Download Propiedades de los Números Reales

Propiedades de los
Reales
Dra. Noemí L. Ruiz Limardo
2004-2005
© Derechos Reservados
Objetivos de lección
Descubrir las propiedades de los
números Reales
Identificar las propiedades de los
números Reales que ilustra un ejercicio
dado
Ejercicio de Exploración
Instrucciones
A continuación aparecen unos ejercicios que
ilustran diferentes ecuaciones.
Escribe las ecuaciones de cada ejercicio en tu
libreta.
Estudia la parte izquierda y la parte derecha de
cada ecuación y determina qué cambió.
Cada grupo de ejercicios ilustra un solo tipo de
cambio
Contesta las preguntas que aparecerán más
adelante en tu libreta.
Ejercicio 1
-2 + 3 = 3 + -2
7 + 1/7 = 1/7 + 7
-6 + -2 = -2 + -6
3 + (a + b) = (a + b) + 3
x + (2 . 8) = (2 . 8) + x
3x – 7 = -7 + 3x
Exploración Ejercicio 1
¿Qué tienen en común las ecuaciones
anteriores?
¿Qué cambio se observa de la parte
izquierda a la parte derecha de cada
ecuación (el orden de los números o la forma
como están agrupados)?
¿Qué operación matemática se afectó con el
cambio: suma o multiplicación?
Expresa en tus propias palabras lo que ilustra
esta propiedad.
Ejercicio 2
3 . (-5) = (-5) . 3
2x = x . 2
(a + b) 2 = 2 (a + b)
(-6) . ab = ab . (-6)
½ . (10 + 4) = (10 + 4) . ½
(6 – 8) . (2 + 3) = (2 + 3) . (6 – 8)
Exploración Ejercicio 2
¿Qué tienen en común las ecuaciones
anteriores?
¿Qué cambio se observa de la parte
izquierda a la parte derecha de cada
ecuación (el orden de los números o la forma
como están agrupados)?
¿Qué operación matemática se afectó con el
cambio: suma o multiplicación?
Expresa en tus propias palabras lo que ilustra
esta propiedad.
Análisis de Ejercicios 1 y 2
Conmutar significa intercambiar de orden.
La propiedad que asegura que al
intercambiar el orden de los números se
obtiene el mismo el resultado se llama:
Conmutativa.
Si la operación que se afecta es suma, se
llama Conmutativa de la Suma.
Si la operación que se afecta es
multiplicación se llama Conmutativa de la
Multiplicación.
Propiedad Conmutativa
A continuación aparece la forma general
de expresar la propiedad conmutativa:
Conmutativa de la Suma
a+b=b+a
Conmutativa de la Multiplicación
a.b=b.a
Ejercicio 3
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
-7 + (-1 + 5) = (-7 + -1) + 5
(2x + 5) + 10 = 2x + (5 + 10)
(-1 + 5) + 4 = -1 + (5 + 4)
x + (y + 2) = (x + y) + 2
Exploración Ejercicio 3
¿Qué tienen en común las ecuaciones
anteriores?
¿Qué cambio se observa de la parte
izquierda a la parte derecha de cada
ecuación (el orden de los números o la forma
como están agrupados)?
¿Qué operación matemática se afectó con el
cambio: suma o multiplicación?
Expresa en tus propias palabras lo que ilustra
esta propiedad.
Ejercicio 4
(-1 . 5) . 4 = -1 . (5 . 4)
(xy) . 2 = x . ( y . 2)
-5 (ab) = (-5a) . B
-7 . (-1 . 5) = (-7 . -1) . 5
(2x . 5) . 10 = 2x . (5 . 10)
Exploración Ejercicio 4
¿Qué tienen en común las ecuaciones
anteriores?
¿Qué cambio se observa de la parte
izquierda a la parte derecha de cada
ecuación (el orden de los números o la forma
como están agrupados)?
¿Qué operación matemática se afectó con el
cambio: suma o multiplicación?
Expresa en tus propias palabras lo que ilustra
esta propiedad.
Análisis de Ejercicios 3 y 4
Asociar significa agrupar.
La propiedad que asegura que al cambiar la
agrupación de los números se obtiene el
mismo el resultado se llama: Asociativa.
Si la operación que se afecta es suma, se
llama Asociativa de la Suma.
Si la operación que se afecta es
multiplicación se llama Asociativa de la
Multiplicación.
Propiedad Asociativa
A continuación aparece la forma general
de expresar la propiedad asociativa:
Asociativa de la Suma
(a + b) + c = a + (b + c)
Asociativa de la Multiplicación
(a . b ). c = a . (b . c)
Ejercicio 5
3 ( 4 + 1) = 12 + 3
7 ( x - y) = 7x - 7y
a (-2 + 5) = -2a + 5a
-2 (5 + -4) = -10 + 8
12x + 24 = 12 (x + 2)
5 + 15x = 5 ( 1 + 3x)
Exploración Ejercicio 5
¿Qué tienen en común las ecuaciones
anteriores?
¿Qué cambio se observa de la parte
izquierda a la parte derecha de cada
ecuación?
¿Qué operaciones matemáticas se incluyen
en cada ecuación?
Expresa en tus propias palabras lo que ilustra
esta propiedad.
Análisis de Ejercicio 5
Esta propiedad es la única que une dos
operaciones en en el mismo ejercicio: suma y
multiplicación.
Recuerda que la resta se puede ver como una
suma de opuestos, por tanto solo decimos
suma y no resta.
Esta propiedad asegura que al multiplicar un
número por una suma se obtiene el mismo
resultado que multiplicar el número por cada
uno de los sumandos en forma individual.
Análisis de Ejercicio 5
Esto significa que la multiplicación de
un número por una suma se distribuye
en la suma de las multiplicaciones, del
número por cada uno de los sumandos.
Por esto, esta propiedad se llama:
Propiedad Distributiva.
Propiedad Distributiva
A continuación aparece la forma general
de expresar la propiedad distributiva:
Propiedad Distributiva
a (b + c) = ab + ac
Ejercicio 6
7+0=7
-2 + 0 = -2
0 + 3/5 = 3/5
0 + ab = ab
-xy + 0 = -xy
Exploración Ejercicio 6
¿Qué tienen en común las ecuaciones
anteriores?
¿Qué cambio se observa de la parte
izquierda a la parte derecha de cada
ecuación?
¿Qué operación matemática se incluye en
cada ecuación?
Expresa en tus propias palabras lo que ilustra
esta propiedad.
Análisis de Ejercicios 6
En cada una de las ecuaciones se suma 0 y
el resultado que se obtiene es el número al
cual se le ha sumado 0.
La propiedad que asegura que al sumar 0 a
cualquier número, el número no pierde su
identidad, esto significa que se obtiene como
resultado el mismo número, se llama:
Identidad.
En este caso, como la operación es suma la
propiedad se llama: Identidad de la Suma.
Ejercicio 7
3.1=3
-6 . 1 = -6
1. a = a
1 . -xy = -xy
2/5 . 1 = 2/5
Exploración Ejercicio 7
¿Qué tienen en común las ecuaciones
anteriores?
¿Qué cambio se observa de la parte
izquierda a la parte derecha de cada
ecuación?
¿Qué operación matemática se incluye en
cada ecuación?
Expresa en tus propias palabras lo que ilustra
esta propiedad.
Análisis de Ejercicios 7
En cada una de las ecuaciones se multiplica
por 1 y el resultado que se obtiene es el
número al cual se ha multiplicado por 1.
La propiedad que asegura que al multiplicar
cualquier número por 1, el número no pierde
su identidad, es decir, se obtiene como
resultado el mismo número, se llama:
Identidad.
En este caso, como la operación es
multiplicación la propiedad se llama:
Identidad de la Multiplicación.
Propiedad de Identidad
A continuación aparece la forma general
de expresar la propiedad de identidad:
Identidad de la Suma
a+0=a
Identidad de la Multiplicación
a.1=a
Ejercicio 8
2 + -2 = 0
-5 + 5 = 0
¼ + -¼ = 0
-2/3 + 2/3 = 0
0.4 + -0.4 = 0
Exploración Ejercicio 8
¿Qué tienen en común las ecuaciones
anteriores?
¿Qué cambio se observa de la parte
izquierda a la parte derecha de cada
ecuación?
¿Qué operación matemática se incluye en
cada ecuación?
Expresa en tus propias palabras lo que ilustra
esta propiedad.
Análisis de Ejercicio 8
En cada una de las ecuaciones se suma el
opuesto de cada número y se obtiene como
resultado 0, que es el elemento identidad de
la suma.
Recuerda que el opuesto de un número se
halla cambiando el signo del número: positivo
o negativo.
La propiedad que asegura que al sumar dos
números opuestos se obtiene como resultado
0, se llama: Inverso de la suma.
Ejercicio 9
2/5 . 5/2 = 1
-3/4 . -4/3 = 1
2 ½=1
1/3 . 3 = 1
1/6 . 6 = 1
-7 . -1/7 = 1
Exploración Ejercicio 9
¿Qué tienen en común las ecuaciones
anteriores?
¿Qué cambio se observa de la parte
izquierda a la parte derecha de cada
ecuación?
¿Qué operación matemática se incluye en
cada ecuación?
Expresa en tus propias palabras lo que ilustra
esta propiedad.
Análisis de Ejercicio 9
En cada una de las ecuaciones se multiplica
por el recíproco de cada número y se obtiene
como resultado 1, que es el elemento
identidad de la multiplicación.
Recuerda que el recíproco de un número se
construye invirtiendo las cantidades en el
numerador y denominador, cuando el número
está expresado como fracción.
Análisis de Ejercicio 9
Recuerda que si el número es entero al
escribirlo como fracción se coloca sobre
1 (ejemplos: 2/1, 7/1, -5/1).
La propiedad que asegura que al
multiplicar dos recíprocos se obtiene
como resultado 1, se llama: Inverso de
la multiplicación.
Propiedad de Inversos
A continuación aparece la forma general
de expresar la propiedad de inversos:
Inverso de la Suma (Opuestos)
a + (-a) = 0

Inverso de la Multiplicación (Recíprocos)
a . (1/a) = 1
Ejercicio 10
5.0=0
-2 . 0 = 0
½.0=0
0 . (-8) = 0
0 . (1.9) = 0
0 . (-13/9) = 0
Exploración Ejercicio 10
¿Qué tienen en común las ecuaciones
anteriores?
¿Qué cambio se observa de la parte
izquierda a la parte derecha de cada
ecuación?
¿Qué operación matemática se incluye en
cada ecuación?
Expresa en tus propias palabras lo que ilustra
esta propiedad.
Análisis de Ejercicio 10
En cada una de las ecuaciones se
multiplica por 0 y se obtiene como
resultado 0.
La propiedad que asegura que al
multiplicar cualquier número por 0 se
obtiene 0, se llama: Multiplicativa del 0.
Propiedad Multiplicativa del 0
A continuación aparece la forma general
de expresar la propiedad de multiplicativa
del 0 :
Propiedad Multiplicativa del Cero
a.0 = 0.a = 0
Propiedades de los Reales
Resumen de las
Propiedades de los Reales

Conmutativa



De la Suma
De la Multiplicación
Asociativa



Identidad



De la Suma
De la Multiplicación
 Distributiva
De la Suma
De la Multiplicación
Inverso


De la Suma
De la Multiplicación
Practica identificar la
propiedad
Ejercicio de
Identificar la Propiedad
Instrucciones
A continuación aparecen unos ejercicios que
ilustran propiedades de los Reales.
Estudia la parte izquierda y la parte derecha de
cada ecuación y determina qué propiedades
de los Reales ilustra cada ejercicio.
Recuerda que el nombre de la propiedad
incluye la operación matemática que ilustra.
Después que hayas contestado el ejercicio,
haz clic sobre el botón que contiene número
del ejercicio para ver la respuesta.
Identifica la Propiedad
1
2
3
4
5
6
7
(6 + 8) + 2 = (8 + 6) + 2
(6 + 8) + 2 = 6 + (8 + 2)
(6 + 8) + 2 = 6 + (2 + 8)
3 . (4 + 1) = (4 + 1) . 3
3 . (4 + 1) = (1 + 4) . 3
3 . (4 + 1) = 12 + 3
6 . (5 + -2) = 30 – 12
Identifica la Propiedad
8
9
10
11
12
13
14
–18 + 18 = 0
–18 . 0 = 0
-18 . -1/18 = 1
-18 + 0 = -18
-18 . 1 = -18
5 . (6 . -2) = (5 . 6 ) . -2
(7 – 6) + 3 = (-6 + 7) + 3
Identifica la Propiedad
15
16
17
18
19
20
21
(-2 . 5) + 4 = 4 + (5 . -2)
(-3 . 3) + 1 = (3 . -3) + 1
8 + 12 = (4 + 6) . 2
(-1 . 3) . 5 = (5 . -1) . 3
6.0 = 0
7+ 0 =7
0 . -2 = 0
Identifica la Propiedad
22
23
24
25
26
-3 = -3 + 0
0 = -9 + 9
0 + 0 = 0
0 . 0 = 0
0 . 35 = 35
Oprime
aquí
para salir
Contestación a Ejercicio
Conmutativa de la Suma
Contestación a Ejercicio
Conmutativa de la Multiplicación
Contestación a Ejercicio
Conmutativa de la Suma
y
Conmutativa de la Multiplicación
Contestación a Ejercicio
Asociativa de la Suma
Contestación a Ejercicio
Conmutativa de la Suma
y
Asociativa de la Suma
Contestación a Ejercicio
Conmutativa de la Multiplicación
y
Asociativa de la Multiplicación
Contestación a Ejercicio
Asociativa de la Multiplicación
Contestación a Ejercicio
Distributiva
Contestación a Ejercicio
Identidad de la Suma
Contestación a Ejercicio
Identidad de la Multiplicación
Contestación a Ejercicio
Inverso de la Suma
Contestación a Ejercicio
Inverso de la Multiplicación
Contestación a Ejercicio
Multiplicativa del Cero
Contestación a Ejercicio
Identidad de la Suma
e
Inverso de la Suma
Contestación a Ejercicio
Ninguna de las Propiedades.
No es la Multiplicativa del Cero ya que al
multiplicar por cero el resultado no es cero.