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CAPÍTULO V
SEGMENTOS PROPORCIONALES
Conocimientos previos:
31
Suponemos conocido que:
a) Razón o relación de dos números: es su cociente (
b) Proporción es la igualdad de dos razones:
a
b
=
a
b
)
c
d
; a y c
=
antecedentes; b y d = consecuentes; a y d = extremos; b y c =
medios.
c) Razón de dos segmentos es la razón de sus longitudes, expresadas en la
misma unidad.
d) La razón de 2 segmentos no varía, si se cambia la uni dad de medida (Por
ejemplo, 2 segmentos expresados en m etros o en centímetros: en el 2º
caso, sus medidas son 100 veces mayores, pero el cociente no varía).
e) En una proporción:
1) La suma (diferencia) de antecedentes, dividida por la suma
(diferencia) de consecuentes, es igual a una cualqui era de las razones:
2)
3)
a
c
a +c
a−c
a c
=
=
=
b d
b+d
b−d
b d
a +b c+ d a −b c −d a +b c +d
=
=
;
=
;
a
c
a
c
b
d
a −b c −d
=
b
d
a −b c −d
=
(Exprésese en palabras y demuéstrense).
a +b c+ d
f) E n una proporción se pueden permu tar los medios y los extremos:
a b
=
⇒
b b
a b
d c
=
⇒
=
c d
b a
g) En una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de
los medios.
h) En una serie de razones iguales, la suma de antecedentes dividida por
la suma de consecuentes es igual a una cualquiera de las razones:
a c e g
= = =
b d
f h
a +c+e+ g a
=
b+d + f +h b
32
Teorema V-1 (Teorema de Thales de Mileto)
Si un sistema de paralelas corta a 2 rectas
r
y
r ', determina sobre ellas
segmentos homólogos (correspondientes) proporcionales.
Explicación:
AB
BC
AC
=
=
A' B ' B ' C ' A' C '
Segmentos homólogos o correspondientes: en este caso, los limitados por las mismas
paralelas: Homólogo de AB, A'B', etc.
Dem.: Paso 1); Si dos segmentos de r son iguales, los 2 homólogos de r' también lo
son (hay correspondencia en la igualdad).
Sea MN = NP (hipótesis). Demostraremos que
M ' N ' = N ’ P ' (tesis).
33
Trazando por M y N paralelas a
r ' obtenemos los triángulos MNN" y NPP"
que son congruentes (MN = N P , α
y
β iguales
a
α’
y
β’
por,
correspondientes).
Luego MN" = NP"; luego M' N' = N' P'
Paso 2 ) Si un segmento de
r
es igual a la suma de otros dos de r, el homólogo del
primero en r' es igual a la suma de los homólogos de los 2 os (hay correspondencia en
la suma).
Hipótesis: ST + TU = UV; Tesis S'T' + T'U' = U'V'.
Trazando paralelas a r' por S y por U, son iguales
SU" y UV"; luego ST" + T"U" = UV" o sea S' T' + T'U' = U'V'
Paso 3) Habiendo correspo ndencia en la igualdad y en la suma, se puede
demostrar con absoluta gene ralidad que los segmento homólogos
son proporciona les.
Aquí nos limitaremos a demostrarlo para el caso parti cular (suficiente en la
práctica técnica) de que los segmentos tengan medid as racionales (es decir, al ser
medidos arroj an números racionales, como
m
n
siendo m y n enteros).
m1

AB
=

n1

Sean las medidas de: 
CD = m2

n2
m1n2
n1 n2
m 2n1
med. CD =
n2 n1
Poniéndoles común denominador: med. AB =
Ello quiere decir que dividiendo la unidad de medida en n1n2partes iguales,
caben exactamente m1n2en AB y m2n1en CD.
Suponiendo dividido AB en m1n2 partes, se trazan paralelas del sistema por
los e x t r e m o s de cada una (en e l dibujo se han trazado 3) las cuales determinarán
m1n2 partes también iguales en A'B'; se hace lo propio con CD, obteniendo m2n1
partes iguales en C'D' (e iguales a las de A'B').
Tomando cada una de estas partes como unidad de longitud sobre r', la
medida de A'B' será m1n2 y la de C'D' será m2n1: o sea:
A' B' m1n2
=
razón que se cumple para cualquier unidad de longitud.
C ' D' m2n1
AB m1n2 A' B '
Por otra parte:
=
=
CD n1m2 C ' D'
AB
CD
permutando los medios:
=
A' B ' C ' D '
como queríamos demostrar.
Teorema V-2 Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros 2 en
segmentos proporcionales .
Dem.: Sea un triángulo ABC y trazamos una paralela al lado BC que corta a
los otros dos lados en B' y C’:
35
Suponemos trazada la paralela a BC que pasa por A. Aplicando al sistema de
3 paralelas el Teorema de Thales:
AB ' B' B AB
=
=
AC ' C ' C AC
como queríamos demostrar.
Teorema V -3 (recíproco del anterior) Si una recta corta a 2 lados de un triángulo (o a
sus prolongaciones) determinando segmentos proporcionales a ellos (y situados
ambos al mismo lado del vértice común), es paralela al 3er. lado.
Dem.: Sea un triángulo ABC y una recta r que corta a dos lados en A' y C'
tales que
AA ' AC '
=
AB AC
o sea
AB AC
=
AA ' AC '
(hipótesis)
Trazamos r’ paralela a BC por A’; corta a AC en C’’ .
En virtud del teorema V-3:
AB ' AC ' '
=
BB' C ' ' C
o sea
AB
AC
=
AA ' AC ' '
36
AC ' =
AA' xAC
AA ' xAC
; AC ' ' =
AB
AB
siendo AC' = AC", C' debe coincidir con C" y por tanto r debe coincidir con r" y
ser paralela a BC.
Triángulos Semejantes
Dos triángulos son semejantes cuando tienen los ángulos respectivamente
iguales, y los lados homólogos (opuestos a ángulos iguales) proporcionales.
son semejantes si .
 =  ’;
B̂ = B̂ ’;
Ĉ = Ĉ ’
a b c
= = = k = razón de semejanza
a ' b' c '
Teorema V-4 (Teorema fundamental de los triángulos semejantes): Toda paralela a un
lado de un triángulo for ma, con los otros dos l a d o s (o con sus prolongaciones ) otro
triángulo semejante al primero.
Dem.: Sea un triángulo ABC; trazamos
r
paralela a BC; corta a los lados en B'
y C'.
Decimos que ABC y A B 'C' son semejantes; porque:
Â
igual por común
B̂ = B̂ ' por correspondientes; Ĉ = Ĉ ' por lo mismo.
AB AC
=
por teorema V - 2
AB ' AC '
es
37
Trazamos por C', C'B" paralela a AB.
BB ' ' BC
AC
BC
=
por Teorema V-2;
=
, BB'' = B'C'
AC ' AC
AC ' BB ' '
AB AC
BC
luego
=
=
: los lados son proporcionales.
AB ' AC ' B ' C '
Siendo los ángulos respectivamente iguales y los lados
proporcionales, los triángulos son semejantes.
homólogos
Teorema V - 5 Todo triángulo A'B'C' semejante a otro ABC es congruente con un
triángulo formado por 2 lados de ABC y una paralela al 3er. lado.
Dem.: Tomemos sobre AB el punto B" de modo que AB" = A'B' Tracemos B"C"
paralela a BC. El triángulo AB"C" es semejante a ABC.
38
 = Â'
B̂ '' = B̂ = B̂ '
Ĉ '' = Ĉ = Ĉ '
AB
AC
=
=
AB ' ' AC ' '
AB
AC
=
=
A' B ' A' C '
BC
por ser semejantes ABC y AB"C"
B' ' C ' '
BC
por ser semejantes ABC y A'B'C'
B' C '
Dividiendo ordenadamente los tre s miembros de las igualdades anteriores, se
obtiene:
A'B' A'C' B'C'
=
=
AB'''''' A' C ' B 'C '
A' C ' B ' C '
1=
=
AC ' ' B ' ' C ' '
y como AB" = A'B'
o sea A' C' = AC'' ;
B'C' = B''C''
o sea AB"C" y A'B'C' tienen lados y ángulos respectivamente iguales y son,
por tanto, congruentes.
Casos de Semejanza de Triángulos
De acuerd o con la definición de triángulos semejantes, para saber si un
triángulo ABC es semejante a otro A'B'C', habría que averiguar si:
Â
=
 ';
B̂
=
B̂ ’; Ĉ
=
Ĉ ';
a b c
= =
a ' b' c '
Sin embargo, no es necesario comprobar todas estas condiciones, pues no
son independientes; basta que comprobemos que se cumplen algunas, para
poder asegurar que también se cumplen las demás.
Las condiciones mínimas se ex presan por medio de los siguientes casos:
Teorema V -6 Dos triángulos son semejantes en los casos siguientes:
Caso 1) Cuando tienen 2 ángulos respectivamente iguales.
Caso 2) Cuando tienen un ángulo respectivamente igual y los lados que lo
forman son proporcionales.
39
Caso 3) Cuando tienen los 3 lados respectivamente pro porcionales.
Dem.: Sean ABC y A'B'C' los triángulos
Caso 1) Debiendo sumar 180º los 3 ángulos, el 3er. ángulo es también
igual.
Tomando sobre AB la distancia AB" = A'B' y trazando B "C"
paralela a BC obtenemos AB"C" semejante a ABC y
congruente con A'B'C'.
Luego A'B'C' es semejante a ABC.
Caso 2) sea
Â
=
 '
y
AB
AC
=
A' B ' A' C '
Trazando AB"C" de la misma forma que en el ca so anterior,
AB"C" resulta congruente con A'B'C' y semejante a ABC.
Caso 3) Obtenemos A''B"C" congruente con A'B'C' (lados i guales).
Semejanza directa e inversa
Supongamos un triángulo ABC en el piso (plano) y un ob servador situado
dentro de é l (con los pi es dentro del triángulo). Si mira sucesivamente a los
vértices A, B y C puede ser que tenga que girar en sentido contrario al de las
agujas del reloj (sentido positivo) o en el mismo sentido (sen tido negativo). Sea el
mism o observador en un triángulo se mejante A'B'C'. Si para m irar a A', B' y C'
debe girar en el mismo sentido que antes, la semejanza se llama directa. En caso
contrario, se llama inversa.
40
Teorema V-7 Si un haz de rectas corta a dos paralelas, determina sobre ellas
segmentos homólogos proporcionales.
(Haz de rectas es el conjunto de rectas que pasan por un punto V, llamado
vértice del haz).
Dem:
Queremos demostrar que
AB
BC
CD
AC
=
=
= ... =
...
A' B ' B' C ' C ' D '
A' C ' =
Los triángulos VAB y VA'B' son semejantes:
VB
AB
=
VB ' A' B'
También lo son los VBC y VB'C'
VB
BC
=
VB ' B' C '
igualando las dos proporciones (tienen una razón común):
AB
BC
=
A' B ' B ' C '
lo mismo podríamos seguir haciendo, en forma consecutiva, con los restantes
triángulos.
41
ALGUNAS APLICACIONES
1)
Dividir un segmento en n partes iguales.
Dado un segmento AB, desde A trazamos una recta
r
y sobre ella colocamos n
partes iguales arbitrarias. Un imos el extremo de la última, E, con B; y por los
extremos de las restantes, trazamos paralelas a EB.
2)
Fig. V -12
Dividir un segmento en 2 partes proporcionales a otros dos segmentos m y n.
Sea AB el segmento a dividir
Por A y B se trazan dos s emirrectas paralelas y en sent ido contrario; sobre ellas
se colocan m y n; se unen los extremos, obteniendo el punto P.
Por semejanza de triángulos:
m x
= ;
n y
x + y = AB
3)
42
En una recta que contenga 2 puntos A y B, hallar puntos X tales que sus
distancias a A y B sean proporcionales a m y n
Por A se traza una semirrecta y se toma sobre ella m; por B se traza una
paralela a ella y se toma n en los dos semiplanos. Se unen los 2 puntos MN' y MN
obteniendo X 1 (interior a AB) y X2 (exterior a AB) que cumplen.
Puede demostrarse que ningún otro punto, interior ni exterior, puede cumplir la
condición propuesta:
AX 1 X 1B
AB
AB
=
=
; AX 1 = m
;
m
n
M+N
m+n
cualquier, otro punto interior que cumpliera X '1, daría que su distancia a A es:
AX' = m
AB
m+n
igual; luego coincidiría con X1.
Demostración análoga se hace con X
2
Luego: los 2 puntos obtenidos son los únicos que cumplen.
Nota: La solución X2 se pierde cuando m = n, pues en este caso MN es paralela a
AB. En lenguaje matemático, puede decirse que para este caso, "X 2 está en el
infinito".
43
4) Algunos teoremas muy útiles son sencillas consecuencia de lo anterior.
Por ejemplo:
Teorema V - 8 El segmento que une los puntos medios de los lados de un
triángulo, es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.
Dem : porque forma con la s mitades de dos lados un triángulo
semejante , de razón de semejanza igual a 1/2.
Teorema V-9 Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado
baricentro (que significa centro de gravedad), situado en cada mediana a
distancia de la base (o lado) y a
2
3
1
de
3
del vértice.
Dem : en el triángulo ABC, las medianas de A y B se cortan en G.
Uniendo MB con MA, MAMB es paralelo a AB e igual a su mitad.
Los triángulos AGB y MAGMB son pues semejantes:
AB
GB
GA
=
=
=2
M A M B GM B GM A
o sea GB = 2 x GM B; GA = 2 x GM A
se cortan (estas dos m edianas) en un punto a la 3a. parte de la base.
Como ese punto es único para AMA, al repetir el proceso anterior para la mediana
de B y la de C, se encontrará igualmente que esta última pasa también por G y
que está a
1
3
de su propia base.
44
Teorema V - 10 En dos triángulos semejantes, la razón de semejanza de los
lados es también la razón que tienen entre sí:
a)
b)
c)
d)
e)
las alturas homólogas,
las medianas homólogas,
las bisectrices homólogas,
los radios de las circunferencias inscrita y circunsc rita '
los perímetros.
Dem: caso a)
Los triángulos AHC y A ' H ' C ' son semejantes, luego
b ha
=
b' h' a
De forma análoga se demuestran los casos b),c) y d)
Caso b )
2p = a + b + c
2p' = a'+ b'+ c'
perímetros
a b c a +b +c 2p
=
(lqqd)
= =
=
a' b' c' a '+b'+ c' 2 p'
EJERCICIOS
CAPÍTULO V
45
Ejercicios resueltos
V -1.
Construir un triángulo conociendo
Â
= 60º, a,
b
c
= 2.
Resolución: Podemos construir un triángulo semejante al buscado A'B'C'', que
tenga c' = 1 y b' = 2; luego lo ampliamos o reducimos para que
coincida el la do a con el dato:
para ampli arlo, tomamos B'c = a y por el extremo C trazamos CA paralela a C'A'.
V-2. Demostrar que el producto de los dos segmentos en que cada altura queda dividida
por el ortocentro, es igual en las tres alturas.
46
Los triángulos HB OA y HA OB son semejantes p or tener iguales los ángulos rectos
(en HA y HB), y los ángulos en O (opuestos por el vértice): Luego:
H B O OA
=
; OB x OH B = OA x OH A
H AO AB
lqqd.
Construir un triángulo conociendo a, mb y mc.
Resolución:
Suponiendo el problema resuelto:
Observamos que el triángulo GBC tiene lados conocidos (a,
2
2
m b, y mc
3
3
)
y por tanto podemos construirlo.
Después, prolongando CG y BG hasta completar las respectivas medianas,
hallaremos N y P que unidos con B y C darán los restantes lados del triángulo.
Aplicación:
Datos:
47
Calculemos gráficamente los 2/3 de las medianas:
Construimos BCG y com pletamos el triángulo :
Ejercicios propuestos
V-4
Construir un triángulo conociendo a, m a y mb.
V-5
Construir un triángulo conociendo a, y sabiendo que es semejante a un triángulo
dado.
48
V - 6.
Construir un triángulo conociendo
 ; B̂
y a + b + c = 2p (perímetro).
(Sugerencia: construya un tri ángulo semejante al buscado, como triángulo
auxiliar).
Â, B̂
V-7
Construir un triángulo conociendo
V - 8.
Construir un triángulo conociendo ha, ma y b.
V - 9.
y a + b - c.
Hallar gráficamente 2 segmentos x e y que cumplan:
x + y = AB (segmento dado).
x 5
=
y 3
V -10. Hallar gráficamente 2 segmentos x e y que cumplan:
x - y = AB (segmento dado)
x 5
=
y 3
(O sea, hallar 2 segmentos conociendo su diferencia y su razón).
V -11. En un triángulo ABC, los lados miden: Q = 21 cm; b = 28 cm y c = 3 5 cm. Se
trazan las bisectrices interior y exterior de C, las cuales cortan al lado opuesto en
D y D' Hallar la distancia DD'.
(R: DD' = 120 cm)
V-12.Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, se toman los puntos medios de los lados
y se unen consecutivamente. ¿Qué figura se obtiene y por qué?
(R.: un paralelogramo).