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Código FR- 17- GA
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NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR
SEDE LICEO FEMENINO
PALMIRA
Versión: 002
Emisión 02/09/2008
Actualización 02/12/2010
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Loco es aquel que haciendo siempre lo mismo, espera obtener resultados
distintos
En muchas situaciones al calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento
nos encontramos que ya contamos con “alguna información” expresada en la
ocurrencia de otro evento del espacio muestral, reduciendo los casos posibles
del espacio muestral a los resultados del evento que ya ocurrió la probabilidad
calculada con esta información se llama PROBABILIDAD CONDICIONAL condicionada al evento ya
ocurrido.

Analicemos el siguiente ejercicio.
1.
Una compañía compra un seguro de salud para sus 200 empleados. La compañía que
expidió el seguro de salud esta interesada, en hacer seguimiento al factor de riesgo “fumador”,
razón por la cual encuestó a los empleados y resumió la información encontrada en la siguiente
tabla.
Mujeres (M)
Hombres (H)
Total
Fumador (F)
30
50
80
No Fumador (N)
90
30
120
Total
120
80
200
Se selecciona un empleado al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre no fumador?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador, si se sabe que el empleado es una mujer?
Sea Ε un espacio muestral, B un evento que ya ocurrió, con P (B) ≠ 0. La
probabilidad del evento A, dada la ocurrencia del evento B, se denomina
probabilidad condicional del A dado B, se simboliza por P (A/B) y se define
como P (A/B) =
𝑃 (𝐴 ∩𝐵)
.
𝑃 ( 𝐵)
Analicemos el siguiente ejemplo: para la siguiente figura
Una caja contiene 20 pelotas: 12 rojas y 8 negras,
del mismo tamaño y material. Se extraen de la
caja dos pelotas, una por una, en forma
consecutiva. Hallemos la probabilidad que las dos
pelotas extraídas sean de color rojo con las
siguientes condiciones:
a) La pelota de la primera extracción se
devuelva a la caja.
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b) La pelota de la primera extracción no se devuelva a la caja.
SOLUCION
Disponemos las probabilidades de la primera y la segunda extracción en un diagrama de árbol.
En las dos primeras ramas de (Color azul) están las probabilidades totales de la primera
extracción y en las cuatro ramas siguientes (Color rojo) están las probabilidades condicionales
de la segunda extracción.
Para la figura b.
a. Con devolución
Observemos que las probabilidades condicionales de las
segundas ramas del árbol son iguales a las probabilidades
en las primeras ramas (figura a). Esto se justifica porque el
espacio muestral no cambio. Pues la pelota tomada se
devolvió. Entonces, sea Z: “la primera y la segunda pelota
12
12
extraídas son rojas” P (Z)=
*
= 0.36 este valor
20
20
corresponde al producto de las probabilidades de las
ramas (primera y segunda) que terminan en pelota roja.
b.
Sin devolución
Las probabilidades condicionales en las segundas ramas
han cambiado por cuanto al espacio muestral se redujo a
19 elementos (al no devolver la pelota tomada en la primera extracción) (Figura b)
Entonces Z= A ∩ B, donde A: “la primera pelota extraída es roja” y B: “la segunda pelota
extraída es roja”
P (z)= P (A ∩ B) = P (A/B) P (B) utilizamos la definición de probabilidad condicional.
P (z)=
11
19
*
12
20
reemplazamos los valores conocidos del diagrama de árbol.
33
P (z)= 95 ≈0,3474 efectuamos la multiplicación y aproximamos el valor.
De
la
definición
de
probabilidad
condicional
P
(A/B)
=
𝑃 (A ∩ B)
𝑃 (𝐵)
tenemos:
P(A∩B)= P(A/B) P(B). Si la ocurrencia de B no afecta la ocurrencia de A, entonces P(A/B)=P(A)
Por tanto: P (A ∩ B) = P (A) P (B)
“los eventos A y B son independientes, si y solo si P (A ∩ B) = P (A) P (B).
ACTIVIDAD No. 1
Realizar la siguiente actividad en el cuaderno (nota individual)
Resolver los siguientes problemas
1. Se lanza un dado legal dos veces. Consideramos los eventos:
A: “el primer resultado es un numero par”; B: “el segundo resultado es 2”
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Analicemos si el segundo resultado depende o no del primero.
1
2. Para dos eventos A y B de un espacio muestral E, se tiene que probabilidad de A P (A)= 2,
3
2
P (B) = 5 y P (A ∩ B) = 5
a) Calcula P (A/B)
b) Calcula P (B/A)
c) ¿son A y B eventos independientes?
d) P (A/B) = P (B/A) ¿Cumple la propiedad conmutativa?
3. La siguiente tabla presenta los datos sobre el número de facturas con reclamaciones para
un plan de medicina complementaria, de una compañía de salud. Los datos están
discriminados por tipo y región geográfica.
Tipo
región
Occidente
Centro
Oriente
Norte
HOSPITALIZAR
75
128
29
52
TERAPIA FISICA
233
514
104
251
CONSULTA
EXTERNA
TOTAL
100
326
65
99
Total
a) Calcula los totales por columna y por fila ¿qué significan estos totales?
b) Si se escoge una factura al azar ¿cuál es la probabilidad de que esta provenga de la región
oriental?
c) ¿cuál es la probabilidad de que una factura seleccionada al azar provenga de la región
occidental?
d) ¿cuál es la probabilidad de que una factura elegida al azar provenga de la región oriental o
de la central? ¿cuál es la relación entre estos dos eventos?
e) ¿cuál es la probabilidad de que una factura escogida al azar corresponda al tipo de
hospitalización?
f) ¿si una factura correspondió a hospitalización cuál es la probabilidad de que este sea de la
región central?
g) Dado que una factura resulto de la región occidental ¿cuál es la probabilidad de que
corresponda a terapia física?
h) Si una factura correspondió a consulta externa ¿cuál es la probabilidad de que provenga
de la región del norte?
i) ¿cuál es la probabilidad de que una factura seleccionada al azar corresponda a consulta
externa o provenga de la región occidental o (ambas)=
j) ¿Cuál es la probabilidad de que una factura seleccionada aleatoriamente corresponda a la
región central o a hospitalización o (ambas)?
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ALGUNAS PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
Existen ciertas propiedades que permiten que la probabilidad de un evento se pueda
calcular más fácilmente usando las operaciones entre conjuntos. Tales propiedades son:
 Dos eventos A y B, mutuamente excluyentes, se tiene que:
P(A ∩ B)= P (A) + P (B)
 En general si los dos eventos no son disjuntos entonces:
P(A ∪ B)= P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) – P (A ∪ B)
 Para cualquier evento A se tiene que:
P (𝐴𝑐 ) = 1 − 𝑃 (𝐴)
ACTIVIDAD No. 2
La siguiente actividad se realiza en el cuaderno, (nota grupal) y se evaluará individual.
1. Un grupo de 120 consumidores fue objeto de una encuesta en relación con su preferencia
por un producto que se vende en el mercado con tres etiquetas. Los resultados fueron los
siguientes: 17 compraron el producto con la etiqueta A, 25 con la etiqueta B,26 con la
etiqueta C, 15 con la etiqueta A y B, 10 con la etiqueta A y C, 12 con la etiqueta B y C y 8
con cualquiera de las tres etiquetas. ¿ cuántos de los consumidores adquieren el producto
con:
a) Al menos una de las tres etiquetas?
b) Las etiquetas, A y B pero no C?
c) La etiqueta A?
d) No compran el producto?
2. En una encuesta realizada entre 200 inversionistas activos, se halló que 120 utilizan
corredores por comisión 126 corredores de tiempo completo y 64 ambos tipos de
corredores. Determina el número de inversionistas que usan:
a) Al menos un tipo de corredor
b) Exactamente un tipo de corredor
c) Solo corredores por comisión
d) Ningún corredor
3. En un paquete de notas para deducción fiscal se encontraron 400 con errores de tipo A, B
y C, el departamento de auditoria localizó los siguientes resultados: 50 tenían errores del
tipo A; 48 del tipo B; 46 del tipo C; 38 de los tipos A y B; 37 de los tipos A y C; 35 de los
tipos B y C, y 333 no traían error alguno. Determina cuantos de estas notas contenían los
tres errores.
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4. En octubre del 2000 se realizó una encuesta vía internet, que permitía más de una
respuesta entre una muestra aleatoria de 1000 trabajadores de oficina del distrito federal.
Una de las preguntas era acerca de que medio o medios de transporte usaban con más
frecuencia para desplazarse. El resultado fue el siguiente:
Número de personas
730
557
219
425
88
74
58
Medio de transporte
Metro
Microbús
Automóvil
Metro y microbús
Automóvil y metro
Automóvil y microbús
Automóvil, metro y microbús
¿Cuántas personas de las que fueron objeto de la encuesta no utilizan para desplazarse
ningún de los medios de transporte mencionados?
PROBABILIDADES TOTALES Y TEOREMAS DE BAYES
Ejemplo 1
Tenemos dos urnas U1 y U2. La Urna U1
contiene 5 pelotas blancas y 5 pelotas rojas. La
urna U2 contiene 5 pelotas blancas y 10 pelotas rojas. Lanzamos una moneda legal: si la
moneda cae en cara (C). Entonces se extrae una pelota de la urna U1: si la moneda cae Sello
(S), entonces se extrae una pelota de la urna U 2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una pelota
roja?
SOLUCIÓN
Las dos primeras ramas corresponden al lanzamiento de la
moneda. Y las segundas cuatro ramas corresponden a
seleccionar la urna y sacar la pelota.
Definimos los eventos: C: “Salga cara”, S: “salga sello”, B: “la
pelota extraída es blanca” y R: “la pelota extraída es roja”
1
1
2
10
2
Asi, P (C) = , 𝑃 (𝑆) =
5
15
𝑦 𝑃(R/S) =
, 𝑃 (B/C)=
5
10
, 𝑃 (R/C) =
5
10
, P (B/S) =
15
En el diagrama del árbol tenemos dos caminos posibles para
obtener una pelota roja: Salga cara – pelota roja de la U1 (R∩C)
o, salga sello – pelota roja de la U2 (R∩S) entonces:
P(R)= P(R∩C) v P(R∩S) interpretamos la probabilidad del evento R
P(R)= P CR/C)* P(C) + P (R/S) * P(S) utilizamos la definición de probabilidad condicional.
P(R)= (
P(R)=
5
10
7
12
1
10
2
15
∗ )+(
1
* ) reemplazamos los valores conocidos
2
efectuamos las operaciones indicadas.
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Si ∈ es un espacio muestral y B1, B2…. Bm son eventos en ∈ tales que:
1.
2.
3.
Todos los eventos Bj no son vacios
Cada par de eventos Bi y Bj son incompatibles, es decir 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅
La unión de todos los 𝐵𝑗 nos da el espacio muestral ∈ : 𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ … ∪ 𝐵𝑚 = ∈
Entonces el conjunto de eventos 𝐵1 , 𝐵2 , … 𝐵𝑚 , se denomina una partición de ∈
Ejemplo 2.
Para el experimento aleatorio “resultado del lanzamiento de un dado” hallemos el espacio muestral
y una partición de este.
Solución:
El espacio muestral es: ∈ = {1,2,3,4,5,6, }, algunas particiones de ∈ son: {{1}, {2,3,4},{5,6}};
{{1,3,5},{2,4,6}}; {1,4,6},{2,3,5}}
TEOREMA: PRINCIPIO DE LAS PROBABILIDADES TOTALES
Si {𝐵1 , 𝐵2 , … 𝐵𝑚 } es una partición de ∈, y A es un evento cualquiera en ∈, entonces
TEOREMA DE BAYES
El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se
posee nueva información. Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII, el teorema
de Bayes es una extensión de lo que ha aprendido hasta ahora acerca de la probabilidad
condicional.
Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a
priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades
revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriori y es:
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EJEMPLO
1) Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los
autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la
línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1%
respectivamente, para cada línea.
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería
c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?
Solución:
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería
Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:
c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?
Se debe calcular las tres probabilidades aposteriori empleando el Teorema de Bayes
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La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:
La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:
La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es:
Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que sea de la línea 1, ya que esta
probabilidad, es la mayor.
ACTIVIDAD 3
La siguiente actividad se realiza en el cuaderno y en hojas de block cuadriculado (nota
individual)
1. Si P(A/B)=0.85 y P (B)=0.90 ¿cuál es el valor de P(A ∩ B)?
2. Si P(A)=0.25 P (B)= 0.48 y P(A ∪ B)=0.61 ¿cuál es el valor de P(A/B) y de P (B/A)?
3. Unos amigos llegaron a una fonda a comer tacos al pastor. La mesera tomo la orden de
tacos, de los cuales 18 deberán tener cebolla, 23 salsa picante y 29 cilantro. Además anoto
que 9 solo llevan cilantro y picante. Tres solo picante 8 solo cilantro y 5 los tres
ingredientes.
a) ¿cuantos tacos llevan cebolla y picante, pero no cilantro?
b) ¿Cuántos tacos cebollas y cilantro, sin picante?
c) ¿Cuántos tacos solo cebolla?
d) Si los tacos cuestan 3 pesos y además se consumieron cuatro cervezas de 8 pesos
cada una ¿a cuánto asciende la cuenta?
e) ¿Cuántas personas eran?
4. Una oficina tiene 100 máquinas calculadoras. Algunas son eléctricas (E), mientras que otras
son manuales (M). Además algunas son nuevas (N) mientras que otras son usadas (U) como
se muestra en la tabla. Una persona entra a la oficina y escoge una máquina al azar y
descubre que es nueva. ¿cuál es la probabilidad de que sea eléctrica?
E
M
N
40
30
U
20
10
T
T
8
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TALLER DE NIVELACION
Realizar el taller en el cuaderno (nota individual)
1. Se lanza un dado legal dos veces en forma consecutiva ¿cuál es la probabilidad de
obtener un 7, es decir que la suma de los resultados sea igual a 7?
2. De un empaque que contiene 12 semillas de rosas rojas y 8 semillas de rosas amarillas, se
seleccionan dos semillas aleatoriamente ¿cuál es la probabilidad de que?
a. Ambas resulten de rosas rojas
b. Una resulte de rosas rojas y la otra de rosas amarillas
3. De los 80 empleados de una compañía perforadora de pozos petroleros, 4 tienen
problemas auditivos del total de empleados, 50 son hombres, 30 de los cuales tienen
problemas auditivos, si se selecciona un empleado al azar
a. ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer, si de antemano se sabe que tienen
problemas auditivos?
b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga problemas auditivos si de antemano se sabe que
es mujer?
4. En una urna hay 25 bolas numeradas del 1 al 25, se extrae una bola al azar calcula la
probabilidad de que:
a. Sea un número primo
b. Sea divisible por 3
c.
No sea un cuadrado perfecto
d. Sea múltiplo de 5
1
1
7
3
5
15
5. Sabiendo que la probabilidad de A P(A) = , P(B)= , y P(A ∪B) =
, halla la probabilidad
de que:
a. Ocurran A y B
b. Ocurra A pero no ocurra B
c. No ocurra ni A ni B
d. Ocurra uno de los dos pero no los dos
Nadie merece tus lágrimas y quien las merece seguramente
no te hará llorar
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TALLER DE PROFUNDIZACIÓN
Taller grupal (tres estudiantes)
Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la
electricidad y la energía atómica: LA VOLUNTAD
Albert Einstein
1.
Una encuesta sobre 500 estudiantes de una o más asignaturas de
algebra, física y estadística durante un semestre revelo los
siguientes números de estudiantes en las asignaturas indicadas:
Algebra y física 83
Física y estadística 63
Algebra y estadística 217
Algebra 329
Física 186
Estadística 295
¿Cuántos estudiantes estaban estudiando?
a. Las tres asignaturas
b. Algebra pero no estadística
c. Algebra pero no física o estadística
2.
Determinar la probabilidad de obtener siete puntos en una sola tirada de un par de dados
3.
Daniela compra 6 boletos de una rifa de 100 números que entrega 4 premios. ¿Cuál es
la probabilidad de que se gane al menos un premio?.
4. La siguiente tabla muestra las probabilidades de contraer un cáncer un grupo de
fumadores y no fumadores de una población dada:
SI CONTRAE CANCER
60%
10%
SI FUMA
NO FUMA
NO CONTRAE CANCER
10%
20%
Determinar si son independientes los eventos A y B definidos como:
A = { Es fumador } y B = { Si contrae cáncer }.
5. Una biblioteca tiene tres salas, en cada una de ellas hay libros especializados en
Ingeniería, Humanidades y Ciencias de la salud:
SALA
INGENIERIA
HUMANIDADES
SALUD
1
2
3
3
1
4
4
2
3
1
3
2
Si se saca un libro de
humanidades. ¿Cuál es la
probabilidad de que se haya
sacado de la sala 3?
10