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MODULO ARITMETICA:
Números en la vida y en las
ciencias.
Prof. :Higinia Ríos
Introducción
• Mucho antes de la invención de la escritura , el
ser humano hacía marcas en los muros de las
cavernas que habitaba u ocupaba semillas para
indicar “ cuántos” . Estas marcas provienen de
contar .
• A medida que avanza el tiempo, surgió la
necesidad de contar cantidades más grandes ,
para lo que hubo que inventar nuevos
numerales y organizarlos en distintos sistemas
de numeración.
• Los números que todos usamos (1,2,3,4, etc.) son
llamados “números arábigos” para distinguirlos
de los “números romanos” (I,II,III,IV,V,VI, etc),
pero el origen de nuestro sistema viene de la
India.
• Los árabes popularizaron éstos números, pero su
origen se remonta a los comerciantes Hindúes y
fenicios que los usaban para contar y llevar la
contabilidad comercial.
ORIGEN DE LOS NÚMEROS
• Las variadas formas de representar un número dieron
origen a diversas técnicas de numeración.
• El hombre primitivo a cada elemento de un conjunto de
animales, por ejemplo, le hacía corresponder una piedra, o
bien, hacía nudos en una cuerda por cada animal que tenía.
• Más tarde inventó símbolos escritos como una mejor forma
de recordar y comunicar las ideas de número.
La palabra cálculo
viene del latín calculus, que significa piedra
• ¿Pero has pensado alguna vez por qué “1”
significa "uno", “2” significa "dos“, etc.?
• ¿Cuál es la lógica que hay detrás de los números
arábigos ?
• Curiosamente se hace una analogía con la
geometría .
• Pues muy sencillo:
Se trata de ángulos
Es pura lógica: Si escribes el número en su forma
primitiva, verás que:
El número 1 tiene un ángulo.
El número 2 tiene dos ángulos.
El número 3 tiene tres ángulos.
Y el "O" no tiene ángulos.
Una curiosidad de la forma de los
números
Número y Numeral
5
V
Numeral:
Representación de un número
por medio de símbolos.
Número: Idea que se tiene de cantidad.
¿Qué es un Sistemas de numeración?
• Un sistema de numeración es un conjunto de
símbolos , reglas y principios, que permiten
representar ideas numéricas .
Tipos de sistemas de numeración
• 1.- Aditivos : Símbolos con solo valor
absoluto. Se van añadiendo los símbolos
necesarios hasta que sumen el valor deseado.
• Ejem : egipcios
= 22
• 2.- Posicionales : Símbolos con valor absoluto
y relativo o posicional. Cada símbolo adquiere
un valor distinto dependiendo de la posición
que ocupa .
• Ejm. Sistemas de numeración de distintas
bases , quinario(5),binario(2),decimal(10).
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
• Un sistema de numeración es un conjunto de
convenios o reglas que permite escribir todos los
números utilizando un conjunto reducido de palabras y
de símbolos.
•
A lo largo de la historia este concepto ha ido
evolucionando hasta llegar a un sistema con las
características de posicional y potencial. El número en
el que se efectúan los agrupamientos para conformar
una unidad de nivel superior es llamado base del
sistema.
• El sistema que empleamos habitualmente es decimal,
es decir, de base diez.
Sistema de numeración Egipcia
• La escritura egipcia tuvo su origen alrededor del
año 3.000 a. C. Los jeroglíficos o símbolos que
usaban eran dibujos de la flora y fauna del Nilo.
• El sistema de numeración egipcio es decimal.
Esto quiere decir que agrupaban las unidades por
un lado, las decenas por otro, centenas después,
etc., exactamente de la misma forma que hoy en
día. Naturalmente ellos requieren el empleo de
símbolos para designar las cantidades dentro del
mismo grupo.
• El procedimiento era de tipo aditivo, es decir, las
cifras eran repetidas. Así, por ejemplo, si el 1 se
escribía con una línea vertical, el 4 era
representado como 4 líneas verticales. Un
símbolo no se repetía más de 9 veces seguidas, ya
que a la décima vez se utilizaba el número
siguiente. Este método aditivo implicaba que las
cantidades ocupaban mucho espacio. Los
egipcios ordenaban las cifras comenzando por la
de más valor y así hasta llegar a la unidad.
En líneas generales se puede afirmar del sistema de
numeración egipcio, que permite la descripción de
grandes cantidades y que sus principales características
son:
a) Es un sistema decimal que dispone de símbolos
específicos para las unidades del mismo orden.
b) Es aditivo dentro de cada unidad.
c) No conoce el valor de posición, ya que cada símbolo
representa la cantidad asociada al mismo
independientemente del orden en que aparezca.
d) No tiene símbolo para el cero, por cuanto no hay
necesidad de representar la ausencia de unidades en
un orden determinado.
Sistema de numeración Romana
• El sistema de símbolos para representar los números
creado por los romanos tuvo el mérito de ser capaz de
expresar todos los números del 1 al 1.000.000
utilizando sólo 7 símbolos.
• Los símbolos básicos son:
I =
X =
C =
M=
1
10
100
1000
se
pueden
repetir
3 veces
V= 5
L = 50
D = 500
no se repiten
Reglas que se deben usar para la escritura de
los números romanos:
1) Los símbolos se repiten no más de tres veces seguidas para formar números
mayores, sumándose sus valores. Los símbolos V, L, D no se repiten.
III = 1 + 1 + 1 = 3
2)
XXX = 10 + 10 +10 = 30
Los valores de los símbolos se suman cuando van a la derecha de uno mayor.
VII = 5 + 2 = 7
XV = 10 + 5 = 15
LXII = 50 + 10 + 1 + 1 = 62
3) Los valores de los símbolos se restan cuando van a la izquierda de uno mayor.
IV = 5 – 1 = 4
IX = 10 – 1 = 9
XL = 50 – 10 = 40
4) Además, I va sólo a la izquierda de V ó X ; X va sólo a la izquierda de L ó C
y C va sólo a la izquierda de D ó M.
49 = XLIX no IL
5)
Una raya encima de un símbolo, multiplica por 1000 el valor del símbolo, dos
rayas encima de un símbolo multiplica por un millón el valor del símbolo.
Las reglas de los números Romanos , se basan
en los principios de adición y sustracción. La
ubicación de los símbolos en los distintos
numerales, es de importancia en este sistema
de numeración, no así en el sistema egipcio.
EJERCICIOS
• Escriba con números egipcios y romanos lo
siguiente :
• Años de servicio en educación=
• Cantidad de alumnos=
• Compañeras(o) del post-título=
• Números:
Sistema de numeración Babilonio
• El más interesantes de todos los antiguos
sistemas de numeración es el Babilónico que
surgió aproximadamente en el año 2000 a. de C.
Fue el primer sistema posicional de numeración
conocido por nosotros. Los números en el
sistema se representaban con la ayuda de sólo
dos símbolos, una cuña vertical que representaba
a la unidad y una cuña horizontal para el número
diez. De ahí surgió la denominación de
cuneiforme para la escritura de los antiguos
babilonios.
• Con la ayuda de los dos signos mencionados,
todos los números enteros del 1 al 59
conforme a un sistema decimal se podían
escribir exactamente como en la numeración
egipcia, es decir, que los signos para el diez y
la unidad se repetían tantas veces como en el
número hubiese decenas y unidades.
• Los símbolos que configuran los números son:
• En primer lugar , observamos que este sistema
de numeración es posicional. Así un mismo
signo puede representar diferentes valores
dependiendo de la posición en que se
encuentre:
• Primera posición: 1 • 1 = 1 • 600 = 1
• Segunda posición : 1 • 60
= 60
• Tercera posición : 1 • 60 • 60
= 3600
• Cuarta posición: 1 • 60 • 60 • 60 = 216000
etc.
•
A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los
grupos de signos iban representando sucesivamente el
número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así
sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.
Ejercicios
4°
3°
x 60x60x60
X 216000
2°
x60x60
X 3600
1°
X 60
X1
¿Qué número es?
•
…………………………..
• El principio posicional, en la numeración babilónica, se
lleva a cabo en ordenes sexagesimales. Por tal motivo,
dicha numeración se llama:
SISTEMA DE NUMERACIÓN POSICIONAL SEXAGESIMAL.
•
Sistema de numeración Maya
Los mayas idearon un sistema vigesimal de base 20
con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se
representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro
puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya
horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios
para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos
rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 19.
Contaban desde el cero hasta el 19 antes de empezar
de nuevo con el siguiente orden.
• Los números de orden superior se escriben en
columnas , unos sobre otros en lugar de filas como
hacemos en la nomenclatura arábiga. Los números
de pisos superiores representan múltiplos de 20.
• El sistema de numeración Maya requirió sólo
tres símbolos:
• * La concha o caracolillo para representar el
cero
• * El punto, para representar el número uno.
•
• * La barra horizontal para representar el
número cinco.
• Hasta aquí parece ser un sistema de base 5
aditivo, pero en realidad, considerados cada
uno, un solo signo, estos símbolos constituyen
las cifras de un sistema de base 20, en el que
hay que multiplicar el valor de cada cifra por
1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que
ocupe, y sumar el resultado.
• Es por tanto un sistema posicional que se
escribe de arriba hacia abajo, empezando por
el orden de magnitud mayor.
•
Al tener cada cifra un valor relativo según el
lugar que ocupa, la presencia de un signo para
el cero, con el que se indica la ausencia de
unidades de algún orden, se hace
imprescindible y los mayas lo usaron, aunque
no parece haberles interesado el concepto de
cantidad nula.
Sistema de Numeración Binario
• El antiguo matemático Indio Pingala presentó la primera
descripción que se conoce de un sistema de numeración binario lo
cual coincidió con su descubrimiento del concepto de número cero.
• Para el sistema binario o base 2 se utilizan las cifras 0 y 1, es un
sistema posicional. Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos
unidades de un orden forman la unidad de orden superior
siguiente.
B2 =  0, 1
• Análogamente en el sistema de base 3 se utilizan las cifras 0, 1, 2,
en el de base 4 se utilizan las cifras 0, 1, 2, 3, etc. En general:
• Para traducir un numero binario a un número
decimal, hay que tener en cuenta que cada
posición de los números binarios tiene un
"peso" especifico, y que cada vez que
agregamos un cero a la derecha de un número
binario, el número decimal correspondiente se
multiplica por dos:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Número binario/ Número decimal
0
0
1
1
10
2
100
4
1000
8
10000
16
100000
32
1000000
64
10000000
128
100000000
256
1000000000
512
10000000000
1024
• Puedes notar que una forma "sencilla" de calcular el número
decimal es calcular la potencia de 2 de la posición-1 que
ocupa el dígito binario. Por ejemplo, el binario 10000 se
calcularía como 2 elevado a 4 = 16.
• El sistema binario por utilizar sólo dos
símbolos , es tremendamente útil, en
circuitos eléctricos permitiendo trabajar a
gran velocidad.
• El sistema binario en vez de estar ordenado en
potencias de 10 como el sistema decimal, está
ordenado en potencias de 2
Ejm. 5610 = 1110002
• Puesto que sólo se necesitan dos dígitos (o
bits) el sistema binario se utiliza en las
computadoras. Un número binario cualquiera
se puede representar, por ejemplo con las
distintas posiciones en una serie de
interruptores.
• La posición “encendido” corresponde al 1 y
“apagado “ al 0.
De binario a decimal
• 910 = 10012
•
1 • 23 + 0 • 22 + 0 • 21 + 1 • 20
8 + 0 + 0 + 1
=9
De decimal a binario
• 56:2= 28:2=14:2=7:2=3:2=1
0
0
0 1 1
• Se lee :
111000
Sistema de numeración Decimal
•
Características del sistema de numeración decimal:
• 1.- El conjunto de símbolos básicos, llamados dígitos, que se
usa es  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• 2.- El valor que representa un dígito de un numeral depende
de la posición que ocupe el dígito en ese numeral.
Por ejemplo, el 7 en 37 tiene un valor de 7 unidades y en el 73,
de 7 decenas.
• 3.- Cada posición representa un valor de diez veces
mayor que la que está en el lugar inmediatamente a su
derecha.
• Por ejemplo, el dígito 7 en el 37 significa 7 • 1 y en 73
significa 7 • 10.
¿ Qué es un Sistema de Numeración ?
Un Sistema de Numeración, es un conjunto de reglas y
principios, que se emplean para representar
correctamente los números.
Entre estos principios tenemos:
1. Principio de Orden
2. Principio de la Base
3. Principio posicional
1. Principio de Orden
Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por
convención, el orden se cuenta de derecha a
izquierda.
Ejemplo:
368
1er. Orden Unidad
2do. Orden Decena
3er. Orden Centena
2. Principio de la Base
Todo sistema de numeración, tiene una base, que es un
número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la
forma como debemos agrupar.
Ejemplo:
En el Sistema Decimal ( base 10) debemos agrupar las
unidades de 10 en 10, veamos:
15
Grupos
Unidades que sobran
3. Principio posicional:
En un numeral toda cifra tiene un ”valor posicional”,
veamos un ejemplo:
457
Unidades = 7•100= 7
Decenas
= 5•101 = 50
Centenas = 4•102= 400
Observación:
La suma de los valores posiciónales, nos da el número.
400 + 50 + 7 = 457
Sistema de numeración decimal
• Algo de historia
• Con frecuencia los nombres primitivos de los
números eran idénticos a las partes del
cuerpo, como dedos de las manos y de los
pies, u otras. Aun hoy, cuando hablamos de
los «dígitos» refiriéndonos a los números de 0
a 9, estamos dando testimonio de este hecho,
pues «dígito» deriva del latín «dígitus», dedo.
•
• La razón de que algunas culturas hayan usado
la base 10, salta a la vista, ya que basta con
mirarse las manos: tenemos 10 dedos. La
mano es la primera calculadora de la historia,
y su utilidad persiste, a pesar de los avances
de las modernas calculadoras electrónicas.
• Sin embargo en la historia humana se han
utilizado otras bases para los sistemas de
numeración: base 12, base 20 y base 60.
• Para explicar la elección de la base 12 , tenemos que
volver nuevamente a la mano y recordar que el ser
humano es el único primate cuyo pulgar se puede
oponer a todos los dedos. Por ello, con el pulgar se
puede ir contando, con una sola mano, teniendo en
cuenta que cada uno de los otros dedos tiene tres
falanges. Es decir, la base 12 también la tenemos en la
mano. Contar en base 12 es hacer agrupaciones de
doce elementos, con lo cual la primera agrupación es la
docena ( que al igual que la decena corresponde a la
primera agrupación), y la siguiente son doce docenas,
es decir 144 unidades. La base 12 aún se utiliza para
contar productos como los huevos.
•
• La utilización de la base 20 por culturas como
los Mayas, algunas africanas, asiática, así
como la cultura esquimal, es bastante obvia
“también se puede contar con los dedos de los
pies”
• La base 60 fue utilizada por los antiguos
babilonios, transmitida por los antiguos
astrónomos, y aún tenemos restos de ella en
nuestra cultura en la forma de medir el
tiempo y los ángulos.
• Existencia del cero
• Uno de los aspectos que hace que un sistema tenga
grandes ventajas es que cuente con el cero.
• Los sistemas de numeración posicionales que no
tuvieron la existencia del cero no perduraron. Los
únicos sistemas que tienen la presencia de este
número son el Hindú y el Maya.
• Así como no puede afirmarse con seguridad qué
civilización creó primero un sistema de numeración
de carácter posicional, sí se puede asegurar con
toda propiedad que el número cero es una
creación de las culturas mesoamericanas
• . La fundamentación de esta afirmación está
basada en que el cero hindú más antiguo
proviene de una inscripción de Cambodia, en
Indochina, que posee una fecha que
corresponde al año 604 después de Cristo. Se
sabe que las primeras fechas en que aparece
el cero en las culturas mesoamericanas
corresponde a los años 35 A. de C y 31 a. de
C, según consta en la Estela 2 de Chiapas de
Corzo y la Estela C de Tres Zapotes.
• Los hindúes sortearon el obstáculo de escribir un número como
7002 recurriendo a la palabra sunya que significa vacío, expresando
el número como “dvi zunya zunya sapta” lo que en nuestro idioma
se diría “Dos. Vacío. Vacío. Siete”.
• Los sabios de la India disponían ya de todos los ingredientes
necesarios para el establecimiento de la numeración moderna:
• ∙ Poseían cifras diferenciadas y desvinculadas de cualquier
intuición visual directa para la unidades del 1 al 9.
• ∙ Ya conocían el principio de posición.
• ∙ Acababan de descubrir el cero.
• Pero en esta fase, las cosas aún no estaban preparadas. Las nueve
cifras aún no estaban sujetas al principio de posición y esta regla,
por el momento, sólo se aplicaba en palabras. En cuanto al cero
todavía era oral. El milagro se produciría merced a la conjunción de
estas tres grandes ideas mencionadas.
• El doble descubrimiento de la regla de posición y del cero se
remonta, como muy tarde, al siglo V de nuestra era.
• A la humanidad le ha significado 5.000 años
desde que aparecieron los primeros números,
para llegar a disponer de un sistema de
numeración decimal, posicional y con la
existencia del cero. Es un período muy largo y
que, por consiguiente, indica que hubo una
gran cantidad de dificultades conceptuales
que resolver. Esto revela que su aprendizaje
por parte de los niños y adolescentes será
lento, parcial y complicado.
Sistema de numeración decimal
• Este sistema de numeración utiliza 10 símbolos o
dígitos :
•
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Es un sistema de numeración posicional, el valor
depende del lugar que ocupe cada dígito.
• Ejemplo: 24 = 20 + 4 = 2 D + 4 U
•
42 = 40 + 2 = 4 D + 2 U
• Este sistema tiene diferentes ordenes o
categorías de unidades
• 1º orden(unidades), 2º orden(decenas),3º
orden (centenas)……..
• En este sistema , 10 unidades de un orden
cualquiera hacen una unidad del orden
inmediatamente superior.
• Ejemplo: 10 unidades = 1 decena
•
10 decenas = 1 centena
•
10 centenas = 1 U. de mil
Tablero posicional del sistema de numeración
decimal
MILLO
NES
Unidad de Centena
millón
de Mil
1
1
Decena de Unidad de Centena
Mil
Mil
Decena
Unidad
1
1
1
1
1
106
105
104
103
102
101
100
10·10·10
·10·10·10
10·10·10·
10·10
10·10·10·10
10·10·10
10·10
10
1
1.000.000
100.000
10.000
1.000
100
10
1
¿Por qué enseñar el Sistema de
numeración decimal?
• Para el desarrollo del pensamiento
• -Proceso de simbolización
• -Operatividad del pensamiento
• Para otros aprendizajes matemáticos
• - Realizar operatorias
• - Expresión de fracciones decimales en notación de
numeral decimal. Ejemplo : 0,4 = 4/10.
• Medición utilizando sistema de unidades de medida
convencionales (1Km:1000m;1m:100cm.)
Diez milésimo
Cien milésimo
millonésimo
100
milésimo
101
1
centésimo
10
décimo
UNIDAD
DECENA
Tablero posicional con números
decimales
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
0,000001
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
Sistema de numeración decimal
Objetivos del currículum escolar
• Leer y escribir numerales .
• Reconocer la misma idea numérica a través
de diversas expresiones.
• Determinar el valor posicional de las cifras en
el numeral.
• Descomponer un numeral en expresiones
equivalentes
• Seleccionar la expresión equivalente de un
numeral, más adecuada para la resolución de
un determinado ejercicio de operatoria.
• Aplicar los principios de numeración decimal
a situaciones variadas ( ejm. sistema métrico
decimal).
• Establecer relaciones de equivalencia entre
distintas órdenes del sistema de numeración
decimal.
• Ejemplo:
•
2895
•
5 unidades
= 5•1=
•
9 decenas
= 9 • 10 =
90
•
8 centenas
= 8 • 100 =
800
•
2 unidades de mil
= 2 • 1000 = 2000
5
• Entonces:
• El valor de un numeral es la suma de los
productos de cada uno de los dígitos por su
respectivo valor de posición.
Hagamos
que la
matemática
sea
amigable .
Gracias