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Calcular el equivalente Thevenin
4W
2W
3v
6W
a
a
+
Rth
+
Vth
RL
RL
5W
2W
2v
+
b
b
Para calcular el equivalente Thevenin “abrimos” entre los puntos a y b
Calcularemos así la tensión en circuito abierto Vth
4W
d
6W
c
a
+
+
3v
2v
2W
5W
Vth
b
Asignamos intensidades de mallas. Sumamos tensiones a lo largo
de los recorridos
De las ecuaciones obtenemos el valor I2 y como no circula intensidad por la
resistencia de 6W la tensión buscada es Vab =-3+Vc:
2W
4W
d
I1
6W
c
+
I2
+
2v
2W
a
3v
5W
Vth
b
El resultado obtenido es Vth=-2.5V
2  I 1 2  ( I 1  I 2 ) 2

Mallas 
 I1 , I 2
0  I 2 4  I 2 5  ( I 2  I1 )2 
Vc  I 2 5  3  Vth  Vth  Vc  3
Para calcular La resistencia equivalente cortocircuitamos ambas fuentes
de tensión:
a
4W
2W
2W
Rth  2 // 2   4// 5 6
6W
Rth  (5 // 5)  6  8.5W
Rth
5W
a
8,5Ώ
2,5 V
+
RL
b
Impedancia y admitancia
Introducción
Recordando que las relaciones fasoriales para los
elementos R, L y C están dadas por:
Elemento Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia
Resistor
Inductor
Capacitor
vRi
V RI
di
vL
dt
dv
iC
dt
V  j L I
V
I
j C
En una resistencia, condensador o inductor, la
corriente y el voltaje fasorial, en el dominio de la
frecuencia, están relacionados como la ley de Ohm
para las resistencias
Introducción
Se define la impedancia de un elemento como la
razón entre el voltaje fasorial y la corriente fasorial, y
se denota como Z .
V
W “Ley de Ohm fasorial ”
Z
I
Teniendo en cuenta que V  Vm e I  I m , se tiene:
 Z  Vm
V Vm  Vm
Im
Z 

    
I I m  I m
     
La impedancia no tiene un significado
en el dominio del tiempo.
Notación
La impedancia puede expresarse como:
Z  Z   forma polar
 Z e j  forma exponencia l
 R  jX  forma rectangula r
donde R es la parte real de la impedancia
(componente resistiva) y X la parte compleja
(componente reactiva).
Puede notarse que se debe cumplir: Im
Z  R2  X 2
  tan
1
X
R
Z
gráficamente

R (Resistencia)
X (Reactancia)
Re
Notación
Tanto R, L y C tienen su impedancia correspondiente. Así:
Resistenci a : V  R I
 ZR
Inductanci a : V  jL I
Condensado r :V 
I
jC
 Z
reactancia
inductiva
reactancia
jL  j X L capacitiva
1
1
 Z
j
  j XC
jC
C
El recíproco de la impedancia se llama admitancia y se
denota por la letra Y, es decir:
1
1
Y 
 Y  
Z Z 
Notación
Como: Z  R  jX
1
R  jX
R
X
Y 
 2
 2
j 2
 G  jB
2
2
2
R  jX R  X
R X
R X
La parte real de la admitancia, G, se denomina
conductancia y la parte imaginaria, B, susceptancia
(notar que no son recíprocos de R y X,
respectivamente). La unidad de G y B es siemens.
Si la parte imaginaria de una impedancia es positiva, se dice
que la impedancia es inductiva. En cambio, si es negativa,
se dice que la impedancia es capacitiva. En el caso
particular en que X=0, la impedancia es resistiva pura.
Leyes de Kirchhoff fasoriales
Considerando que las fuentes de tensión externas
tienen la misma frecuencia (aunque no
necesariamente en fase), se verifica que:
V1  V2    Vn  0
Por lo tanto, se cumple la ley de tensiones de Kirchhoff en
una malla para tensiones fasoriales. Del mismo modo puede
comprobarse la ley de Kirchhoff para corrientes fasoriales
en un nodo, es decir:
I1  I 2    I n  0
Interconexiones de impedancias
Impedancias conectadas en serie
Sea el siguiente circuito
V
I
Z1
Z2
Zn
Como la corriente fasorial I circula por cada impedancia, se
tendrá:

V  V1  V2    Vn  I Z 2   Z n
Por lo
tanto:
V  I Z eq


Z eq  Z 2    Z n
Interconexiones de impedancias
Admitancias conectadas en paralelo
Sea el siguiente circuito
V
I
Y1
Y2
Yn
Teniendo en cuenta que I i  V Yi , aplicando la ley de
Kirchhoff de corrientes fasoriales se puede demostrar que:
Para el caso
de dos
admitancias
en paralelo:
Yeq  Y1  Y2    Yn
Yeq  Y1  Y2
1
1
Z1 Z 2
 Z eq 


Yeq Y1  Y2 Z1  Z 2
Interconexiones de impedancias
Ejemplo
Determinar el voltaje del nodo A (en estado estable) del
siguiente circuito:
A
R2
10ohm
10 cos 1000t
I1
R1
C1
10ohm
100uF
L1
10mH
Aplicando la ley de Kirchhoff de corriente en el nodo
“A”:


I1  Y1  Y2  Y3 V
Interconexiones de impedancias
Ejemplo (cont.)
A
Resolviendo para I1  100º
1
1
Y1 

 0,1
Z1 10
1
1
Y2 

 0,05 (1  j )
Z 2 10  j10
1
Y3 
 j 0,1
Z3
Reemplazando
: 10  0,1  0,05 (1  j )  0,1 j V  0,15  0,05 j  V
A
A
10 0º
 63,3   18,4º
Finalmente: VA 
0,158 18,4º
Existen aplicaciones que requieren sólo dejar pasar
señales en una banda estrecha de frecuencias y
eliminar las señales sinusoidales cuya frecuencia estén
fuera de dicha banda.
El “ancho de banda” de un circuito selectivo de frecuencias se define
como el intervalo de frecuencias que se encuentra entre las dos
frecuencias donde la magnitud de la ganancia cae 3dB del valor máximo.
Resonancia en paralelo
Sea un circuito RLC paralelo como el indicado:
la ganancia de corriente será:
Ient
L
C
R Isal
I sal
1
H

I ent R (YR  YC  YL )
Resonancia en paralelo
Por lo tanto:
1
1
1
Y  YR  YC  YL   j C 
 
R
j L R

1 


j  C 
 L

Sustituyendo en la ecuación de la ganancia, se tiene:
H
1
R
1  j   C  1
 L 

Observando la expresión anterior, puede notarse que habrá
una frecuencia para la cual el término imaginario se hace
cero (para  C = 1 /  L). Esa frecuencia se conoce como
“frecuencia de resonancia”, r , y en un circuito paralelo se
determina cuando la admitancia Y es no reactiva.
Resonancia en paralelo
Puede notarse que en condición de resonancia, al ser la
admitancia puramente resistiva, la corriente aplicada y
el voltaje a la salida estarán en fase.
Teniendo en cuenta que la resonancia ocurre cuando
rC=1/rL, entonces la frecuencia de resonancia puede
determinarse como:
1
r 
LC
Un circuito resonante es una combinación de elementos sensibles a la frecuencia, conectados de tal forma que sea capaz
de proporcionar una respuesta selectora de frecuencias.
Resonancia en serie
Considerando el siguiente circuito, la relación de
voltajes Ces:
L
H
Vent
R Vsal

Vsal
R

Vent R  j L  1

j C
1

1  j   L  1
R
 R C 

Tal como sucedió en el circuito con los elementos en paralelo,
puede notarse que el término imaginario se anula para la
frecuencia de resonancia r , tal que rC=1/rL, la que queda
definida por:
r 
1
LC
Análisis de circuitos y
Función deTransferencia
Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.
Redibujando el circuito visto en la clase anterior como:
Puede notarse que la tensión de
salida es una fracción de la
R
tensión de entrada, definida por
Vent
1/sC Vsal
el divisor de impedancias:
1
Vsal (t ) 
1
s RC
Vent (t ) 
Vent (t )
1
1

s
RC
R
s RC
Se llega a la misma Función de Transferencia anterior:
Vsal ( s )
1
G ( s) 

Vent ( s ) 1  RC s
Por lo tanto, puede inferirse que:
Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.
Elemento
Dominio del Tiempo
Inductor
vRi
v  L di
dt
Capacitor
i  C dv
Resistor
Es decir:
dt
Dominio de Laplace
V ( s)  R I ( s)
V (s)  s L I (s)
V ( s)  1
Resistenci a : Z  R
Inductanci a : Z  X L  s L
Capacitor : Z  X C   1
sC
sC
I ( s)
Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado
Dada una EDO de orden “n”:
d n y (t )
d n 1 y (t )
d y (t )

a



a
 a0 y (t )  u(t )
n 1
1
n
n 1
dt
dt
dt
aplicando TL con condiciones iniciales nulas, resulta:
s n X ( s )  an 1s n 1 X ( s )    a1 X ( s )  a0 X ( s )  U ( s )
Y ( s)
1
 n
o bien: G ( s ) 
U ( s ) s  an 1s n 1    a1  a0
La expresión:
G (s) 
L [ y (t )]
L [u (t )]
CI nulas
se conoce como “Función de Transferencia” del sistema.
Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado
Para encontrar la relación entre la formulación de un sistema
dada por su función de transferencia (FT) y la dada por las
ecuaciones de estado (ED), puede partirse de (#), es decir:
x  A x  b u
y c xd u
T
(#)
Aplicando TL a la primera ecuación, resulta:
s X ( s)  x (0)  A X ( s)  b U ( s)
y despejando, se tiene finalmente:
1
1
X ( s)  ( s I  A) x (0)  ( s I  A) b U ( s)
Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado
Para encontrar la FT, debe considerarse condiciones iniciales
(CI) nulas, es decir: x (0)  0. Por lo tanto:
X ( s)  ( s I  A) 1 b U ( s)
(a)
Aplicando TL a la segunda ecuación de (#), se tiene:
Y ( s)  cT X ( s)  d U ( s) (b)
Reemplazando (a) en (b) y despejando, resulta finalmente:
Y ( s)
 G ( s)  cT ( s I  A) 1 b  d
U ( s)
(##)
Así, conociendo “A”, “b”, “c” y “d”, aplicando (##) puede
obtenerse la FT de un sistema.
Función de Transferencia y Ecuaciones de Estado
La formulación en EE no es única. Para comprobar que existen
infinitas representaciones en espacio de estado de un sistema,
puede elegirse un vector z que cumpla con:
z T x
donde T es cualquier matriz cuadrada que tenga inversa (es
decir, existe T-1). Por lo tanto, si se reemplaza en el expresión
global de ecuación de estado:
~
~
x  T 1 z  A T 1 z  b u
yc T
T
1
z d u
z  A z  b u
~
T
~
y c z d u
~
~
con: A  T A T 1 ; b  T b ; c~ T  cT T 1
y
~
d d
Respuesta en frecuencia y
Diagramas de Bode
Introducción
Las señales periódicas, por serie de Fourier, se
pueden descomponer en una suma infinita de señales
sinusoidales (la frecuencia fundamental y sus
armónicas, que son múltiplos de frecuencia de la señal
original). En el dominio de la frecuencia, esto implica un
espectro de líneas.
|F(j)|
f(t) T0=2/0
t
0 20 30 .......

Introducción
Las señales reales aperiódicas (no-periódicas),
considerando Transformada de Fourier, están
compuestas por un espectro continuo de frecuencias por lo general- acotado. Por ejemplo, el espectro
audible de las señales de audio está comprendido
-aproximadamente- entre 20Hz y 20Khz.
|F(j)|
f(t)
Señal no pediódica
t
0

Introducción
En resumen:
• Una señal cualquiera puede pensarse como compuesta por
una cantidad infinita de señales sinusoidales (en fase o
desfasadas entre sí).
• Si se aplica una señal a un circuito eléctrico donde hay elementos de almacenamiento de energía (condensadores o inductores), las tensiones o corrientes producidas presentarán
distorsión de magnitud o de fase en los distintos puntos que
componen dicho circuito.
• Este efecto puede aprovecharse para construir circuitos (conocidos como filtros) que, al aplicar una señal determinada,
entregue a su salida una señal con un espectro de frecuencia
acotado a límites prestablecidos.
Introducción
Ejemplo 1:
Si la señal de voltaje aplicada es de
la forma:
L
i
Vf
RL
V
V RL
VRL 
RL 

RL  j  L
Z eq
v f  Vm cos t
Vm RL
RL2   2 L2
  tan 1  L
RL
Observando esta expresión, puede notarse lo siguiente:
Introducción
Ejemplo 1
Vm RL
L
VR 
  tan
(cont.
RL
2
2 2
R


L
L
):
• Para una señal de voltaje aplicada continua (=0), el
voltaje sobre la resistencia de carga será
1
L
VRL  Vm 0
• Para una señal de voltaje aplicada con una frecuencia
=R/L, el voltaje sobre la resistencia de carga será
Vm
VRL 
45
2
• Para una señal de voltaje aplicada con una frecuencia
infinita (=), el voltaje sobre la resistencia de carga
será
VR  090
L
Introducción
Ejemplo 2:
Si la señal de corriente aplicada es
de la forma:
I f  I m cos t
I
If
L
VRL  I Z eq  I
RL
La señal de voltaje que se tendrá
sobre la resistencia de carga será:
 L RL I m
j RL L

90  tan 1  L
RL
RL  j  L
RL2   2 L2
Realizando un análisis semejante al que se hizo para el
ejemplo anterior, se concluye:
Introducción
Conclusión
• Circuitos como el del Ejemplo1,en los que la amplitud de
la señal de salida disminuye a medida que aumenta la
frecuencia, se denominan “filtros pasa-bajos”.
• En el caso inverso (Ejemplo 2), es decir, circuitos donde
la amplitud de la tensión de salida aumenta al aumentar la
frecuencia, se denominan “filtros pasa-altos”.
• Con similar criterio, aquellos circuitos que atenúan las
frecuencias por debajo de una frecuencia mínima y por
encima de una máxima se denominan “filtros pasabandas”, y en en caso inverso, “rechaza-bandas”
Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
Conforme a lo dicho hasta ahora, la respuesta en
frecuencia de un circuito eléctrico es la relación en
función de la frecuencia, entre una entrada senoidal y
una salida senoidal, en estado estable.
Para el caso del circuito del Ejemplo 1, llamando Vsal a
la tensión sobre la resistencia de carga, y Vent al voltaje
aplicado al circuito, puede verse que:
Vsal RL
H ( j ) 

 
Vent Z
Z  R 2  j 2 L2
L

con 
1  L


tan

RL

La razón “Vsal Vent ” y la fase “” pueden graficarse en función
de la frecuencia, constituyendo lo que se conoce como
“respuesta en frecuencia” de un circuito.
Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
Para el caso del Ejemplo 2:
Vsal
 Z  Z ( j )
I ent
En este caso, la “respuesta en frecuencia” está dada por la
magnitud y fase de la impedancia.
Volviendo al caso del Ejemplo 1, la magnitud de la respuesta
en frecuencia puede reescribirse como:
H

RL
R  L
2
L
2 2
1
1  (  0 )
2

1
1  ( L R)
  L
R
2

1
1  (  )
y 0  R
L
2

Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
Ejemplo 3:
Puede verse que se cumple
que:
1
Vsal
ZC
j C
R
Vent
Vent
C
Vsal


R  ZC

R 1
1
1

j R C  1 1  j 
con 0  1 R C .
Por lo tanto:
H
1
1  (  0 )
2
;    tan 1 
j C
0
0

Respuesta en frecuencia de los circuitos RL y RC
Puede verse que en los casos de primer orden vistos, la
respuesta en frecuencia tiene la misma expresión.
Definiendo algunos puntos y graficándo en función de
la frecuencia, se tiene:
Frecuencia,

0
0,5 0
0
2 0
5 0

Magnitud,
H
1
0,89
0,71
0,45
0,37
0
Fase, 
0°
-26,6°
-45°
-63,4°
-68,2°
-90°
Proxima Clase Diagramas de BODE
• TAREA Jueves Próximo.
• 1)Imprimir Tabla de motores Normales, para
Chile, que tenga Potencia en Watts y HP, clase
armazón, RPM, Corrientes , Factor de Potencia,
Factor de Servicio,
Momento de inercia y todos los demás
momentos, Rendimiento, Peso.
2) Indicar que utililidades presta el frenado de un
motor INTERNET