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Respuesta en frecuencia y
Diagramas de Bode
Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
Este tipo de gráficas es mejor hacerlas en forma
logarítmica en lugar de lineales, para cubrir un mayor
rango de representación. En tal caso, se denominan
“diagramas de Bode”, en honor a quién les dio
popularidad a través de sus trabajos.
Los “diagramas de Bode” consideran
trabajar con escalas logarítmicas en las
frecuencias. Por otra parte, las
magnitudes se grafican en “decibeles”
mientras que las fases en forma lineal.
H [dB]  20 log 10 H
Hendrik W. Bode
Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
Una ventaja adicional de las ganancias logarítmicas es
que, cuando una ganancia resulta de la multiplicación
de varias ganancias, la gráfica puede obtenerse a partir
de la suma de las gráficas de cada una de las ganancias
individuales.
Para el caso de un circuito de primer orden, la ganancia viene
dada por:
1
H
Por lo tanto:
1  ( 0 )
H [dB]  20 log H  20 log
2
1
1  ( 0 )
2

 10 log 1  ( 0 )
2
A partir de esta última expresión, puede hacerse el siguiente
análisis:

Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
• Para bajas frecuencias, es decir, para <<0, la
ganancia logarítmica resultante será:
H [dB]  20 log H  10 log 1  0 dB
• Para =0 se tiene:
H [dB]  20 log H  10 log  2  3,01 dB
• Para >>0 resulta:


H [dB]  20 log H  10 log ( 0 )  20 log   0 
2
En un diagrama de Bode de magnitud, la frecuencia para la cual la
magnitud cae –3dB respecto de la que corresponde a =0, se
conoce como “frecuencia de quiebre” o “frecuencia de corte” del
circuito.
Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
El intervalo entre dos frecuencias cuya razón es 10 se llama
“década”. Así, dadas 1 y 2, siendo y 2 =101, el intervalo
entre ellas es una década.
Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
Se vio anteriormente que para >>0, se cumple que:
H [dB]  20 log   0   20 log 0   20 log   
Por lo tanto, la diferencia entre las ganancias de frecuencias
separadas por una década, cuando se cumple la condición
anterior será:
 
H [dB]  20 log  1   (20 log   2 )  20 log  1   20 log 1  20 dB
10
  2 
Como conclusión, puede decirse que:
• La pendiente de la recta asintótica para un circuito de
primer orden, cuando >>0, es de –20dB/década.
• La asíntota interseca la línea de 0dB en =0
(frecuencia de corte).
Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.
En Matlab, se usa el comando “tf” para crear funciones de
transferencia.
Ejemplo:
1
G ( s) 
1  5s
>> num=[1]; , den=[5 1];
>> G=tf(num,den)
Transfer function:
1
------5s+1
Las raíces del denominador se conocen como “polos”de la
función de transferencia, mientras que las del numerador
como “ceros”. Se determinan como:
>> pole(G)
ans =
-0.2000
>> zero(G)
ans =
Empty matrix: 0-by-1
Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.
Para obtener el diagrama de Bode, puede hacerse:
>> bode(G)
obteniendo:
Filtros pasivos
Introducción
• Los filtros pasivos son circuitos selectores de
frecuencias construidos sólo con elementos
pasivos (resistencias, condensadores e
inductancias).
• Este hecho hace que sean incapaces de
amplificar señales, por lo que atenuan
prácticamente las señales en todo su rango de
operación (salvo excepciones en torno a la
frecuencia de resonancia).
• Por su parte, los filtros activos son dispositivos
que no sólo son capaces de seleccionar
frecuencias sino también de amplificarlas. Para
que esto sea posible, hay que agregar elementos
activos como los transistores o los amplificadores
operacionales (que se estudiarán más adelante).
Circuitos Filtro
• En la clase anterior se vio que los circuitos pasivos,
•
•
•
con componentes de almacenamiento de energía,
presentan características selectivas de frecuencia.
Un “filtro eléctrico” es un circuito diseñado para
dejar pasar una gama de frecuencias
predeterminada, con un cambio de ganancia (o
magnitud) y fase característicos para cada circuito
particular.
Definiendo el espectro de magnitud o respuesta en
frecuencia, H(j), que es función de la frecuencia, se
pueden determinar las características de las ondas
sinusoidales que deja pasar para cada frecuencia en
particular.
Conforme a lo expresado y al tipo de aplicación que
se requiera, un filtro ideal debe presentar las
siguientes características:
Circuitos Filtro
1
H(j)
1
c
H(j)
c

Filtro pasabajas

Filtro pasaaltas
H(j)
H(j)
1
1
1
2
Filtro pasabandas

1
2

Filtro rechazabandas
Circuitos Filtro
Un “circuito filtro” incorpora una magnitud de
frecuencia selectiva, para dejar pasar señales que
contengan las frecuencias deseadas y eliminar o
rechazar las indeseadas.
Por lo visto hasta ahora, puede notarse lo siguiente:
• El filtro pasabajos ideal dejará pasar todas las frecuencias
hasta c (frecuencia de corte), y rechazará perfectamente
las que estén por encima de dicha frecuencia.
• Los circuitos de primer orden RL y RC vistos tienen características pasabajos o pasaaltos (según su configuración),
con frecuencia de corte c = 1/.
• Un filtro resonante RLC tendrá características pasabandas
o rechazabandas, según su configuración circuital.
Circuitos Filtro
Un circuito rechazabanda puede conformarse como se
muestra a continuación:
C
R1
L
Vent
R2
Vsal
Puede notarse que la impedancia que presentará el circuito
será mínima para la frecuencia de resonancia y la banda de
frecuencias cercana a la misma.
Unidad 2:
“CIRCUITOS DE
CORRIENTE ALTERNA (CA)”
Conceptos preliminares
En los circuitos eléctricos es necesario poder determinar
tanto la potencia suministrada a (o la absorbida por)
dicho circuito, así como por cada uno de los
componentes que lo conforman.
Potencia Instantánea
Se define como:
p(t )  v(t ) i(t )
W
Sea un circuito que entrega un voltaje v(t) y una corriente
i(t), donde:
v(t )  Vm cos t
i(t )  I m cos (t   )
la potencia instantánea entregada a dicho circuito será:
p(t )  v(t ) i(t )  Vm I m cos (t   ) cos t
Recordando que: cos  cos   cos (   )  cos (   )
Potencia Instantánea (cont.)
La expresión de la potencia instantánea puede reescribirse
como:
Vm I m
Vm I m
p(t ) 
cos  
cos (2t   )
2
2
Puede notarse que la potencia instantánea tendrá dos
términos, con las siguientes características principales:
• Un término constante (independiente del tiempo);
• Un término función del tiempo, el que variará
sinusoidalmente con el doble de la frecuencia de la
señal aplicada.
Potencia Promedio
La potencia promedio, P , para un periodo T, se puede
definir como:
Ejemplo:
v(t)
Vm
1
P
T

t 0 T
t0
p(t ) dt
Vm
Como: v(t ) 
(t  T )
T
la potencia instantánea será:
Vm2
v 2 (t )
2
 t  T 
p(t ) 

2
0
T 2T 3T t
R
RT
Por lo tanto, la potencia promedio vendrá dada por:
Vm2 T 2
V2
2

P
t  2T t  T dt

P
W
3 o
RT
3R
m
Potencia Promedio
Para un circuito de CA sinusoidal, considerando t0=0, será:
T
T
T

Vm I m 
1
P   p (t ) dt 
cos   dt   cos (2t   ) dt  
T 0
2T 
0
0

Vm I m
P 
cos 
2
También se cumple para el caso de aplicar un voltaje fasorial,
V, a una impedancia, Z , donde circulará una corriente fasorial
I , las que se relacionan como: V  Z I (con Z  Z )
La potencia instantánea sobre una impedancia vendrá
dada por la mitad entre el producto del máximo valor
del voltaje aplicado y de la corriente producida por el
coseno del ángulo entre el voltaje y la corriente.
Potencia Promedio
Si la impedancia es una resistencia, ZR=R0 (=0), por lo que
la potencia instantánea vendrá dada por:
Vm I m
PR 
2
En una inductancia,
ZL=L90 (=90º):
Vm I m
PL 
cos 90º  0
2
En un condensador,
ZC=1/C-90 (=-90º):
Vm I m
PC 
cos( 90º )  0
2
Conclusión: La potencia
promedio entregada a un
capacitor o a un inductor
es cero.
Potencia Promedio
Del diagrama de impedancias, se tiene:
Im
Z

X
R
cos  
Z
Re
R
Por otro lado, Vm=Z Im , por lo que:
Vm I m
Z I m2 R I m2 R
PZ 
cos  

2
2 Z
2
Como R es la parte real de la impedancia Z, la
potencia entregada a R es la potencia entregada
a Z, ya que PL = PC =0.
Principio de Superposición
Sea el siguiente circuito:
R
i
V
1
V2
Aplicando el principio de superposición, la potencia instantánea
puede determinarse como:
p  i 2 R  R (i1  i2 ) 2 
 R (i12  2i1i2  i22 )
Por lo tanto, la potencia promedio será:
1 T
R T 2
P   p dt   (i1  2i1i2  i22 ) dt 
T o
T o
T
T
R T 2
R T
2

   i1 dt  2  i1i2 dt   i2 dt   P1  P2  2  i1i2 dt
0
0

T o
T 0
Principio de Superposición
P1 es la potencia promedio debida a v1 y P2 la potencia
promedio debida a v2. Se analizará el último término,
discutiendo las condiciones necesarias para que sea cero.
Se considerará primero el caso más general, en que ambas
fuentes tienen frecuencias relacionadas como:
1  n 2
donde “n” es no necesariamente un número entero. Así, si se
tiene:
i1  I1 cos (1t   ) ; i2  I 2 cos (2t   )
el término en cuestión queda como:
Principio de Superposición
R T
P12   I1 I 2 cos (1t   ) cos ( 2t   )dt 
T 0
T
R
 I1 I 2  cos (t   ) cos (nt   )dt
0
T
La última integral es cero para todo n1. Por lo tanto, la
potencia promedio entregada por dos fuentes a una carga es
la suma de las potencias promedio entregadas por cada
carga individual, salvo en el caso en que n=1 (es decir,
cuando las frecuencias de ambas fuentes son idénticas).
La superposición de la potencia promedio debida a
múltiples fuentes sinusoidales se cumple mientras
las fuentes no tengan la misma frecuencia.
Principio de Superposición
La superposición de la potencia promedio no es aplicable
cuando las fuentes son coherentes (fuentes que tienen la
misma frecuencia ), incluyendo el caso de las fuentes
constantes ( = 0 rad/s). En este caso, se aplica el principio
de superposición fasorial y, después de hallar la corriente
fasorial resultante, I , se determina la potencia promedio
como:
2
Im R
p
2
donde: I  I m cos t.
IMPORTANTE: recordar que los fasores que provienen de
fuentes con frecuencias distintas no se pueden superponer.
Teorema de la Máxima Potencia
En la Unidad 1 se vio que en un circuito resitivo puro, la
máxima transferencia de potencia se produce cuando la
resistencia de carga es igual a la resistencia de Thévenin.
Ahora se analizará el mismo problema, para cuando la carga
es ZL. Supóngase el siguiente circuito:
ZT
VT
i
ZL
ZT  RT  j X T
con 
Z L  RL  j X L
Recordando que la potencia promedio entregada a la carga
viene dada por:
I m2
P
RL
2
Teorema de la Máxima Potencia
La corriente fasorial será:
VT
VT
I

ZT  Z L ( RT  j X T )  ( RL  j X L )
Por lo tanto, la potencia promedio viene dada por:
2
VT RL / 2
I RL
P

2
( RT  RL ) 2  ( X T  X L ) 2
2
Por una parte, la potencia promedio transferida sea máxima
cuando:
X  X
T
L
Para el caso indicado se tendrá:
2
P
VT RL / 2
( RT  RL ) 2
Teorema de la Máxima Potencia
Sólo resta por determinar el valor de RL para los requerimientos buscados. Derivando la potencia promedio (dada por la
expresión anterior) respecto de RL e igualando a cero, resulta
que la máxima transferencia de potencia se tendrá cuando:
RT  RL
por lo que resulta finalmente:
P
VT
2
2 RT
La máxima transferencia de potencia de un circuito
equivalente de Thévenin se logra cuando Z L  ZT*,
donde Z T* es el complejo conjugado de ZT .
FIN
Tarea: