la anterior.
Mientras que "Esto es un triángulo implica que (por tanto) la suma de sus ángulos sea
(son) 180º", es una afirmación plena en su contenido.
Para la prueba argumentativa, o derivación formal en un cálculo, basta la afirmación
mínima hipotética, por lo que en la práctica del cálculo formal lógica no es necesario
tener en cuenta esta distinción, no así en las afirmaciones con pretensión de verdad
cuando hablamos del mundo.
"Si llueve el suelo está mojado", es una afirmación formal e hipotética, que no habla
del mundo.
"Llueve, por tanto el suelo está mojado", es una afirmación con contenido de verdad
y habla del mundo. Equivale materialmente a la afirmación doble: "Llueve" y "el
suelo está mojado".
Implicación lógica
La implicación supone un contenido semántico además de formal.
un sistema lógico se define como una estructura compuesta por un lenguaje formal
junto con una relación binaria de consecuencia semántica (o implicación lógica) o una
relación binaria de consecuencia sintáctica ├ (derivabilidad), o ambas. La relación de
consecuencia semántica se define con respecto a una clase de estructuras y la relación
de consecuencia sintáctica, con respecto a un sistema de pruebas.5
El cálculo lógico formal sirve para establecer una relación, o derivación entre una
condición y su condicionado, o el establecimiento de una afirmación hipotética. Si las
premisas son verdaderas lo es también la conclusión.
Cuando el cálculo tiene una intención argumentativa en su contenido semántico,
entonces partimos de un contenido material afirmado como verdadero, cuya verdad es
condición necesaria de la verdad de lo condicionado en la conclusión, como
implicación.
Normalmente el uso lógico del pensamiento es argumentativo en este sentido, y por ello
esta distinción no tiene mayor importancia en la vida ordinaria, y suele confundirse con
facilidad.
La implicación en la lógica actual
Filón de Megara, hacia el 300 a. de C. estimaba el condicional tal como hoy día se
define la función de condicional en las tablas de verdad.
Diodoro de Cronos en la misma época, no aceptaba más que la condición en el sentido
de implicación.
Los escolásticos distinguieron entre proposición “formalmente hipotética”, la condición
y “materialmente hipotética”, la implicación, y así ha perdurado en la filosofía
tradicional.
En el siglo XIX Frege, Peirce, Russell y, en general los lógicos matemáticos, aceptaron
el sentido de Filón, mientras que C.I. Lewis ha defendido la postura de Diodoro.
Para Lewis la implicación como tal hace referencia a la “inferencia” o “prueba”. La
condición formal, en cambio, únicamente muestra “lo que ocurriría o podría ocurrir si
una proposición falsa fuera verdadera”, lo que abre esta problemática a la cuestión de la
modalidad, (necesidad-contigencia, posibilidad-imposibilidad), especialmente estudiada
por este autor, que ha dado lugar a la Lógica modal, de gran desarrollo actualmente.
Un ejemplo explica bien lo que se quiere decir.
El ejemplo antes citado "si esto que dices es verdad, yo soy el Papa de Roma",
, lo consideramos como una afirmación con un contenido de verdad realmente débil, y
prácticamente sin sentido.
Sin embargo "si hubieras estado aquí, el asunto se habría resuelto",
, tiene la
misma forma sintáctica, pero su contenido semántico de verdad no es comparable al
anterior.
Si intentamos encontrar el sentido de verdad contenido en dicha afirmación condicional,
observamos:
a) La afirmación parte del conocimiento del contenido semántico falso del antecedente,
lo que se manifiesta lingüísticamente en el uso del modo subjuntivo. "Si hubieras
estado" "no has estado".
b) El consecuente es considerado dentro de un "mundo posible", que sabemos que no ha
sido real, pero podemos pensar en él como posible,. "Se habría resuelto" "habría sido
posible que se resolviera".
De la misma forma podemos expresar un contenido semántico de verdad basado en la
necesidad, como en el caso del triángulo antes citado, o en la afirmación de un deseo, la
afirmación de una prescripción etc.
Tal es el campo de la modalidad y la lógica modal.
1.6.4 Equivalencia
Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para
todos los posibles valores de verdad de sus componentes atómicos.
Diremos que dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes si es una tautología,
es decir, si las tablas de verdad de P y Q son iguales.
Leyes Lógicas
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Asociativas
Distributivas
Leyes de De Morgan
De idempotencia
De identidad
De dominación
Inversas
De absorción
Reglas de Sustitución
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

Sea P una tautología y q una variable de P. Si sustituimos cada aparición de q
por cualquier otra proposición Q entonces la proposición resultante es también
una tautología.
Sea P una tautología y Q una proposición que aparece en P. Si reemplazamos Q
por una proposición lógicamente a Q obtendremos una nueva proposición
lógicamente equivalente a P.
Cualquier proposición es lógicamente equivalente a otra que contiene sólamente
los conectivos lógicos -, v,and.
Reglas de Inferencia
Dadas dos proposiciones P y Q diremos que P implica lógicamente Q , y escribiremos P
\Rightarrow Q si P rightarrow Q es una tautología.
Si P es falso, entonces la proposición P, Q es verdadera independientemente del valor
de Q. Por tanto, P si los valores de las variables que hacen a P verdadero también hacen
verdadero a Q. De manera equivalente P Q significa que P y Q no tienen nunca de
manera simultánea los valores de verdad 1 y 0 respectivamente.
Como hemos dicho, las proposiciones pueden tomar dos valores, verdadero o falso,
que representaremos respectivamente con los números 1 y 0. Por tanto, cuando digamos
que una proposición toma valor 1 estaremos diciendo que es verdadera.
El valor de verdad de una proposición compuesta queda determinado por los valores de
las proposiciones simples que la forman. Las tablas de verdad nos indican los valores
de verdad de una proposición para cada posible combinación de los valores de las
proposiciones simples.
Equivalencia lógica en la ley asociativa de la conjunción
A modo ilustrativo demostraremos, a continuación, que, en virtud de la ley asociativa de
la conjunción, la fórmula p(qr) es lógicamente equivalente a (pq)r.
Para ello no hay más que hacer la tabla de verdad de cada una de esas expresiones y
comprobar si, en efecto, todas sus interpretaciones son iguales para la conectiva
dominante.
Equivalencia lógica en la ley asociativa de la disyunción
Te proponemos que rellenes la siguiente tabla con “Vs” y “Fs” donde proceda para
comprobar que, en virtud de la ley asociativa de la disyunción, la fórmula p(qr) es
equivalente a (pq)r.
Ejemplo: Las dos fórmulas siguientes son equivalentes:
(p → ¬q) ∨ (¬p ∨ r)
p q r ¬q ¬p
¬p ∨ ¬q ∨ r
p→
¬q
¬p ∨ (p → ¬q) ∨ (¬p ∨
r
r)
¬p∨
¬q
¬p ∨ ¬q ∨
r
VVV F F
F
V
V
F
V
VV F F F
F
F
F
F
F
V F V V F
V
V
V
V
V
V F F V F
V
F
V
V
V
F VV F V
V
V
V
V
V
F V F F V
V
V
V
V
V
F F V V V
V
V
V
V
V
F F F V V
V
V
V
V
V
donde se puede observar que la última yla antepenúltima columnas son iguales.
Las equivalencias se relacionan con las tautologías de la siguiente forma.
Teorema:
Si dos fórmulas lógicas son eqivalentes entonces la fórmula que se
obtiene al operarlas con la bicondiconal es una tautología.
Si F &equiv; G entonces F &hArr; G
La propiedad inversa también se cumple pues si una bicondicional es una tautología, las
fórmulas que la componen son equivalentes. El teorema y su inverso se comprueban
directamente de la tabla de verdad de la bicondicional, ver sección 1.3.4 Bicondicional.
!!!Tautologías fundamentales
Ley del medio excluido p ∨ ¬p
Ley de no contradicción ¬(p ^ ¬p)
Modus ponendo ponens ((p → q)^p) → q
Modus tollendo tollens ((p → q)^ ¬ q) → ¬ p
Silogismo Disyuntivo ((p ∨ q)^ ¬p) → q
La comprobación de cualquiera de las tautologías anteriores es directa, es suficiente
hacer la tabla de verdad y se obtendrá la columna correspondiente a la fórmula con
valores de verdaderos únicamente.
!!!Equivalencias
Doble negación ¬(¬p) ↔ p
Implicación y disyunción p → q ≡ ¬p ∨ q
Contrapositiva p &rarr; q ≡ ¬q → ¬p
Negaci’on de la Implicación ¬(p → q) ≡ p ^ ¬q
Leyes de De Morgan ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ^ ¬q
¬(p ^q) ≡ ¬p ∨ ¬q
La expresión p → q es equivalente a ¬p ∨ q pues
p
q
p→q
¬p
¬p ∨ q
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
Falta hablar de formas normales, utilizar las identidades para llegar a la forma normal
conjuntiva.
CONCLUSION
La lógica matemática es un subcampo de la lógica y las matemáticas. Consiste en el
estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las
matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con la ciencias de la
computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que
codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números,
demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de
la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica
matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las
matemáticas.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía
se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la
teoría de la demostración.
La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la
lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas
matemáticamente.
REFERENCIAS
Zubieta, R., G. Manual de Lógica para Estudiantes de Matemáticas. Trillas.
México. 1971.
Miller, C. D. Introducción al pensamiento matemático. Trillas.
México.1979.
Gutiérrez, S. R. Introducción a la Lógica. Esfinge. México. 2005.
Símbolo (2009, 17 de agosto).Recuperado el 27 de agosto del 2009, de
http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolo
Axioma (2009, 24 de agosto). Recuperado el 27 de agosto del 2009, de
http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma