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OBJETIVOS DEL CURSO
 Promover el trabajo matemático desde situaciones
problemáticas, por medio del debate y el análisis de los
procedimientos de los alumnos y docentes;
 Incentivar la organización de un trabajo en conjunto
acerca del estudiar matemáticas por medio de la
resolución de problemas;
 Formar equipos de trabajo docente donde se pueda
estimular a la investigación de los contenidos que se
desarrollan en el aula; analizar los aportes que se hacen
desde la didáctica y su influencia directa en los alumnos.
SEGUNDO CICLO 2011
6 JORNADAS
TRAMO I:
4 JORNADAS DE 8 Hs RELOJ CADA UNA
CARGA HORARIA:
9 DE MARZO
105 Hs DIDACTICAS = 70 Hs RELOJ
27 DE ABRIL
32 Hs RELOJ - PRESENCIAL
20 Hs RELOJ - TUTORIA
29 DE JUNIO
18 Hs RELOJ – NO PRESENCIAL
31 DE AGOSTO
2 JORNADAS DE 8 Hs RELOJ CADA UNA
TRAMO II:
CARGA HORARIA:
22 DE SEPTIEMBRE
80 Hs DIDACTICAS = 53 Hs RELOJ
16 Hs RELOJ - PRESENCIAL
7 DE OCTUBRE
12 Hs RELOJ - TUTORIA
25 Hs RELOJ – NO PRESENCIAL
CRONOGRAMA DE LA JORNADA.
 08:00 – 09:00 – PARTE 1: ANÁLISIS DE PROPUESTAS MATEMÁTICAS.
OBSERVACIÓN Y EXPOSICIÓN DE CONTENIDOS
MATEMÁTICOS.
 09:00 – 10:30 – PARTE 2: OBSERVACIÓN DE UNA PELÍCULA.
 10:30 – 10:45 – RECREO.
 10:45 – 12:00 – ANÁLISIS DE LAS CUESTIONES EN LA PELÍCULA.
CUESTIONES A ANALIZAR.
 12:00 – 13:00 – RECREO.
 13:00 – 15:00 – PARTE 3: ANÁLISIS MATEMÁTICO POR MEDIO DE LA GUIA
DE PROBLEMAS: FUNCIONES .
 15:00 – 16:00 – PROPUESTAS ABORDADAS EN CEPICH.
 15:15 – 17:00 – PUESTA EN COMUN DE LOS APORTES DE LA JORNADA.
ENFOQUE
ANTROPOLÒGICO
(YVES CHEVALLARD)
HACER
TEORÍA DE LAS
SITUACIONES
DIDÁCTICAS
(GUY BROUSSEAU)
SITUACIONES
MATEMÁTICA
En la TSD, Brousseau parte de un modelo general del
“conocimiento matemático”
SABER MATEMÁTICA no es solamente saber definiciones y
teoremas para conocer la ocasión de utilizarlos y de aplicarlos…
es “ocuparse de problemas” en un sentido amplio que incluye
encontrar BUENAS PREGUNTAS tanto como encontrar soluciones.
Una buena reproducción, por parte del alumno, de la actividad
matemática exige que éste intervenga en la actividad
matemática, lo cual significa que formule enunciados y pruebe
proposiciones, que construya modelos, lenguajes, conceptos y
teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que
reconozca los que están conformes con la cultura matemática
y que tome los que le son útiles para continuar su actividad.
ENSEÑAR MATEMÁTICA se refiere entonces a
crear las condiciones que producirán la
apropiación del conocimiento por parte de los
alumnos. El docente no puede responsabilizarse
del aprendizaje de los alumnos, no puede
obligarlos desde afuera, pero sí debería garantizar
que con las condiciones que organizó para el
aprendizaje, los alumnos pueden aprender.
DEVOLUCIÓN
Consiste, no solamente en presentar al alumno la actividad (consigna,
regla, finalidad…) sino también en hacer de tal forma que los alumnos
se sientan responsables, en el sentido del conocimiento y no de culpa,
del resultado que debe encontrar.
PROBLEMA:
Dos números A y B sumados dan por resultados 147;
A es el doble de B. ¿Cuánto vale A y cuánto vale B?
Se puede plantear un sistema de ecuaciones:
A + B = 147
A = 2B
Alumno: 2 + A + B = 147
Prof. : No me esta gustando nada ese 2
Alumno: ¿No le gusta?.... No hay problemas, se lo borro…
El profesor debe lograr que los conocimientos sean
para los alumnos una respuesta bastante natural, a
condiciones relativamente particulares, condiciones
indispensables para que tengan un sentido para él.
Cada conocimiento debe nacer de la adaptación a
una situación específica, ya que no se crea la
probabilidad en un mismo tipo de contexto y de
relaciones con el “medio” que aquéllos en los
cuales se inventa o utiliza la aritmética y el álgebra.
En la VALIDACIÓN el alumno debe demostrar por qué el
modelo que ha creado es válido. Pero para que el alumno
construya una demostración y que ésta tenga sentido para él
es necesario que la construya en una situación, llamada
validación, en la que debe convencer a alguna otra persona.
Ejemplo:
Alumno 1: (hablándole al docente)…. ¿estoy haciendo bien, profe?
Profesor: No sé
Alumno 2: (hablándole al Alumno 1)… Si te da 20 estás haciendo bien
CUESTIONES MATEMÁTICAS:
HALLA, SI ES POSIBLE, UN NÚMERO ENTERO
QUE MULTIPLICADO POR - 3 DÉ 3.
Para resolver el planteo se necesita un número m tal que
- 3 x m = 3.
Una primera opción para analizar es m = 1. Pero
representa una vez – 3, por lo tanto - 3 x 1 = 3.
- 3 x 1
El siguiente razonamiento permite encontrar el número
pedido usando propiedades válidas en el conjunto de
números naturales y enteros:
-
3x0=0
Cualquier número multiplicado por cero da cero.
3 x (1 + (-1)) = 0
La suma de un número y su opuesto es 0.
-
-3 x 1 + (-3) x (-1) = 0
Propiedad distributiva del producto respecto de
la suma.
- 3 + (-3) x (-1) = 0
Se usa que – 3 x 1 = - 3
- 3 x (-1) = 0
Como – 3 es el opuesto de 3, entonces también
debe ser el opuesto de (- 3) x (- 1) ya que al
sumarlos se obtiene 0. como el opuesto es
único, 3 debe ser igual a (-3) x (-1).
Con este razonamiento podemos concluir que si a cualquier
número entero lo multiplicamos por – 1 obtenemos su
opuesto.
Es decir, si a es un número entero:
a x (- 1) = - a
D
I
S
E
EGB 3:
NUMEROS Y OPERACIONES
ALGEBRA Y FUNCIONES
GEOMETRIA Y MEDIDA
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
Ñ
O
CURRICULARES
POLIMODAL:
CONJUNTOS NUMERICOS
FUNCIONES
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
NAP
CONTENIDOS MATEMATICOS
- EGB 3
7mo
- EGB 3
8vo
- EGB 3
9no
- POLIMODAL
> FUNCIONES.
> FUNCIONES LINEALES.
> FUNCIONES Y ECUACIONES LINEALES.
> SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
> FUNCIONES CUADRÁTICAS
1er AÑO
- POLIMODAL
2do AÑO
> FUNCIONES CUADRÁTICAS.
> FUNCIONES POLINÓMICAS:
- F(x) = x ^ 2
- Transformación de Gráficas y Fórmulas.
> FUNCIONES POLINÓMICAS:
- Factorización de fórmulas de funciones polinómicas
- División de un polinomio por polinomio de grado 1
> FUNCIONES RACIONALES.
- POLIMODAL
2do AÑO
> FUNCIONES CUADRÁTICAS.
> FUNCIONES POLINÓMICAS:
- F(x) = x ^ 2
- Transformación de Gráficas y Fórmulas.
> FUNCIONES POLINÓMICAS:
- Factorización de fórmulas de funciones polinómicas
- División de un polinomio por polinomio de grado 1
> FUNCIONES RACIONALES.
- POLIMODAL
> FUNCIONES EXPONENCIALES.
> FUNCIONES LOGARÍTMICAS.
> FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
3er AÑO
GUÍAS DE PROBLEMAS
¿Qué temas se están estudiando en esta guía de
problemas?
 Analizar las posibles estrategias de los alumnos y
las que el docente puede determinar.
 Analizar qué es lo que necesitan los alumnos para
abordar estos temas.
Determinar el posible año de escolarización para
presentar estas guías.
Analizar el tiempo posible para tratar estos
problemas en el aula.
PROBLEMA 1.
Sin hacer la división y sin usar criterios de
divisibilidad, determinen si el número 534484 tiene
resto 4 al ser dividido por 8.
534 484 = 534 000 + 480 + 4
Descomponemos el número
534 484 = 534 x 1000 + 480 +4
Dado que 534 000 = 534 x 1000
534 484 = 534 x 125 x 8 + 60 x 8 +4 Porque 1000 = 125 x 8 y 480 = 60 x 8
534 x 125 x 8 es un múltiplo de 8
60 x 8 es un múltiplo de 8
Al ser los dos múltiplos de 8 la
suma de ellos también será
múltiplo de 8
Por lo tanto 534 484 supera en 4 unidades a un múltiplo de 8, por lo
que tiene resto 4 al ser dividido por 8
¿POR QUÉ SE DESCOMPUSO AL 534 484?
PORQUE LA DESCONPOSICIÓN NOS PERMITIÓ PONER EN
EVIDENCIA LAS RELACIONES QUE NECESITÁBAMOS ANALIZAR.
CUALQUIER FORMA DE DESCOMPONER EL NÚMERO DONDE
APAREZCAN MÚLTIPLOS DE 8 ES ÚTIL.
534 484 = 5 x 100 000 + 3 x 10 000 + 4 x 1000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 4
534 484 = 5 x 12 500 x 8 + 3 x 1250 x 8 + 4 x 125 x 8 + 4 x 2 x 50 +8 x10 + 4
534 484 = 8 x 5 x 12500 + 8 x 3 x 1250 + 8x 4 x 125 + 8 x 50 + 8 x 10 + 4
PROBLEMA 2.
a) Encuentren un número que tenga cociente 12 y resto 7 al ser
dividido
por 15. ¿Cuántos números hay que verificar esa condición?
b) Encuentren números que tenga cociente 12 al ser dividido por 15.
¿Cuántos números hay que verifican esa condición?
c) Encuentren un número que, al ser dividido por otro, tenga resto 12
y cociente 15. ¿Cuántos números hay que verifican esa condición?
a) Relación de la división: D = d x c + r
D = 15 x 12 + 7 = 187
COMO SE ENCONTRÓ UN ÚNICO VALOR AL REEMPLZAR LOS
DATOS, HAY UNA ÚNICA DIVISIÓN QUE CUMPLE CON LAS
CONDICIONES ESTABLECIDAS.
b) Al saber que c = 12 y d = 15
Como el divisor es 15 el resto puede variar de 0 a 14
Si
Si
Si
…
…
Si
r = 0, D = 15 X 12 + 0 = 180
r = 1, D = 15 x 12 + 1 = 181
r = 2, D = 15 X 12 + 2 = 182
r = 14, D = 15 X 12 + 14 = 194
Los números entre 180 y 194 tienen cociente 12 al ser
divididos por 15. Hay 15 divisiones posibles.
Si se analizan las soluciones en la recta numérica puede
verse que son los números desde 15 x 12, incluido, hasta
15 x 13 sin incluir.
c) c = 15 y r = 12, entonces:
D = d x 15 + 12
Como el divisor debe ser mayor que el resto, d puede tomar
cualquier valor mayor o igual que 13. En este caso hay
infinitas soluciones.
PROBLEMA 3.
Un número A tiene resto 3 al ser dividido por 8.
¿Qué número hay que sumarle para que el resto del nuevo número
al ser dividido por 8 sea 1? ¿Hay una única solución?
Una recta numérica es una buena herramienta para hacer el
análisis.
Los múltiplos de 8 pueden expresarse como el producto
entre 8 y un número natural, 8 x n, y que hay 8 unidades
entre dos múltiplos consecutivos de 8.
Se puede ver que si al número 8 x n + 3 se le suman 5
unidades se llega al múltiplo siguiente de 8, 8 x n + 8.
Al agregar una unidad más, se encuentra
el número 8 x n 8 + 1, que tiene resto 1 al ser dividido por 8.
¿Cómo podemos estar seguro si no sabemos cuánto vale n?
Porque como 8 x n y 8 son múltiplos de 8, 8 x n + 8 es
múltiplo de 8. Al agregarle 1 se obtiene un número que
supera en una unidad a un múltiplo de 8.
¿Será la única respuesta posible?
NO. Porque si al número obtenido le sumamos 8 vamos a
obtener 8 x n + 8 + 8 + 1, que también tiene resto 1 al ser
dividido por 8.
Lo mismo ocurre si al número inicial se le suma cualquier
múltiplo de 8. POR LO TANTO HAY INFINITAS SOLUCIONES
También es posible demostrarlo de manera general:
8xn+3+5+1+8+p=8xn+8+8xp+1
8 x n + 8 + 8 x p + 1 es una unidad mayor que un múltiplo de
8, y por lo tanto, tiene resto 1
PROBLEMA 4.
Si b es un número natural, ¿cuáles son los valores
de b que verifican que el número 5 x ( 2 x b + 1)
sea un número par?
Para comenzar se puede reemplazar a b por distintos
números y analizar que sucede
Si b = 1
5 x (2 x b + 1) = 5 x ( 2 x 1 + 1) = 5 x 3 = 15 No es par
Si b = 2
5 x (2 x b + 1) = 5 x ( 2 x 2 + 1) = 5 x 5 = 25 No es par
Si b = 3
5 x (2 x b + 1) = 5 x ( 2 x 3 + 1) = 5 x 7 = 35
Al seguir reemplazando se ve que el número que multiplica
a 5 es impar y por lo tanto el resultado también.
Pero esta afirmación no asegura que sea así para cualquier
valor numérico por el que se reemplace a b.
¿Será cierto que 2 x b + 1 es siempre un número impar?
¿Es posible encontrar una explicación que sirva para todos
los valores posibles de b?
El análisis de la expresión que interviene en el
producto va a permitir llegar a la conclusión.
Trabajo Práctico N° 3
ESTE TRABAJO DEBE SER “SUBIDO” EN EL AULA VIRTUAL HASTA EL 4to
ENCUENTRO, EL MIÉRCOLES 31 DE AGOSTO.
PARTE I – Grupal: 3 Integrantes.
Analizar e Implementar una Guía de Problemas de FUNCIONES LINEALES (desde
el 1 hasta el problema 8 inclusive) a tres alumnos, teniendo en cuenta lo
siguiente:
a) Detallar el año en el que se puede llevar a cabo.
b) Establecer tiempos en los cuales los alumnos van a resolver los problemas.
Por ejemplo, 4 encuentros de 30 min.b) Resolver, detalladamente, cada uno
de los problemas.
c) Mostrar cómo los alumnos van resolviendo los problemas y sus distintas
cuestiones planteadas.
d) Describir cuáles son dificultades que los alumnos plantean al ir resolviendo la
Guía.
e) Establecer cuáles podrían ser, dentro de la Guía, los problemas que
presentarían mayores dificultades a los alumnos a la hora de resolverlos.
f) Registrar y escribir los diálogos en las intervenciones de los alumnos y de los
profesores en la resolución de los problemas. Seleccionar párrafos que
consideren importantes comentarlos.
PARTE
II – Individual
.
1) Participar de los FOROS.
Comentar en el debate que se establece.
Recorrer el Aula y resolver las actividades.
2) Resolver las siguientes cuestiones matemáticas:
a) Analizar que contenidos matemáticos se están tratando en la película
“El Cubo”.
b) Plantear si es posible trabajar en el aula con este material.
c) Pensar y analizar qué preguntas matemáticas responde el planteo
de la película
3) CON UNA HOJA SE ARMAN DOS CILINDROS,
TENIENDO COMO EJE DE GIRO EL ANCHO DE LA HOJA EN UN CASO
Y EL LARGO EN OTRA. ESTUDIAR EL VOLUMEN DE AMBOS CILINDROS.