Download Sistemas de numeración

Bases Matemáticas para la Educación
Primaria
Guía de Estudio
Tema 1: NÚMEROS NATURALES.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
1
¿Cuántos alumnos hay en la clase?
(Se pregunta a un alumno colocado al frente de la clase:)
(1) Halla la respuesta sin decir ninguna palabra,
mentalmente.
(2) Escribe la solución en un papel; no la digas en voz
alta.
• (OBSERVAR QUÉ HACE PARA HALLAR LA SOLUCIÓN
DEL PROBLEMA)
(3) Explica cómo has encontrado la respuesta y justifica
que esa es la solución
2
(4) Halla cuántos alumnos hay en la clase. Ahora
“contando” en voz alta.
• OBSERVAR LO QUE HACE Y DICE
• Para “cuantificar” has debido “contar”
(enumerar), y para contar, has establecido una
ordenación.
(5) ¿Qué lugar ocupas en esa ordenación?
3
• Supongamos que tenemos que comunicar el
“número de alumnos” de la clase a un
extraterrestre, que obviamente no conoce el
español, ni ninguna lengua hablada en la
Tierra, ni tampoco los símbolos indoarábigos
(0, 1, 2, …), ni los símbolos romanos, etc.
(6) ¿Cómo podríais comunicar a este personaje
el tamaño de la clase?
4
Solución del problema de
cuantificación
¿Cuántos alumnos hay en la clase?
• Decido un orden para hacer la enumeración
sistemática de los elementos (p.e., de
principio al final, de derecha a izquierda).
• Cuento: uno, dos, tres, …(recitado mental, o
verbal)
• El último número recitado, p. e., “noventa y
uno”, es la solución del problema.
5
SISTEMAS NUMERALES
Cuando comunicamos a otras personas, o a
nosotros mismos, el tamaño o cantidad de
elementos de un conjunto de objetos discretos
podemos hacerlo usando diferentes recursos y
procedimientos:
6
1) En nuestra cultura occidental, actual, está generalizado el uso
de las “palabras numéricas”, uno, dos, tres, …, y los símbolos
numéricos indoarábigos, 1, 2, 3, ....
• Estas colecciones ilimitadas de palabras y símbolos son las
que hemos usado para informar del “número de alumnos de
la clase” (su tamaño o numerosidad).
• Para ello hemos debido aplicar un procedimiento riguroso de
conteo, poniendo en correspondencia biyectiva (uno a uno)
cada alumno de la clase con una, y solo una, palabra numérica
recitadas en un orden establecido.
7
Pastor primitivo quiere saber si han vuelto las
mismas vacas que han salido
Principios del conteo (recuento)
• Principio del orden estable. Las palabras numéricas uno, dos,
tres, ... deben recitarse siempre en el mismo orden, sin
saltarse ninguna.
• Principio de la correspondencia uno a uno. A cada elemento
del conjunto sometido a recuento se le debe asignar una
palabra numérica distinta y sólo una.
• Principio de irrelevancia del orden. El orden en que se cuentan
los elementos del conjunto es irrelevante para obtener el
cardinal del conjunto.
• Principio cardinal. La palabra adjudicada al último elemento
contado del conjunto representa, no sólo el ordinal de ese
elemento, sino también el cardinal del conjunto.
9
2) Pero antes de aplicar el procedimiento oral, o el escrito,
hemos usado otro diferente: el “conteo mental”, para lo cual
usamos una versión mental, imaginada, de cada una de las
palabras o símbolos numéricos perceptibles.
• Debemos reconocer la existencia de unos objetos mentales
que se corresponden con las palabras y los dígitos numéricos,
que podríamos llamar “símbolos numéricos mentales”.
• En el conteo mental tenemos que poner también en
correspondencia cada alumno de la clase con uno y solo uno
de los símbolos numéricos mentales, respetando los
“principios del recuento”.
10
Pastor primitivo quiere saber si han vuelto las
mismas vacas que han salido
3) En la fase de trabajo en equipo hemos utilizado otros medios
de expresar el tamaño, numerosidad, número de elementos (o
cardinal) del conjunto de alumnos de la clase.
• Por ejemplo:
– La colección de marcas ///…, o cuadraditos, sobre el
papel, tantos como elementos tiene el conjunto.
– Una combinación de símbolos para distintos
agrupamientos parciales (* para indicar diez alumnos, /
para expresar una unidad).
– Etc.
12
Sistemas numerales
Cada uno de estos “sistemas de objetos perceptibles” usados
para expresar la “propiedad” de los conjuntos “número de
elementos”, o cardinal, es un “sistema numeral”.
Para que efectivamente sirvan a este fin deben cumplir una serie
de reglas, las cuales fueron sintetizadas por el matemático
italiano Peano.
13
Axiomas de Peano
1. A cada objeto le corresponde otro que se llama su siguiente o
sucesor.
2. Existe un primer elemento, 1, que no es sucesor de ningún
otro elemento.
3. Dos elementos diferentes de N no pueden tener el mismo
sucesor (la función sucesor es inyectiva).
4. Todo subconjunto de N que contiene un primer elemento y
que contiene el sucesor de cada uno de sus elementos
coincide con N (principio de inducción).
14
• El 1 es un número natural.
• Si n es un número natural, entonces el sucesor de n
también es un número natural.
• El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
• Si hay dos números naturales n y m con el mismo
sucesor, entonces n y m son el mismo número
natural.
• Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y
además siempre se verifica que: dado un número
natural cualquiera que esté en A, su sucesor también
pertenece a A; entonces A es precisamente el
conjunto de todos los números naturales.
15
Ejemplos:
• En principio cualquier colección ilimitada de objetos,
cualquiera que sea su naturaleza,
• I, II, III, IIII, IIIII, ….
• I, II, III, IV, V …
• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ….
• Uno, dos, tres, …., once, doce, …. Mil, …
Un sistema numeral, siempre está organizado siguiendo los
axiomas de Peano.
• Estos sistemas numerales se dice que son conjuntos
naturalmente ordenados.
16
NÚMEROS NATURALES
• Ya sabemos lo que son los sistemas numerales, las reglas que
tiene que cumplir un conjunto de objetos para que se puedan
usar como medio para CUANTIFICAR y ORDENAR colecciones
de objetos.
• Pero entonces, ¿qué son los números naturales?
• Una vez que tomamos conciencia de que, además de los
símbolos indoarábigos, 1, 2, 3, …, podemos usar una infinita
variedad de “objetos” (perceptibles, manipulables, audibles,
mentales, propiedades abstractas, …) para cuantificar y
ordenar las colecciones finitas de otros objetos debe resultar
conflictivo decir que los números naturales son los símbolos,
1, 2, 3, …
17
• La única solución es decir que un número natural es un
elemento de CUALQUIER SISTEMA NUMERAL y el conjunto de
los números naturales será cualquier sistema numeral, no un
sistema numeral particular.
• Ahora bien, como todo sistema numeral viene caracterizado
por una estructura u organización recursiva específica (los
axiomas de Peano) también podemos decir que el conjunto de
números naturales se caracteriza por la estructura de
cualquier sistema numeral.
• Cada número particular será un elemento de dicho sistema.
18
• En la vida cotidiana y en la práctica escolar los números
naturales se asimilan al sistema de símbolos y palabras
numéricas, 1, 2, 3, …, uno, dos, tres, …, one, two, three, …,
porque ciertamente estos sistemas numerales constituyen
sistemas naturalmente ordenados.
19
Otros usos de los números
• Uso formal o algorítmico de los números:
Además de los usos como cardinal (para cuantificar) y ordinal
(para ordenar) los números se usan de manera formal o
algorítmica (se opera con ellos). Los números constituyen
estructuras algebraicas definidas a partir de operaciones con
ellos y las propiedades derivadas de dichas operaciones.
• Números y medida: Al medir una cantidad tomando otra
como unidad se trata de hallar CUÁNTAS unidades hay en la
cantidad a medir. Es un uso cardinal, aunque requiere aplicar
nuevas técnicas para la medición.
• Usos no “numéricos”, los números como códigos o etiquetas
(D.N.I., teléfonos, …)
20
Tema 1: Números naturales. Sistemas
de numeración
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
21
Situación introductoria A
• Un extraterrestre llega a la Tierra. Viene de una galaxia
lejana y su misión es contactar con los terrícolas e
intercambiar información. Una vez superadas las
dificultades de idioma el extraterrestre se interesa, entre
otras muchas cosas, por el sistema de numeración escrito
que se usa en la Tierra. Los hombres de la Nasa se lo
explican y él comenta: "Ah! Es el mismo sistema que
utilizamos nosotros, pero nosotros usamos solamente
cuatro símbolos, el del cero (  ), el del uno (  ), el del
dos (  ) y el del tres ( T )".
• A) ¿Cómo escribe el extraterrestre el número 9?
• B) el 14; C) el 47; D) el 2356
22
Situación B
• El Parlamento Europeo, después de varios asesoramientos
científicos, decide cambiar el número de símbolos de nuestro
sistema de numeración escrito. Las opciones que se barajan
como mejores son la de utilizar sólo seis símbolos (0, 1, 2, 3, 4,
5) o la de utilizar doce símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B).
• (1) Mientras el Parlamento discute nosotros vamos a escribir
los primeros 25 números en esos nuevos sistemas.
23
1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 12 13 …
1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 12 13 …
BASE 6
BASE 12
(2) ¿Cómo se escribiría el número 151(10 en las bases 6
y 12?
24
Applet
http://www.cleavebooks.co.uk/scol/calnumba.htm
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_152_g_3_t
_1.html
25
Necesidad de aumentar el tamaño de las
colecciones de objetos numéricos
La aparición en el Neolítico de sociedades
estatales y del entramado administrativo que
una sociedad de este tipo conlleva plantear la
necesidad de:
• obtener el cardinal de colecciones formadas
por muchos objetos (colecciones muy
numerosas).
• recordar los cardinales correspondientes a
muchas colecciones
26
La contabilidad de un Estado exige la representación de
números grandes y el almacenamiento de esos números de
forma que sean fácilmente localizables. Pero eso supone:
• la invención de muchas palabras numéricas o la
utilización de muchos objetos numéricos para
representar grandes números.
• la búsqueda de sistemas de representación de los
números (sistemas numerales) que permitan al receptor
del mensaje entenderlo con rapidez.
• la búsqueda de sistemas de representación de los
números que permitan guardarlos en memoria de forma
duradera, accesible y ocupando poco espacio.
27
Para resolver estas exigencias, las diferentes sociedades
han creado sistemas de numeración compuestos por
un pequeño número de signos que combinados
adecuadamente según ciertas reglas sirven para
efectuar todo tipo de recuentos y representar todos los
números necesarios a esas sociedades.
28
Para ello se han basado en dos principios:
• los signos no representan sólo unidades sino también grupos
de unidades. A cada uno de esos grupos de unidades se le
llama unidad de orden superior. Al número de unidades que
constituye cada unidad de orden superior se le llama base del
sistema de numeración.
• cualquier número se representa mediante combinaciones de
los signos definidos en el sistema de numeración.
29
Algunos ejemplos de sistemas de numeración
escritos
a) Sistema jeroglífico
egipcio
30
b) Sistema chino
31
Tipos de sistemas de numeración
a) Sistema aditivo regular
• En este sistema se definen símbolos para la
unidad, la base y las potencias de la base. El
número representado se obtiene sumando los
valores de los signos que componen su
representación.
• El sistema egipcio es un ejemplo de sistema
aditivo regular de base 10
32
a) Sistema aditivo regular
¿243688?
33
b) Sistema multiplicativo regular
• En él se definen símbolos para la unidad, la base, las
potencias de la base y todos los números comprendidos entre
la unidad y la base.
• El número representado se obtiene multiplicando cada
potencia de la base por el valor del símbolo que le precede y
sumando los resultados junto con las unidades.
• Un ejemplo de este tipo de sistemas es el sistema chino de
numeración que es un sistema multiplicativo regular de base
10
34
b) Sistema multiplicativo regular
35
c) Sistema posicional regular
• En este sistema se definen símbolos para la unidad y los
números comprendidos entre la unidad y la base. También se
define un símbolo, el cero, para indicar la no existencia de
unidades. En cambio, no se definen símbolos específicos para
la base, ni para las potencias de la base, representándose
éstas por medio de combinaciones de los símbolos de la
unidad y del cero.
• En estas condiciones, cada uno de los signos que componen
la representación del número, dependiendo del lugar que
ocupa, hace referencia a las unidades o a una determinada
potencia de la base.
• El número representado se obtiene de la misma manera que
en un sistema multiplicativo.
• Nuestro sistema de numeración escrito es un ejemplo de
sistema posicional decimal
36
Reglas de los sistemas de numeración
posicionales
•
Elegido un número b >1 como base del sistema de
numeración, se utilizan b símbolos, llamados cifras o
guarismos (0, 1, 2, ..., b-1) que representan el cero y los
primeros números naturales.
•
Cada b unidades simples (o de 1er orden) forman una
unidad de 2º orden, y se escribe a la izquierda de las
unidades de 1er orden. (Principio del valor relativo de las
cifras)
37
•
Se continúa el proceso como en 2)
•
Cuando no hay unidades de un orden (carencia de
unidades) se expresa mediante un 0 en la posición
correspondiente.
•
La base b se representa por 10(b (es la unidad de 2º
orden); la unidad de tercer orden, b2 se expresará
como 100(b .
38
Numeración romana
•
•
•
•
Los símbolos I (uno), X (diez) , C (cien) y M (mil) son los
‘principales' y los símbolos V (cinco), L (cincuenta) y D
(quinientos) los 'secundarios'.
Los símbolos principales no se pueden repetir más de tres
veces y los secundarios no pueden repetirse ninguna vez.
Todo símbolo situado a la derecha de uno de igual o mayor
valor se suma. Si un símbolo principal está situado a la
izquierda de un símbolo de mayor valor se resta.
A la izquierda de un símbolo solo se puede poner como
símbolo de menor valor el símbolo principal
inmediatamente anterior.
39
•
Los millares, diezmillares, cienmillares, etc. de los
números mayores o iguales que 4.000 se escriben
como si fueran unidades, decenas, centenas, etc.,
colocándoles una raya horizontal por encima.
•
Por ejemplo, 583.459 se escribe, DLXXXIII CDLIX.
•
Estamos pues ante un sistema de tipo aditivo, aunque
con irregularidades, de base 10 y con una base auxiliar
5.
Este sistema todavía lo usamos nosotros para indicar
ordinales y fechas.
•
40
Estudio personal:
• Estudiar los apartados 2.1. y 2.2. (págs. 24 y 25) y los
apartados 3.2 a 3.6 (págs., 29 a 34) del libro,
• Godino, J. D. (Director) (2004). Matemáticas para maestros.
Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad
de Granada. (Recuperable en,
http://www.ugr.es/local/jgodino/)
• Realizar las actividades del Cuaderno de Prácticas en la sesión
de Seminario (Material multibase y ábacos).
• Resolver personalmente y comprobar posteriormente los
ejercicios resueltos disponibles en el Tablón de Docencia.
41
Trabajo en equipo:
• Realizar las actividades programadas en el
Cuaderno de Prácticas (Trabajo en equipo)
que se entregará en la clase de Seminario.
• Las actividades deberán terminarse durante la
semana y se entregará el Cuaderno
cumplimentado al comienzo de la siguiente
sesión del Seminario.
42
Ejercicios:
43
1. Expresa mediante nuestro sistema oral
ordinal los números 11, 14, 27, 53, 99, 135, 366,
584 y 1336
44
1. Expresa mediante nuestro sistema oral
ordinal los números 11, 14, 27, 53, 99, 135,
366, 584 y 1336
Solución:
Undécimo; décimo cuarto; vigésimo séptimo;
quincuagésimo tercero; nonagésimo noveno;
centésimo trigésimo quinto; tricentésimo
sexagésimo sexto; quingentésimo octogésimo
cuarto; milésimo tricentésimo trigésimo sexto.
45
2. Expresa los números 457 y 17089 mediante:
a) un ábaco japonés
b) el sistema de numeración romano
c) sistema de numeración egipcio
d) sistema de numeración chino
46
2. Expresa los números 457 y 17089 mediante:
a) un ábaco japonés
47
2. Expresa los números 457 y 17089 mediante:
b) el sistema de numeración romano
457 = CDLVII;
17.089 =XVII LXXXIX
48
2. Expresa los números 457 y 17089 mediante:
c) sistema de numeración egipcio
457=
17089
49
2. Expresa los números 457 y 17089 mediante:
d) Numeración china
457=
17089
50
3. El uso de la base 10 en el sistema de
numeración indoarábigo se puede suponer que
se debe a que tenemos 10 dedos entre ambas
manos. Supongamos que entre los marcianos
ocurrió lo mismo, esto es, usaron un sistema de
numeración basado en el número de dedos de
sus manos. ¿Cuántos dedos tenían los
marcianos en sus manos si sabemos que en
dicho planeta el número diecisiete se escribía
21?
51
3. El uso de la base 10 en el sistema de
numeración indoarábigo se puede suponer que
se debe a que tenemos 10 dedos entre ambas
manos. Supongamos que entre los marcianos
ocurrió lo mismo, esto es, usaron un sistema de
numeración basado en el número de dedos de
sus manos. ¿Cuántos dedos tenían los
marcianos en sus manos si sabemos que en
dicho planeta el número diecisiete se escribía
21?
Solución:2b + 1 = 17; base 8, (cuatro dedos en
cada mano)
52
4. Construye un sistema aditivo de base 12 y
utilízalo para expresar los números 1.245.674,
23.478 y 100
53
4. Solución:
Necesitamos inventar símbolos para la unidad y
las sucesivas potencias de la base. Estos pueden
servir:
1 = /; 12 = a; 122 = b; 123 = c; 124 = d; 125 = e;
etc.
54
a) 1.245.674
Expresamos el número en base 12 por el
procedimiento habitual de ir dividiendo
sucesivamente por 12.Obtenemos:
1.245.674 = 5.125 +10.122 + 6.12 +2. Como el
sistema es aditivo cada símbolo se repite el
número de veces que expresa el coeficiente de
las potencias de 12, o sea,
1.245.674 = eeeee bbbbbbbbbb aaaaaa //
55
b) Con igual método el número 23.478 quedaría
así:
23478 = 1.124 +1.123 + 7.122 +6 = d c
bbbbbbb//////
c) 100 = 8.12 +4 = aaaaaaaa ////
56
5. Construye un sistema multiplicativo de base 8
y utilízalo para expresar los números 32768,
5400 y 89.
Haz las transformaciones necesarias para
convertirlo en un sistema posicional de base 8.
Vuelve a escribir los números anteriores en el
nuevo sistema.
57
Solución:
Se deben elegir símbolos para la unidad, la base,
las sucesivas potencias de la base y los números
menores que la base. Por ejemplo,
• 1 = /; 2 = ; 3 = ; 4 = ; 5 = ; 6 = ; 7 = 
• 8 = ; 82 = 64 = ; 83 = 512= ; 84 = 4.096 = ;
85 = 32.768 = ; ...;
• El número 32.768 = 
• El número 5.400 expresado en base 8 es: 5400
= 84 + 2.83 + 4.82 + 3.8. Por tanto, en el
sistema multiplicativo inventado: 5400 = /  
    ;
58
Para convertirlo en un sistema posicional hay
que convenir el uso de un símbolo para cero que
permita expresar la carencia de unidades de un
cierto orden. Por ejemplo:
• 0 = . El número 5400, en este sistema
posicional inventado quedaría:
• 5400 = /    
• El número 89, expresado en base 8 quedaría
89 = 1.82 +3.8 + 1
• En el sistema multiplicativo inventado se
expresa: 89 = /  /
59
Efectúa los cambios de base siguientes:
a) 3415 (de base 10 a base 3);
b) 999 (de base 10 a base 7);
c) 25842 (de base 10 a base 12);
d) 1001110 (de base 2 a base 10);
e) ABC6 (de base 13 a base 10);
f) 33421 (de base 5 a base 3);
g) 34250 (de base 6 a base 4)
h) 102102 (de base 3 a base 7).
60