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TEMA 6 – SEMEJANZA 6.1 – Figuras semejantes Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. • Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. • Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. • Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos. TEMA 6 – SEMEJANZA 6.1 – Figuras semejantes: Planos Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales. ML M 'L ' es la razón de semejanza Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. TEMA 6 – SEMEJANZA 6.2 – Teorema de Tales Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. Toda recta paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo semejante al grande. Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes TEMA 6 – SEMEJANZA 6.3 – Semejanza de triángulos Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. a b c k El cociente a ' b' c' se llama razón de semejanza. TEMA 6 – SEMEJANZA Matemáticas 6.3 – Primer criterio de semejanza de triángulos 4º E.S.O y 1º Bach. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. A = A‘ y B = B‘ C = C' C' C' C'' C A B A' B' A' • Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes. • Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener un lado igual y los ángulos iguales. • Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'. B'' B' TEMA 6 – SEMEJANZA Matemáticas 6.3 – Segundo criterio de semejanza de triángulos 4º E.S.O y 1º Bach. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales. a ' b' c' C a b c b a A c C' C' b' C'' a' B' B'' A' c' • Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes. • Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener un lado igual y ser los lados de ambos proporcionales a los del triángulo A'B'C' con la misma razón de proporcionalidad. • Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'. B A' B' TEMA 6 – SEMEJANZA Matemáticas 6.3 – Tercer criterio de semejanza de triángulos 4º E.S.O y 1º Bach. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual. b' c' y A A' Cb c b' b a A c C' C' C'' a' B' A' B'' c c' • Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes. • Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener dos lados proporcionales con la misma razón de proporcionalidad y el ángulo comprendido igual. • Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'. B A' B' TEMA 6 – SEMEJANZA 6.4 – Teorema de Pitágoras Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. • En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. • Si los lados de un triángulo verifican la relación de Pitágoras, el triángulo es rectángulo. 32 + 42 = 52 TEMA 6 – SEMEJANZA 6.4 – Teorema del cateto Cateto c c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. Cateto b b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma En un triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma. TEMA 6 – SEMEJANZA 6.4 – Teorema de la altura Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. Son ambos rectángulos Los triángulos I y II son semejantes ya que: B B* Se deduce que: m h b h n c h2 = mn En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. TEMA 6 – SEMEJANZA 6.5 – Áreas de figuras semejantes IA = 1 pA= 4 SA= 1 Cuadrado A Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. IB = 2 pB = 8 SB= 4 Cuadrado B IC = 3 pC = 12 SC= 9 Cuadrado C Com param os los cuadrados Razón de sem ejanza Razón de perím etros Razón de áreas ByA IB 2 2 k IA 1 PB 8 2 k PA 4 SB 4 2 4 k SA 1 CyA Ic 3 3 t IA 1 Pc 12 3 t PA 4 Sc 9 2 9 t SA 1 CyB IC 3 s IB 2 PC 12 3 s PB 8 2 SC 9 3 SB 4 2 2 s 2