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IEM-315-T
Ingeniería Eléctrica
Circuitos RC y RL.
Circuitos de Segundo Orden.
IEM-315. Unidad I: Circuitos RC, RL y RLC.
Profesor Julio Ferreira.
Capacitores y Circuitos RC.
El Capacitor.
El capacitor es un elemento pasivo capaz de almacenar y
suministrar cantidades finitas de energía. A diferencia de una
fuente ideal, no puede proporcionar una potencia promedio finita
durante un tiempo infinito. La relación voltaje-corriente para este
elemento depende del tiempo.
El capacitor consiste en dos superficies conductoras separadas
por un material no conductor o dieléctrico.
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Un capacitor simplificado y su símbolo eléctrico se muestran en la
siguiente figura:
La carga eléctrica se almacena en las placas. El capacitor se carga al
voltaje v, que será proporcional a la carga q, por tanto se escribe:
q = Cv
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La capacitancia C puede definirse como
donde ε es la constante dieléctrica, A es el área de las placas y d
el espacio entre las placas.
Capacitancia es una medida de la propiedad de un dispositivo de
almacenar energía en forma de cargas separadas o de un campo
eléctrico.
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Cuando se conecta por primera vez una batería al capacitor, fluye una
corriente mientras las cargas pasan de una placa a la otra. Puesto que la
corriente es
y anteriormente vimos que q = Cv, derivamos esta ecuación para
obtener:
esta última ecuación es la relación voltaje-corriente para un modelo de
capacitor y puede demostrarse fácilmente que es una relación lineal.
Recuerde que v implica que el voltaje es una función del tiempo y podría
escribirse como v(t). Si el voltaje es constante, entonces i = 0.
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Energía almacenada en el Capacitor.
La energía almacenada en el capacitor es
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Capacitores en Paralelo.
Consideremos la siguiente figura, en la cual aparecen n capacitores
conectados en paralelo:
La capacitancia equivalente es:
CEq = C1 + C2 + ... + CN
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Capacitores en Serie.
Consideremos ahora la conexión de n capacitores en serie:
La capacitancia equivalente es:
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Circuito de descarga RC.
Consideremos el siguiente circuito RC simple:
Supondremos que hay una energía inicial almacenada en el
capacitor. V(t0) = V0.
El voltaje en el capacitor es:
V(t)
=
V0 e
t
RC
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Designamos el valor del tiempo que tarda V/ V0 en disminuir
desde la unidad hasta cero, suponiendo una tasa de decaimiento
constante, mediante la letra griega τ (tau). De tal modo:
1
RC
τ
= 1
entonces,
τ
= RC
La proporción RC se mide en segundos, pues el exponente t/RC
debe ser adimensional. El valor de τ se denomina constante de
tiempo.
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Accionamiento de circuito RC.
Consideremos el siguiente circuito RC:
t=0
R
+
VS
+
-
C
VC(t)
-
El voltaje en el capacitor es:
y esta ecuación es la que define la curva de carga del capacitor.
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Respuesta Natural y Forzada.
La respuesta completa en los circuitos RC tiene
componentes: la respuesta natural y la respuesta forzada.
dos
Respuesta completa = Respuesta natural + Respuesta forzada.
La respuesta natural es la solución general de la ecuación
diferencial que representa el circuito de primer orden, cuando la
entrada se hace igual a cero. La respuesta forzada es una
solución particular de la ecuación diferencial que representa el
circuito.
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Bobinas y Circuitos RL.
Introducción.
A principios de la década de 1800, el científico danés Oersted
demostró que siempre que la corriente fluye por un conductor, se
genera un campo magnético alrededor de ese conductor. Un poco
después, Ampere realizó algunas mediciones cuidadosas que
demostraron que el campo magnético se relacionaba linealmente
con la corriente que lo producía.
El siguiente paso se dio cerca de 20 años después cuando el
ingles Michael Faraday y el inventor estadounidense Joseph
Henry descubrieron casi de manera simultánea que un campo
magnético variable podía inducir un voltaje en un circuito cercano.
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Faraday y Henry demostraron que el voltaje era proporcional a la
tasa de cambio en el tiempo de la corriente que producía el
campo magnético. Esa constante de proporcionalidad la
llamamos inductancia, es simbolizada por L y podemos decir que:
donde debemos reconocer que tanto v como i son funciones del
tiempo.
Un alambre puede enrollarse para formar una bobina o devanado
de múltiples vueltas o espiras.
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El símbolo de circuito del inductor es:
L
La unidad con que se mide la inductancia es el henrio (H), y la ecuación
anterior muestra que el henrio es solo una expresión más breve de un
voltio-segundo por ampere.
Se podría construir un inductor físicamente enrollando un alambre largo
alrededor de un cilindro bobina.
Una bobina se define como un elemento de dos terminales formado por
un embobinado de N vueltas, que introduce inductancia en un circuito
eléctrico.
La inductancia se define como la propiedad de un dispositivo eléctrico
que hace que la corriente variable con el tiempo produzca un voltaje a
través del mismo.
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Almacenamiento de Energía en la Bobina.
La energía almacenada en el capacitor es
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Bobinas en Serie.
Consideremos la siguiente figura, en la cual aparecen n bobinas
conectadas en serie :
i
VS
+
-
+ V1 -
+ V2 -
L1
L2
i
LN
+
VN
-
VS
Circuito Original
La inductancia equivalente es:
Leq = L1 + L2 + ... + LN
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+
-
Leq
+
VS
-
Circuito Equivalente
Bobinas en Paralelo.
Consideremos ahora la siguiente figura, en la cual aparecen n
bobinas conectadas en paralelo :
La inductancia equivalente es:
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Circuito de descarga RL.
Consideremos el siguiente circuito RL simple:
i(t)
+
VR
-
+
R
L
VL
-
Supondremos que hay una energía inicial almacenada en la
bobina i(t0) = I0.
La corriente en la bobina es:
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En este caso:
i
I0
1
0.6
0.5
0.37
0.2
0.14
0.05
0.02
τ
2τ
3τ
4τ
Curva de descarga de una bobina.
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5τ
t
Accionamiento de circuito RL.
Si tenemos el siguiente circuito RL:
t=0
VS
+
-
R
i(t)
L
La corriente en la bobina es:
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La curva de carga en la bobina se muestra en la siguiente figura:
i
V0 / R
1
0.95
0.86
0.78
0.63
0.5
0.39
0.22
0.1
τ
2τ
3τ
4τ
Curva de corriente en una bobina.
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5τ
t
Respuesta Natural y Forzada de circuitos RL.
La respuesta completa en los circuitos RL, al igual que los
circuitos RC, tiene dos componentes: la respuesta natural y la
respuesta forzada.
Respuesta completa = Respuesta natural + Respuesta forzada.
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Circuitos de Segundo Orden.
Introducción.
La presencia de inductancia y capacitancia en el mismo circuito
produce al menos un sistema de segundo orden, que está
constituido por una ecuación diferencial que incluye una derivada
de segundo orden, o dos ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden. Este aumento en el orden hará necesario evaluar
dos constantes arbitrarias. Además, se requerirá determinar las
condiciones iniciales para las derivadas.
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Estos circuitos, denominados a menudo como circuitos RLC, no
solo aparecen a menudo en la práctica, sino que resultan
modelos bastante precisos para otros tipos de sistemas, como:
El sistema de suspensión de un automóvil.
El comportamiento de un sistema de control de temperatura.
La respuesta de un avión a los controles del timón de altitud y
el alerón.
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Respuesta Natural del Circuito Paralelo.
Analizaremos el siguiente circuito:
V
R
L
C
Se definen los siguientes términos:
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El voltaje es:
V(t) = A1 es1t + A2 es2t
Donde A1 y A2 son dos constantes arbitrarias que se deben
seleccionar para satisfacer las condiciones iniciales.
S1 y S2 se calculan de la siguiente forma:
s1
=
- α +
α 2 - W0 2
s2
=
- α -
α 2 - W0 2
Dependiendo de los valores de α y w0, se tienen 3 posibilidades:
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1. Sistema Sobre amortiguado.
Este caso se da si α es mayor que w0.
La respuesta natural entonces es:
V(t) = A1 es1t + A2 es2t
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2. Amortiguamiento crítico.
Este caso se da si α es igual a w0.
.
La respuesta natural entonces es:
V(t) = e-αt (A1t + A2)
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3. Sistema sub amortiguado.
Este caso se da si α es menor que w0.
.
.
La respuesta natural entonces es:
V(t) = e-αt [B1 cos wdt + B2 sen wdt ]
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Respuesta Natural del Circuito Serie.
Analizaremos el siguiente circuito:
En este caso:
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Y las respuestas son:
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