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Capítulo 6 Demanda Propiedades de las Funciones de Demanda Estática comparativa el estudio de cómo cambia la demanda ordinaria de x1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m) cuando cambian los precios y el ingreso. Cambios en el precio ¿Cómo cambia x1*(p1,p2,m) cuando p1 cambian, manteniendo p2 y m constantes? Supongamos que p1 se incrementa, de p1’ a p1’’ y luego a p1’’’. p2 y m permanecen constantes x2 p1x1 + p2x2 = m p1 = p1’ x1 p2 y m permanecen constantes x2 p1x1 + p2x2 = m p1 = p1’ p1= p1’’ x1 p2 y m permanecen constantes x2 p1x1 + p2x2 = m p1 = p1’ p1= p1’’’ p1= p1’’ x1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’ x1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’ x1*(p1’) x1 p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’ p1’ x1*(p1’) x1*(p1’) x1 x 1* p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’’ p1’ x1*(p1’) x1*(p1’) x1 x 1* p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’’ p1’ x1*(p1’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1 x 1* p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1’’ p1’ x1*(p1’) x1*(p1’’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1 x 1* p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’’’ p1’’ p1’ x1*(p1’) x1*(p1’’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1 x 1* p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’’’ p1’’ p1’ x1*(p1’) x1*(p1’’) x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1 x 1* p1 x2 p2 y m permanecen constantes p1’’’ p1’’ p1’ x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1 x 1* p1 x2 Curva de demanda ordinaria para el bien 1 p2 y m permanecen constantes p1’’’ p1’’ p1’ x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1 x 1* p1 x2 Curva de demanda ordinaria para el bien 1 p2 y m permanecen constantes p1’’’ p1’’ p1’ x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1 x 1* p1 x2 Curva de demanda ordinaria para el bien 1 p2 y m permanecen constantes p1’’’ Curva de oferta precio para p1 p1’’ p1’ x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1*(p1’’’) x1*(p1’) x1*(p1’’) x1 x 1* Cambios en el precio La curva que contiene todas las canastas que maximizan la utilidad cuando cambia el precio p1 ccon p2 y m constantes, es la curva oferta precio. El gráfico de las coordenadas de x1 y su precio p1 es la curva de demanda ordinaria del bien 1. ¿Cómo se presenta la curva de oferta precio para las preferencias Cobb-Douglas? Tomemos: a b U( x1 , x 2 ) x1 x 2 . entonces las funciones de demanda ordinaria para los bienes 1 y 2 son: a m x ( p1 , p2 , m) a b p1 * 1 y b m x ( p1 , p2 , m) . a b p2 * 2 Observe que x2* no varía cuando cambia p1 Entonces la curva oferta precio es plana y la curva de demanda ordinaria para el bien 1 es una hiperbola rectangular. p2 y m permanecen constantes x2 bm x ( a b ) p2 * 2 x1*(p1’’’) x* 1 am1*(p1’) x (a b) p1 x1*(p1’’) x1 p1 Curva de demanda ordinaria para el bien 1 es p2 y m permanecen constantes x2 am x (a b) p1 * 1 bm x ( a b ) p2 * 2 x 1* x1*(p1’’’) x* 1 am1*(p1’) x (a b) p1 x1*(p1’’) x1 ¿Cómo se presenta la curva de oferta precio para una función de utilidad de bienes complementarios perfectos? U ( x1 , x2 ) mínx1 , x2 . en consecuencia, las funciones de demanda ordinaria para los bienes 1 y 2 son: m x ( p1 , p2 , m) x ( p1 , p2 , m) . p1 p2 * 1 * 2 m x ( p1 , p2 , m) x ( p1 , p2 , m) . p1 p2 * 1 * 2 Con p2 y m fijos, un p1 mayor provoca un menor x1* y un menor x2*. m p1 0,x x . p2 * 1 * 2 p1 , * * x1 x 2 0. p2 y m permanecen constantes x2 x1 p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’ m/p2 p1’ m x ' p 1 p2 * 2 x1* x1* m p '1 p2 x1 m p '1 p2 x 1* p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’’ y/p2 p1’’ p1’ x2* m p ''1 p2 x1* x1* m p ''1 p2 x1 m p ''1 p2 x 1* p1 p2 y m permanecen constantes p1’’’ x2 p1 = p1’’’ y/p2 p1’’ p1’ x2* m p '''1 p2 x1* x1* m p '''1 p2 x1 m p '''1 p2 x 1* p1 p2 y m permanecen constantes p1’’’ La curva de demanda ordinaria para el bien 1 es p1’’ m x . p1 p2 x2 y/p2 * 1 p1’ m x p1 p2 * 2 m p2 x1* m p1 p2 x1 x 1* ¿Cómo se presenta la curva de oferta precio para una función de utilidad de bienes sustitutos perfectos? U( x1 , x 2 ) x1 x 2 . entonces, la curva de demanda ordinaria para los bienes 1 y 2 son 0,si p1 p2 x ( p1 , p2 , m) m / p1,si p1 p2 * 1 y 0 , si p p 1 2 * x2 ( p1 , p2 , m) m / p2 ,si p1 p2 . p2 y m permanecen constantes x2 x*2 0 p1 = p1’ < p2 x1* m p1 ’ x1 p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’ < p2 p1’ x1* x*2 0 x1* m p '1 x1 m p '1 x 1* p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’’ = p2 p1’ x 1* x1 p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’’ = p2 p1’ x 1* x1 p1 p2 y m permanecen constantes x2 m x p2 p1 = p1’’ = p2 * 2 * x 2 0 * m x1 '' * x1 0 p1 p1’ x 1* x1 p1 p2 y m permanecen constantes x2 p1 = p1’’ = p2 p2 = p1’’ m x p2 p1’ * 2 * x 2 0 * x1 * x1 0 m 0 x1* p2 m p2 x1 x 1* p1 p2 y m permanecen constantes p1’’’ x2 p2 = p1’’ m x p2 * 2 p1’ x*1 0 x*1 0 x1 x 1* p1 Curva demanda ordinaria para el bien 1 p2 y m permanecen constantes p1’’’ m x p1 * 1 x2 m p2 Curva p = p ’’ 2 1 oferta precio p1’ para el bien 1 m 0 x p2 * 1 x1 x 1* Nos preguntamos con frecuencia “dado el precio del bien 1, ¿cuál es la cantidad demandada del bien 1? Pero también nos podemos hacer la pregunta a la inversa :“¿A qué precio será demandada una cierta cantidad del bien 1?” p1 Dado p1’, ¿qué cantidad es demandada del bien 1? p1’ x 1* p1 Respuesta: x1’ unidades. p1’ x1’ x 1* p1 La pregunta inversa es: dados x1’ unidades demandadas del bien 1, ¿cuál es su precio? x1’ x 1* p1 respuesta: p1’ p1’ x1’ x 1* Tomando la cantidad demanda como dada y preguntando cuál debe ser el precio, describimos la función inversa de demanda de un bien. Un ejemplo con preferencias Cobb-Douglas: am * x1 ( a b) p1 es la función de demanda ordinaria y am p1 * (a b) x1 es la función inversa de demanda Ejemplo de complementos perfectos m x p1 p2 * 1 es la función de demanda ordinaria y m p1 * p2 x1 es la función inversa de demanda Cambios en el ingreso ¿Cómo cambia el valor de x1*(p1,p2,m) cuanda cambia m, manteniendo constantes los precios p1 y p2? Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ x1 Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ x1 Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta ingreso x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 La gráfica de la cantidad demandada versus el ingreso se conoce como Curva de Engel. Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta ingreso x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta ingreso m x2’’’ x2’’ x2’ m’’’ m’’ m’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 x1’ x1’’’ x1’’ x1* Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta ingreso m x2’’’ x2’’ x2’ CurvaEngel m’’’ m’’ m’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 x1’ x1’’’ x1’’ x1* Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m m’’’ m’’ m’’’ m’ Curva Oferta ingreso x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 x2’ x2’’’ x2’’ x2* Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ m m’’’ m’’ m’ Curva Oferta ingreso x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’ Curva Engel x1 x2’ x2’’’ x2’’ x2* Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ m m’’’ m’’ m’ Curva Oferta ingreso m x2’’’ x2’’ x2’ Curva Engel m’’’ x2’ x2’’’ x2’’ m’’ m’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 x1’ x1’’’ x1’’ x2* Curva Engel x1* Cambios en el Ingreso y preferencias Cobb-Douglas Un ejemplo de cálculo de las ecuaciones de Engel para las preferencias Cobb-Douglas. a b U( x1 , x 2 ) x1 x 2 . Las ecuaciones de demanda ordinaria son am bm * x ; x2 . (a b) p1 ( a b) p2 * 1 Reordenando y despejando m: (a b) p1 * m x1 a ( a b) p2 * m x2 b Curva Engel para el bien 1 Curva Engel para el bien 2 m m (a b) p1 * m x1 a Curva Engel para el bien 1 x1* ( a b) p2 * m x2 b x2* Curva Engel para el bien 2 Cambios en el ingreso y preferencias de bienes complementarios perfectos Otro ejemplo para estimar las ecuaciones de las curvas de Engel; el caso de bienes complementarios perfectos. U ( x1 , x2 ) mínx1 , x2 . Las ecuaciones de demanda ordinaria son m x x . p1 p2 * 1 * 2 m x x . p1 p2 * 1 * 2 Reordenando y despejando m: m ( p1 p2 ) x * 1 Curva Engel para el bien 1 m ( p1 p2 ) x * 2 Curva Engel para el bien 2 Manteniendo fijos p1 y p2. x2 x1 Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ x1 Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ x1 Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ m x2’’’ x2’’ x2’ m’’’ m’’ m’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 Curva Engel x1’ x1’’’ x1’’ x1* Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ m Curva Engel m’’’ m’’ m’ x2’ x2’’’ x2’’ x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 x2* Manteniendo fijos p1 y p2. x2 m’ < m’’ < m’’’ m m’’’ m’’ m’ m x2’’’ x2’’ x2’ Curva Engel m’’’ x2’ x2’’’ x2* x2’’ Curva Engel m’’ m’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 x1’ x1’’’ x1’’ x1* Manteniendo fijos p1 y p2. m Curva Engel m’’’ m’’ m’ m ( p1 p2 ) x * 2 m m ( p1 p2 ) x * 1 m’’’ x2’ x2’’’ x2* x2’’ Curva Engel m’’ m’ x1’ x1’’’ x1’’ x1* Cambios en el ingreso y preferencias de bienes sustitutos perfectos Otro ejemplo para la estimación de las ecuaciones de las curvas de Engel; el caso de sustitutos perfectos. U( x1 , x 2 ) x1 x 2 . Las ecuaciones de demanda ordinaria son 0, si p1 p2 x ( p1 , p2 , m) m / p1, si p1 p2 * 1 0 , sip p 1 2 * x2 ( p1 , p2 , m) m / p , si p p . 2 1 2 Supongamos que p1 < p2. Entonces m x p1 * 1 y * x2 0 m p x * y 1 1 * x 2 0. y y * x 2 0. m p x * 1 1 x1* Curva Engel 0 x2* Curva Engel Cambios en el ingreso En los ejemplos que hemos visto, la curva de Engel se ha presentado como una función lineal. pregunta: ¿Es siempre así? respuesta: No. Las curvas de Engel son líneas rectas si las preferencias de los consumidores son homotéticas. Homoticidad Las preferencias del consumidor son homotéticas si y solo si (x1,x2) p (y1,y2) (kx1,kx2) p (ky1,ky2) para k > 0. Es decir, la TMgS del consumidor es la misma en cualquier punto sobre la línea recta desde el orígen. Efecto ingreso – un ejemplo no homotético Las preferencias cuasilineales no son homotéticas. U( x1 , x 2 ) f ( x1 ) x 2 . Por ejemplo: U( x1 , x 2 ) x1 x 2 . x2 Cada una de las curvas es una copia verticalmente desplazada de las otras. Cada una de las curvas intersecta ambos ejes. x1 x2 ~ x1 x1 x2 Curva Engel y ~ x1 x1 ~ x1 x1* y x2 Curva Engel x2* ~ x1 x1 Curva Engel y x2 x2* Curva Engel y ~ x1 x1 ~ x1 x1* Efecto Ingreso Un bien para el cual la cantidad demandada se incrementa cuando el ingreso se incrementa es un bien normal. En consecuencia la curva de Engel para bienes normales, tiene pendiente positiva. Un bien para el cual la cantidad demandada disminuye cuando el ingreso se incrementa es un bien inferior. En consecuencia la curva de Engel para bienes inferiores tiene pendiente negativa. Cambios en el ingreso: bienes 1 y 2 son normales m Curva Engel m’’’ x2 Curva oferta ingreso x2’’’ x2’’ x2’ m’’ m’ m x2’ x2’’’ x2’’ m’’’ x2* Curva Engel m’’ m’ x1’ x1’’’ x1’’ x1 x1’ x1’’’ x1’’ x1* Cambios en el ingreso: el bien 2 es normal, el bien 1 es inferior x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Curva oferta ingreso x1 x2 m Curva Engel x1 x1* m x2 Curva Engel m x2* Curva Engel x1 x1* Bienes ordinarios Un bien es un bien ordinario si su cantidad demandada siempre se incrementa cuando su precio disminuye. Bienes ordinarios x2 Manteniendo fijos p2 y m x1 x2 Manteniendo fijos p2 y m Curva oferta precio x1 x2 Manteniendo fijos p2 y m Curva oferta precio p1 Curva demanda pendiente negativa El bien 1 es ordinario x 1* x1 Bienes Giffen Si, para algunos valores del precio, la cantidad demandada de un bien se incrementa cuando su precio se incrementa, entonces el bien es un bien Giffen. x2 Manteniendo fijos p2 y m x1 x2 Manteniendo fijos p2 y m Curva oferta precio x1 x2 Manteniendo fijos p2 y m p1 Curva oferta precio La curva de demanda tiene un tramo con pendiente positiva. El bien 1 es un bienGiffen x 1* x1 Efecto precio cruzado Si un incremento en p2 – incrementa la demanda del bien 1, entonces el bien 1 es un sustituto bruto del bien 2. – disminuye la demanda del bien 1, entonces el bien 1 es un complemento bruto del bien 2. Ejemplo de complementos perfectos: m x p1 p2 * x1 m 0. 2 p2 p1 p2 * 1 entonces En consecuencia, el bien 2 es Complemento bruto del bien 1. p1 p1’’’ Se incrementa el precio del Bien 2 de p2’ a p2’’ y p1’’ p1’ y p 2’ x 1* p1 La curva de demanda del bien 1 se desplaza hacia adentro-- el bien 2 es un complemento bruto del bien 1. p1’’’ p1’’ p1’ y p 2’’ x 1* Un ejemplo con preferencias A Cobb- Douglas: bm x ( a b ) p2 * 2 así x*2 0. p1 En consecuencia, el bien 1 no es Complemento ni sustituto bruto del Bien 2.
