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UNIDAD 4 ANEXO 1.
CAPÍTULO VII.
CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
U-4.A-1. CAP. VII.
CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
Los circuitos eléctricos en serie RLC, comunes en el
estudio de la ingeniería eléctrica, son otra aplicación
importante de las ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden con coeficientes constantes.
Un circuito eléctrico en serie RLC es un lazo conductor
que incluye usualmente un resistor con resistencia R
ohmios (W); un capacitor cuya capacitancia es C faradios
(F), y un inductor con inductancia L henrios (H).
El voltaje E(t) voltios (V) llega al circuito mediante una
batería, un generador, señales de radio o de TV, o
simplemente la electricidad doméstica.
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CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
Una batería suministra un voltaje constante de magnitud
E0.
Un generador suministra un voltaje periódico que puede
ser expresado como E0 cos w t, o E0 sen w t, en donde la
constante E0 es la amplitud y w es la frecuencia (circular)
del voltaje.
La cantidad de principal interés en un circuito eléctrico es
la corriente i(t), medida en amperios (a), definida como la
cantidad de carga eléctrica q que fluye por unidad de
tiempo.
i t  
dq
dt
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CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
La corriente i que fluye por un circuito está determinada
por la 2ª ley de Kirchhoff: la suma de las caídas de voltaje
en un circuito de un solo lazo es igual al voltaje aplicado.
De la física, se sabe que un voltaje a través de un resistor
es proporcional a la corriente y se expresa:
ER  Ri
 volt  ampere  ohm
la constante de proporcionalidad R se llama resistencia, y
su unidad es el ohm u ohmio.
Los inductores (bobinas) se construyen con materiales
altamente conductores (como el cobre) y son comúnmente
usados en motores eléctricos y transformadores.
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Un inductor prácticamente no ofrece resistencia al flujo de
electrones cuando la corriente es constante, pero se opone
a los cambios en la corriente.
Esto provoca una caída de voltaje a través del inductor que
es proporcional a la rapidez de cambio de la corriente. Así:
EL  L
di
dt
 volt  henry  ampere/s 
la constante de proporcionalidad L se llama inductancia, y
su unidad es el henry o henrio.
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CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
Un capacitor es un dispositivo de almacenamiento, capaz
de regular el flujo de corriente en un circuito reteniendo o
liberando la carga eléctrica q. La cantidad instantánea de
carga que almacena un capacitor es proporcional a la caída
de voltaje a través del mismo, y puede expresarse como:
q  CER
o
ER  q / C
 volt  coulomb / faraday 
la constante C se llama capacitancia y su unidad es el
faraday o faradio.
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así, de acuerdo con la ley de Kirchhoff, la ecuación que
rige la variación de flujo de corriente en un circuito
cerrado con respecto al tiempo resulta:
L
di
dt
y como:
se obtiene:
L
d 2q
dt
2
 Ri 
1
q  E t 
C
i  d q / dt
R
dq
dt

1
C
q  E t 
Las propiedades R, L y C, en general, pueden depender de la
corriente; sin embargo, esta dependencia es muy moderada por
lo que pueden considerarse como constantes.
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CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
Esta es una ecuación diferencial lineal de 2° orden con
coeficientes constantes.
Es notable la semejanza entre ésta y la ecuación que rige
las vibraciones mecánicas; aunque físicamente son dos
mundos distintos, matemáticamente son idénticas y, por
tanto, tienen la misma forma de solución.
Los conceptos de, batimientos, resonancia, frecuencia
natural, oscilaciones amortiguadas amortiguación crítica
y solución estacionaria, aplican también, mediante una
adecuada interpretación, a los circuitos eléctricos.
La correspondencia entre las cantidades mecánicas y
eléctricas se conoce como analogía electromecánica.
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CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
La solución general de la ecuación diferencial incluirá dos
constantes arbitrarias que pueden determinarse a partir de
dos condiciones iniciales:
i) Carga inicial en el capacitor: q(0) = q0 .
ii) Corriente inicial que fluye por el circuito: i(0) = i0.
En ciertas ocasiones se requiere especificar la derivada de
i(t)|t = 0, es decir:
1
1 
i  0    E  0   R i0  q0 
L
C 
Cuando se conoce la carga q se puede obtener la corriente
i (i = dq/dt); si se conoce i, integrando se puede obtener q.
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CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
Ejemplo: Respuesta de un circuito RLC.
Determine la corriente estacionaria de un circuito RLC
para un voltaje aplicado en la forma E(t) = E0 sen w t.
Solución: La ecuación diferencial que rige el flujo de
corriente en el circuito es:
Li  R i 
1
C
q  E0 senwt
cuya derivada resulta en la ecuación de 2° orden:
Li  R i 
1
C
i  E0w cos wt
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CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
La solución simplificada de esta ecuación es:
i t  
E0 cos w t   
R  w L  1/ wC  
2
2
 w RC 
con   Arc tan 
2
1  LCw 
La expresión en el denominador de la solución obtenida:
Z  R  w L  1/ wC  
2
2
representa la resistencia efectiva del circuito al flujo de
electrones, en ohms, y se llama impedancia del circuito.
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CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
Análogamente a los sistemas mecánicos, la impedancia se
minimiza al derivar Z con respecto a w e igualar con cero
1
para obtener:
wr 
Este valor se denomina
frecuencia de resonancia,
debido a que maximiza la
corriente (ver figura).
LC
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CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
En la mayoría de sistemas mecánicos la resonancia es algo que
debe evitarse por ser muy destructiva; sin embargo, la acción de
muchos dispositivos eléctricos se basa en ella.
En un radio, por ejemplo, el sintonizador varía la capacitancia
del circuito sin alterar resistencia ni inductancia; por tanto, todo
ajuste del sintonizador equivale a especificar la señal periódica
cuya frecuencia w maximizará la corriente.
Si se desea sintonizar una estación que transmite señales en la
frecuencia w1 y proporciona señales periódicas de voltaje de
entrada de la forma E0 sen w1t, se ajusta el valor de C a 1/Lw12,
de modo que esta señal específica cause la mínima impedancia
(y, por tanto, la máxima corriente) en el circuito.