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Ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss 1777-1855) Es muy útil para calcular campos eléctricos de distribuciones de carga altamente simétricas. Flujo: A A Densidad de partículas = r A dx Pasaron Ardx partículas en un tiempo dt Por unidad de tiempo pasaron Arv partículas, donde v es la velocidad de las partículas. Esto es lo que se llama el flujo: F = rvA. Densidad de partículas = r dx q A’= A cos q dx v q A . F A’ = rv A’ = r v A cos q = r v A A es un vector perpendicular al área y su módulo es igual al área. Flujo de materia. Campo de velocidades v. Flujo para un campo vectorial arbitrario. Si F es un vector en un punto del campo y da es un vector representando un elemento de área en ese punto se define el elemento de flujo por: dF = F. da da F da A F F da E da E da r q Flujo, a través de una superficie esférica, del campo eléctrico debido a una carga eléctrica q colocada en el centro: F= ∫ E .da = ke ∫ q ^. ^ r da r = 4kep q r2 Angulo sólido dAR dW = R dAR dAr = r2 2 R dAr q r keqdA r r2 keqdA = k q dFR = R e 2 R 2 R dFr = R2 dAr = dFr r2 dA’ q dAR = dA’cos q dAR q dFA’= ke q k eq ke q ^ . dA’ cos q = dAR = dFR r dA’ = 2 2 2 R R R El flujo a través de cualquier superficie que contenga a la carga q0 es el mismo. q2 q1 q0 F= ∫ ; E = E0 + E1 + E2 E .da = 4kepq0 + 4kepq1 + 4kepq2 ∫ F = 4p ke r( r ) dV distribución continua de cargas N F = 4p ke∑ qi i=1 ∫ ∫ E .da = 4p ke distribución discreta de N cargas. ∫ r( r ) dV Ley de Gauss N E .da = 4p ke ∑ i=1 qi z R p/2 - q dx ∫ x r q q dEy y dq ∞ Rdq E Ey= ke -∞ l cos q dx k = e R2 Rdq = dx cos q p/2 l dq l cos q dq k = e r R -p/2 2ke l = r r = R cos q ∫ ∫ ∫ E .da = 4ke p l L => Er L 2p r == 4kep l L 2ke l => Er = r r L r Plano de carga no conductor E + + + ++ + + + + + + + + + ++ + A + ++ + + + + + + ++ + + + + + + + E F = 2EA = E= s 2eo sA eo Dos placas infinitas no conductoras cargadas uniformemente: y s ^ E= eo j E1= 0 s E2 = 0 -s Conductor + + + + + + muy pequeño E d + + + + A + + + + + + sA F = EA = eo Justo fuera del conductor: Cargas en la superficie. s E= Campo es nulo en el interior. eo Campo perpendicular a la superficie. Campo es mayor donde la curvatura es mayor. Aplicación de la ley de Gauss a aislantes cargados: P29 Considere una larga distribución de carga cilíndrica de radio R con densidad de carga uniforme r. Encuentre el campo eléctrico a a una distancia r < R del eje. L R r rr ^ r E= 2eo ∫ E da = ∫ E ^r da ^r = E 2p r L = p r2 L r eo ley de Gauss Nota: Hemos elegido una superficie donde E es constante y donde el campo es paralelo al elemento de área. Hemos hecho uso de la simetría del problema. Carga eléctrica distribuida homogéneamente en una esfera de radio R. 3Q r 4pR 3 R i) rR r 3 Qr R 4 3 3Q 4 3 r r pr p r Q 3 3 3 4pR 3 R Aplicando ley de Gauss: 3 Qr E 4p r 3 e0R 2 E Q 4pe0 R 3 r ii) rR 4p r E 2 r Q e0 Q 1 E 2 4pe0 r E R r Cascarón esférico delgado de radio R R E 0 adentro Q 1 E 4pe0 r 2 afuera P53, P55 -Q 3Q a c b i) r c E 4p r 2 2Q e0 Q 1 E 2 2pe0 r ii) cr b E 0 Interior del conductor iii) br a 3keQ 3Q 1 E 4p r E r 2 rˆ 2 ˆ e0 4pe0 r r 2 iv) 3Q ra 3 3Qr E 4p r 3 e 0a 3Q 3keQ E r 3 r 3 4pe0 a a 2 E a b c r no conductor cargado homogéneamente conductor descargado b c a r i) Campo en r < a qr 1 4 3 2 E da E 4pr e o e o 3 p r r luego: rr E rˆ 3e o ii) Campo en a < r < b E Q rˆ 2 4p r e o 4 3 con Q pa r 3 iii) Campo en b < r < c E 0 interior del conductor iv) Campo en r > c E Q rˆ 2 4p r e o 4 3 con Q pa r 3 v) Densidad de carga superficial en el interior del conductor Q qs E da 0 da 0 eo donde qs es la carga en la superficie interior del conductor; luego: qs -Q -Q y entonces : s 2 4p b vi) Densidad de carga en la superficie exterior del conductor. Puesto que el conductor está descargado la carga total sobre esta superficie es qc -qs Q luego: Q sc 2 4p c P60 y Esfera no conductora con una cavidad y cargada uniformemente. r1 No hay campo gravitacional. a a Campo en la cavidad esférica Ex = 0 Ey = ra 3eo r r x 2a La cavidad es representada por dos esferas de cargas opuestas y de densidad r. Queda entonces una esfera completa de radio R= 2a con densidad de carga r y una esfera de radio a con densidad de carga –r. En el punto r ; el campo de la esfera de radio R es: 3 Q 4pR r r E (r ) ke 3 r ke r r 3 R 3R 3e 0 y el de la esfera de radio a es: 3 Qa 4pa r r Ea (r ) ke 3 r1 -ke r1 r1 3 a 3a 3e 0 Aplicando el principio de superposición tenemos, para el campo dentro de la cavidad: r r - r1 ET 3e 0 pero r1 r - a, luego, r r r - r a a ET 3e 0 3e 0 Soltar desde el origen una masa con una carga positiva q. Problema 3 Considere una esfera no conductora de radio 2a, con dos cavidades de radio a en su interior y cargada uniformemente con una densidad de carga r, como se muestra en la figura. y -a a Encuentre el campo eléctrico sobre el eje y. 2a x Problema 7 Un hilo no conductor de radio 2R y longitud infinita tiene una cavidad paralela a su eje y desplazada una distancia R de su centro. Además se encuentra cargado uniformemente con densidad de carga r. y 2R R x Encuentre elcampo en la cavidad y en el punto r -Rxˆ Solución. Se trata de dos cilindros paralelos: uno de radio 2R centrado en 0 y otro de radio R centrado en +R. El primero tiene densidad de carga uniforme r y el segundo una densidad de carga uniforme –r. En la cavidad: rr ER - R rˆR 2e o r rR R rr E2 R rˆ 2e o rR r - Rxˆ rR E E R E2 R xˆ 2e o En r -Rx rR ER xˆ 4e o rR E2 R xˆ 2e o rR E E R E2 R xˆ 2e o P67 Una placa infinita de material aislante tiene una densidad de carga positiva uniforme r. y vista de canto Campo en este punto está en la dirección x. Aplicamos Gauss al cilindro A x x x rAx EA = eo rx E = e ^i o