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Probabilidad
2013 - 0
Andrey Kolmogorov (Rusia 1903-1987)
La teoría de la
probabilidad como
disciplina
matemática puede
ser desarrollada en
la misma forma que
la geometría o el
álgebra
Publicó "La teoría general de la medida y
el cálculo de probabilidades" primera
versión de su axiomática constructiva de
la probabilidad.
Axiomas de la probabilidad

Sea E un experimento aleatorio, Ω su espacio muestral
asociado y A un evento cualquiera de Ω. Un número
real Pr(A) es llamado probabilidad de ocurrencia del
evento A, si satisface las siguientes condiciones:
• Pr(A) ≥ 0
• Pr(A)≤ 1
• Si A1, A2, … , Ak son eventos de Ω, los cuales son
mutuamente excluyentes entonces
Pr 

k
   Pr  A 
A
i
i 1 i 
i 1
k
Teoremas de la probabilidad

Si Ø es el evento vacío, entonces Pr(Ø) = 0.
Si Ω es el espacio muestral, entonces Pr(Ω) = 1.
Teorema Si A y B son dos eventos de un espacio
muestral Ω, entonces la probabilidad que ocurra el
evento A o que ocurra el evento B es

Pr(A  B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A  B)
Teorema Si A es un evento del espacio muestral Ω y AC
su complemento, entonces


Pr(A) = 1 – Pr(AC)
Probabilidad condicional
2013 - 0
Probabilidad condicional


La probabilidad condicional se define como la
probabilidad de un evento conociendo cierta
información (condición).
Si A y B son dos eventos de un espacio muestral Ω,
entonces la probabilidad que ocurra el evento A dado
que ocurrió el evento B es:
Pr  A B 
Pr  A  B
Pr  B
,
Pr  B  0
Propiedades




0 ≤ Pr(A/B) ≤ 1
Pr(Ω/B) = 1
Pr(A/Ω) = Pr(A)
Regla del producto Si A y B son dos eventos de
un espacio muestral Ω, entonces se cumple :
Pr(A ∩ B) = Pr(A) Pr(B/A) = Pr(B) Pr(A/B)
Probabilidad total

Si los eventos A1 , A2 , ... , Ak constituyen una
partición del espacio muestral Ω, entonces para
cualquier evento B en Ω :
A1
…
A2
Ak
B
k
k
i 1
i 1
Pr  B   Pr  B  A i    Pr  B A i  Pr  A i 
Teorema de Bayes

Si los eventos A1 , A2 , ... , Ak constituyen una
partición del espacio muestral Ω, entonces para
cualquier evento B en Ω :
Pr  A j B 
Pr  A j  B
Pr  B
Pr  B A j  Pr  A j 
 k
 Pr  B Ai  Pr  Ai 
i1
j = 1, 2, ... , k
Eventos independientes

Sean A y B dos eventos de un espacio muestral Ω.
Estos eventos son independientes si y sólo si:
Pr  A  B  Pr  A Pr  B

Los eventos A y B son independientes si se cumplen
las siguientes condiciones:
Pr  A B  Pr  A
Pr  B A  Pr  B