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El Conjunto de números reales
En este curso se estudiará el conjunto de números reales, el cual se denota con la letra
mayúscula R. Este conjunto se forma de la unión de los siguientes conjuntos:
El conjunto de números Naturales denotado por
N = {1,2,3,...}
Se conoce como el conjunto de números que se usa para contar.
El conjunto de números Cardinales denotado por
W = {0,1,2,3,...}
Observa que son los naturales más el cero.
.
El conjunto de números Enteros denotado por
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Observa que son los cardinales más los negativos.
El conjunto de números Racionales denotado y definido por
Ejemplos:
El conjunto de números Irracionales denotado y definido por
Q' = {decimales infinitos no repetitivos}
Estos números no se pueden expresar COMO UN COCIENTE ENTRE DOS ENTEROS.
Ejemplos:
Anota y recuerda:
Todo número entero se puede escribir como un número racional de la forma
Ejemplos:
.
Un número racional equivalente a 1 se escribe de la forma
Ejemplos:
Todo número racional puede escribirse como un decimal finito o un decimal infinito
repetitivo.
Ejemplos:
decimal finito
repetitivo
La relación entre los conjuntos antes mencionados es :
R
Q
Z
W
N
Q
Q’
Q
decimal infinito
Propiedades de los números reales
Si a, b y c son números reales entonces:
Propiedad
Operación
Conmutativa Suma
Multiplicación
Propiedad
Asociativa
Operación
Suma
Multiplicación
Propiedad
Identidad
Propiedad
Operación
Definición
a+b = b+a
Que dice
El orden al sumar o
multiplicar reales no
afecta el resultado.
ab = ba
Ejemplo
2+8 = 8+2
5(-3) = ( -3)5
Definición
Que dice
a+(b+c)=(a+b)+c Puedes hacer
diferentes
asociaciones al
sumar o
multiplicar reales y
no se afecta el
resultado.
a(bc) = (ab)c
Definición
Que dice
Ejemplo
7+(6+1)=(7+6)+1
-2(4x7)= (-2x4)7
Ejemplo
Suma
a+0=a
Todo real sumado a 0 se
queda igual; el 0 es la
identidad aditiva.
-11 + 0 = -11
Multiplicación
a x 1= a
Todo real multiplicado
por 1 se queda igual; el
1 es la identidad
multiplicativa.
17 x 1 = 17
Operación
Definición
Que dice
Ejemplo
Inversos
Suma
a + ( -a) = 0
Operación
Distributiva
Suma respecto
a
Definición
a(b+c) = ab + ac
Multiplicación
Identifica la propiedad:
5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) 1.2
14 + ( -14 ) = 0
3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11)
( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)
Aplica la propiedad indicada:
5(x + 8) ; (conmutativa de suma)
(3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicación)
(9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva)
12(x + y) ; (distributiva)
9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicación)
(x + y) + z ; (asociativa de suma)
( RESPUESTAS )
Otras propiedades
15+ (-15) = 0
El producto de
recíprocos es 1.
Multiplicación
Propiedad
La suma de
opuestos es cero.
Que dice
El factor se
distribuye a cada
sumando.
Ejemplo
2(x+8) =
2(x) + 2(8)
Propiedad de los
opuestos
Que dice
Ejemplo
-( -a ) = a
El opuesto del opuesto es
el mismo número.
-(-9)=9
(-a)( b)= a (-b)= -(ab)
El producto de reales con
signos diferentes es
negativo.
( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)
( - a)( -b) = ab
El producto de reales con
signos iguales es
positivo.
( -34) ( - 8) = 34 x 8
-1 ( a ) = - a
El producto entre un real
y -1 es el opuesto del
número real.
-1 ( 7.6 ) = - 7.6
= - 30
Propiedades del cero
Propiedad del cero
Que dice
Ejemplo
ax0=0
Todo real multiplicado por 0
es 0.
16 x 0 = 0
a x b = 0 entonces
Si un producto es 0 entonces
al menos uno de sus factores
es igual a 0.
(a+b)(a-b) = 0 entonces
a=0ób=0
a+b=0óa–b=0
Recuerda
Operación
Resta
Definición
a – b = a + ( - b)
Que dice
La resta es la suma
del opuesto del
sustraendo.
Ejemplo
2 – 8 = 2 + (-8) = - 6
División
La división es la
multiplicación por
el recíproco del
divisor.
Intervalo (matemática)
En Análisis matemático, se denomina intervalo a la máxima división sectorial sumisa,
es decir a el subconjunto de la doble implicación latente en matemáticas subconjunto
conexo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la
siguiente propiedad:
si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y,
z pertenece a I.
Notación
Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o
segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es
el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos los puntos
intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un intervalo:[-2,2]entre este espacio se
encuentran los números (-2-1,0,1,2) aquí se encuentra un intervalo.....ya que el espacio
abarca una serie de números consecutivos que se corresponden entre sí.
También existe una regla ERRONEA para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la
recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y
se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1
(o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los
dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y [1, 2) el número no cabe, o cabe muy
estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a
ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio.
Clasificación
Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos
abiertos, cerrados y semi abiertos) o según sus características métricas (su longitud:
nula, finita no nula, o infinita).
Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su
longitud:
Notación
Intervalo
Longitud
(l)
Descripción
Intervalo cerrado de longitud finita.
Intervalo cerrado en a, abierto en b
(semicerrado, semiabierto).
intervalo abierto en a, cerrado en b.
intervalo abierto.
Intervalo (semi) abierto.
Intervalo (semi) cerrado.
Intervalo (semi) cerrado.
Intervalo (semi) abierto.
Intervalo a la vez abierto y cerrado.
intervalo cerrado de longitud nula.
Es un conjunto unitario.
x no existe
Sin
longitud
conjunto vacío.
Un intervalo abierto o cerrado (pero no semiabierto) de longitud finita se puede también
definir a partir de su centro y de su radio:
Si I = ]a, b[, su centro es c = (a + b)/2, y su radio es r = (b - a)/2. a < x < b equivale a |x c| < r; y se interpreta como la distancia entre x y c es menor que r; se nota x ε B (c, r); B
para bola abierta, término que se generaliza a cualquier espacio métrico.
De la misma manera, I = [a, b] corresponde a la condición |x - c| ≤ r. En tal caso se
habla de bola cerrada. Se nota este conjunto:
_
B (c, r) = { x ε R, |x - c| ≤ r }. Es la clausura topológica de la bola abierta B (c, r) = { x ε
R, |x - c| < r }.
Cuando dos variables - pongamos x e y - toman sus valores en sendos intervalos I e J, es
legítimo preguntarse en que intervalo varían su suma, su diferencia, su producto y su
cociente. Contestar a esta pregunta permitirá definir las cuatro operaciones sobre los
intervalos.
Tomemos I = [a, b] y J = [c, d]. Entonces a ≤ x ≤ b, y c ≤ y ≤ d.
podemos sumar las inegualdades: a + c ≤ x + y ≤ b + d. Lo que justifica que I + J = [ a
+ c , b + d ].
Para la diferencia, hay que mirar primero - y : - d ≤ - y ≤ - c, y luego se puede sumar las
inegualdades: a - d ≤ x - y ≤ b - c. De ahí obtenemos I - J = [ a - d, b - c ].
Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, el producto y el cociente son también
sencillos: I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].
Generalización
Un entorno de centro a y radio δ es un conjunto de puntos cuya distancia a a es menor
de δ. O sea:
En particular si
se denomina entorno reducido (E`).
el cual no es un intervalo pues
es un conjunto disconexo entonces se cambia la x por y o p
Intervalos e inecuaciones lineales
1. Intervalos e inecuaciones lineales
Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar
gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta.
Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que
se
incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos.
Para representarlos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se
incluye, o rellena si se incluye.
La simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el
signo < o >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo
(mayor o igual, o menor o igual).
Por otra parte, los intervalos se pueden representar en forma de conjunto o con
corchetes:
Ejemplo:
Todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a, ni b.
Todos los reales mayores que a, sin incluir a.
Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo
a n.
Observa el esquema:
1.1 Propiedades de las desigualdades
1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
a<b
/±c
a±c<b±c
ejemplo
2 + x > 16
x > 14
/–2
2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número
positivo:
a<b
a•c<b•c
/ • c (c > 0)
a>b
a•c>b•c
/ • c (c > 0)
Ejemplo
3
5 • x / :5
3/5
x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5
3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número
negativo:
a<b
a•c>b•c
/ • c (c < 0)
a > b / • c (c < 0)
a•c<b•c
Ejemplo 15 – 3• x 39
/ -15
- 3• x 39 – 15
/: -3
x
24: (-3)
x
- 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que -8.
2. Inecuaciones de primer grado
Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven aplicando inversos
aditivos (opuestos) o inversos multiplicativos (recíprocos) para despejar la incógnita.
Conviene dejar positivo el coeficiente de la incógnita.
A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de
inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita.
Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6
Método 1:
Primero sumemos –3x a ambos lados
x – 3x – 2 < – 6
sumemos 2 en ambos lados
x – 3x < 2 – 6
multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la
propiedad 3
-2x < -4
x > 2 Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número
negativo.
Método 2:
x – 2 < 3x – 6
Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados
-2 < 3x – x – 6
Sumamos 6 en ambos lados
-2 < 2x – 6
Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán
ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que
incluyen valor absoluto.
Propiedad 1
Demostración
Hay dos posibles casos:
Caso 1:
Caso 2:
Propiedad 2
Si
Demostración:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 3
Si
Demostración
Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:
en particular:
Usando esta definición se tiene que:
Propiedad 4
Demostración:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 5
Si
Demostración
entonces
Aquí también usaremos el hecho de que:
Si
Propiedad 6
Demostración
, se tiene que:
Propiedad 7
Sea
una variable real y un número real positivo:
Interpretación geométrica de esta propiedad
Demostración
Como
Propiedad 8
Sea
una variable real y un número real positivo entonces:
Demostración
Como
, se tiene:
Exponentes y Radicales
Exponentes
Si n es un entero positivo, la notación exponencial a2 que se define en la tabla, representa el
producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresión a2 se lee a a la
enésima potencia o simplemente a a la n. El entero positivo se llama exponente y el numero
real a, base.
Notación exponencial
Caso general
(n es cualquier entero
positivo)
Casos especiales
Ejemplos:
es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como 3an
significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an.
Ejemplo
Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos.
Exponente cero y negativo
Definición (a
diferente de
0)
Ejemplo
Si m y n son enteros positivos, entonces
En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, esta expresión es igual a
am+n ; es decir,
De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación:
Ley
Ejemplo
Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:
Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en
que cada numero real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo
presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero.
Simplificar:
a)
b)
Solución:
a)
b)
El teorema que viene es útil para la solución de problemas con exponentes negativos.
Simplificación de expresiones con exponentes negativos.
Simplifica:
Solución:
Radicales
A continuación definiremos la principal raíz enésima de un numero real.
Definición de
Sean n un numero entero positivo mayor de 1 y a , un numero real.
1) Si
, entonces
2) Si
, entonces
es el número real positivo b tal que
.
3) a) Si
y n es non, entonces
es el numero real negativo b tal que
b) Si
y n es par, entonces
no es un número real.
Si n=2 se escribe
en lugar de
raíz cuadrada de a. El número
y
.
se llama raíz cuadrada principal de o simplemente
es la raíz cúbica de a.
Ilustraciones:
Observa que
porque , por definición, las raíces de números reales positivos son
positivas. El símbolo
se lee "más o menos".
Para completar nuestra terminología, la expresión
radicando y n es el índice del radical. El símbolo
Si
, entonces
; esto es,
es un radical, el número a se llama
es el signo radical.
.
En general se presenta la siguiente tabla de propiedades.
Propiedades de
(n es un entero positivo).
Propiedad
De esta ultima propiedad vemos que:
entonces
sin embargo si
Ejemplo
para todo numero real x. En particular, si
, entonces
, que es positiva.
Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre que existan
las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números reales.
Ley
Ejemplo
Advertencias respecto a errores comunes:
Simplificar un radical quiere decir eliminar factores del radical hasta que el radicando contenga
sólo exponente igual o mayor que el índice del radical y el índice sea tan pequeño como sea
posible.
Eliminación de factores de radicales.
Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos):
a)
Solución
a)
b)
c)
b)
c)
Si al denominador de un cociente contiene un factor de la forma
entonces al multiplicar numerador y denominador por
denominador porque:
Este proceso se llama racionalización del denominador.
Multiplicar
Factor en el numerador y
denominador denominador
por
Ejemplos
Racionalización de denominadores
Racionaliza:
a)
Solución
a)
b)
b)
Factor resultante
con k < n y a > 0
eliminaremos el radical del
Este proceso algebraico, en cursos avanzados puede complicar el calculo para la resolución del
problema, es por ello que se recomienda analizar y seleccionar el procedimiento adecuado.
Definición de exponentes racionales
Sea m/n un numero racional, donde n es un entero positivo mayor de 1. Si a es un numero real
tal que existe
, entonces
Nota:
Las leyes de los exponentes son ciertas para exponentes racionales e irracionales.
Simplificación de potencias racionales
Simplifica:
a)
Solución
a)
b)
b)
Leyes de los exponentes
Aquí están las leyes (las explicaciones están después):
Ley
Ejemplo
x1 = x
61 = 6
x0 = 1
70 = 1
x-1 = 1/x
4-1 = 1/4
xmxn = xm+n
x2x3 = x2+3 = x5
xm/xn = xm-n
x4/x2 = x4-2 = x2
(xm)n = xmn
(x2)3 = x2×3 = x6
(xy)n = xnyn
(xy)3 = x3y3
(x/y)n = xn/yn
(x/y)2 = x2 / y2
x-n = 1/xn
x-3 = 1/x3
Explicaciones de las leyes
Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural
de exponentes. Mira este ejemplo:
Ejemplo: potencias de 5
... etc...
52
1×5×5
25
51
1×5
5
50
1
1
5-1
1÷5
0,2
5-2
1÷5÷5
0,04
... etc...
verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo
patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o
disminuye).
La ley que dice que xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, despuésotras
"n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5
Así que x2x3 = x(2+3) = x5
La ley que dice que xm/xn = xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces,
después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.
Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2
(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la
línea" puedes cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x0=1 :
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que (xm)n = xmn
Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n
veces.
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12
Así que (x3)4 = x3×4 = x12
La ley que dice que (xy)n = xnyn
Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este
ejemplo:
Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3
La ley que dice que (x/y)n = xn/yn
Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s
Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3
La ley que dice que
Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):
Ejemplo:
Y eso es todo
Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto:
siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta
página.
Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?
Exponente positivo (n>0)
0n = 0
Exponente negativo (n<0)
¡No definido! (Porque dividimos entre 0)
Exponente = 0
Ummm ... ¡lee más abajo!
El extraño caso de 00
Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que
alguna gente dice que es "indeterminado":
x0 = 1, así que ...
00 = 1
0n = 0, así que ...
00 = 0
Cuando dudes...
00 = "indeterminado"
Factorización de un trinomio de la forma
x2 + mx + n ó ax2 + mx + n.
Factorizar un trinomio de la forma x2 + mx + n.
de dos binomios, tales como (x + a)(x + b), es:
Teniendo presente que el producto
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab,
si se reemplaza a + b por m y ab por n, se puede escribir:
x2 + mx + n = (x + a)(x + b).
Un trinomio de la forma x2 + mx + n, proviene del producto de dos binomios cuyo
primer término es x, y los segundos términos son tales que dan por suma el coeficiente
de x, y por producto el término independiente de x.
Ejemplos:
a) Sea x2 + 7x +12.
El producto +12 indica que los factores son del mismo signo, y la suma +7 indica que
los dos son positivos.
El producto 12, con factores enteros, puede obtenerse multiplicando 12 por 1, ó 6
por 2, ó 4 por 3 . Los dos últimos factores son los buscados, pues su suma es 4 + 3 =
7.
Se tiene, por consiguiente, que:
x2 + 7x +12 = (x + 4)(x + 3).
b) Sea x2 - 5x - 14.
El producto -14 indica que los dos factores son de signo contrario, y, puesto que su
suma es negativa, el mayor en valor absoluto debe ser negativo.
El producto -14 con factores enteros, puede obtenerse multiplicando -14 por 1, ó -7
por 2. La suma de estos dos últimos factores da -5; por consiguiente, los números
buscados son -7 y 2. Por lo tanto:
x2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).
Factorizar un trinomio de la forma ax2 + mx + n. Los trinomios de la forma ax2 +
mx + n, proviene de la multiplicación de dos binomios, como se ve en los ejemplos que
siguen:
Examinando los productos anteriores, se observa que:
1º-. El primer término del trinomio es igual al producto de los primeros términos de cada
factor.
2º-. El segundo término es igual a la suma algebraica de los productos del primer
término de cada binomio por el segundo término del otro.
3º-. El tercer término es igual al producto de los segundos términos de los binomios.
Un trinomio de la forma ax2 + mx + n puede presentarse en forma de dos factores
binomios tales que el producto de los dos primeros términos sea ax2 , la suma
algebraica de los productos del primer término de cada uno por el segundo término del
otro dé mx, y el producto de los segundos términos sea n.
Ejemplos:
a) Factorizar 5x2 +16x +3.
El primer término 5x2 es el producto de 5x por x; por lo tanto, los primeros términos
de los binomios son 5x y x.
Cuando el producto de los números que constituyen los segundos términos de los
binomios es +3, deben ser de mismo signo, es decir, los factores de 3 pueden ser 3 y 1
ó -3 y -1. Los factores -3 y -1 deben desecharse, porque su producto, por los
primeros términos daría el coeficiente de x negativo. Quedan por examinar 3 y 1.
Resulta entonces que los binomios pueden ser 5x + 3 y x + 1 ó 5x + 1 y x + 3.
Por multiplicación, se ve que los factores son 5x + 1 y x + 3.
Por tanto: 5x2 +16x +3 = (5x + 1)( x + 3).
b) Factorizar 6x2 - x - 15.
El primer termino 6x2 puede provenir de multiplicar 3x por 2x, o bien 6x por x.
El primer supuesto da, como primeros términos de los binomios, 3x y 2x.
El término -15 del polinomio indica que los segundos términos de los binomios son de
signo contrario, y el coeficiente de x del mismo polinomio requiere que el mayor, en
valor absoluto, sea negativo; por tanto, dichos segundos términos pueden ser -15 y
+1, ó -5 y +3.
Desde luego, se ve que hay que desechar el primer par de valores, pues el término en x
del trinomio propuesto tendría un coeficiente diferente de -1.
Quedan por examinar los pares de binomios:
3x - 5 y 2x + 3,
3x + 3 y 2x - 5.
Por multiplicación, se ve que los factores son 3x - 5 y 2x + 3, pues con ellos se
obtiene, para término medio el trinomio propuesto:
9x - 10x = -x.
Por tanto:
6x2 - x - 15 = (3x - 5)(2x + 3).
Si la factorización buscada no se hubiera hallado, habría habido necesidad de ensayar
otros factores, como:
6x - 15 y x + 1, ó 6x - 5 y x + 3, etc...
Otro procedimiento. El procedimiento que se acaba de exponer para factorizar un
trinomio de la forma ax2 + mx + n, resulta a veces un tanto largo, por el ensayo que
deben hacerse de los diferentes pares de binomios. Puede seguirse otro más corto, que
se indica a continuación, aunque sin demostrarlo, pero de cuyo resultado se da la
comprobación.
Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + mx + n, búsquese dos números cuya suma
algebraica sea igual al coeficiente de x, y su producto sea igual al coeficiente de x2
multiplicado por el término independiente.
Una vez hallados los dos números, sustitúyase el término mx por dos términos en x
cuyos coeficientes sean dichos números, y póngase luego en factor, agrupando
terminos.
Ejemplos:
a) Factorizar el trinomio: 3x2 + 14x + 8.
Hay que buscar dos términos cuya suma sea 14, y su producto, 8·3 = 24.
El producto 24 puede resultar de 24·1, 12·2, 8·3, ó 6·4.
Los únicos factores cuya suma da 14, son 12 y 2; éstos son pues los números buscados,
y se puede escribir:
3x2 + 14x + 8 = 3x2 + 12x + 2x + 8 = 3x(x + 4) + 2(x + 4).
Poniendo el binomio (x + 4) en factor común, resulta:
3x2 + 14x + 8 = (x + 4) (3x + 2)
Comprobación:
(x + 4) (3x + 2) = 3x2 + 12x + 2x + 8 = 3x2 + 14x + 8.
b) Factorizar el trinomio: 6x2 - 13x -5.
Deben buscarse dos números cuya suma sea -13, y su producto, 6(-5)=-30.
El producto de -30 puede resultar de -30·1, -15·2, -6·5, ó -10·3.
Los únicos factores cuya suma es -13 son -15 y 2; luego:
6x2 - 13x -5 = 6x2 - 15x + 2x -5 = 3x(2x - 5) + (2x - 5),
6x2 - 13x -5 = (2x-5)(3x+1).
Comprobación:
(2x - 5)(3x + 1) = 6x2 - 15x + 2x -5 = 6x2 - 13x -5.
Expresiones Algebraicas. Polinomios
A) Traduce a lenguaje algebraico:
1. El triple de un número.
2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades.
3. La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos.
4. Cinco veces el resultado de restarle al doble de un número 5 unidades
Solución:
5(2x-5)
5. Expresa algebraicamente el área y el perímetro de un cuadrado de lado x.
x
B) Asocia cada una de los enunciados con la expresión algebraica que le corresponde:
1) La suma de los cuadrados de dos números
2) El espacio recorrido por un móvil es igual a su velocidad
por el tiempo que está en movimiento
3) El área del circulo de radio x
(x +y)2= x2+ y2+ 2xy
4) Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 5
5) El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma
de sus cuadrados más el doble de su producto
E = v .t
x2+ y2
6) Media aritmética de tres números
(1)
 x2
C) Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican:
1. 2x +1
para x =0
2. x2 + y2
para x =1 , y =3
3. (1-2x)(1+ 2x) para x = 2
4.
para x =3, y =2, z =4
Solución
=
5. x2+ y2+ 2xy
6. –2x2y3
=3
para x =1, y =2
para x =2, y = 2
D) Identidades notables.
Cuadrado de una suma
Cuadrado de una diferencia
Diferencia de cuadrados
1) Desarrolla las siguientes expresiones:
a) (x +2)2
b) (x -1)2
c) (2x +3)2
d) (x +2)(x –2)
e) (2x –1)(2x +1)
f) (3x – y)2
g) (2x –3y)(2x +3y) = 4x2 –9y2
h) (x -1)3
i) (x +5)2-(x-3)2
2) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
a) 3x4 -2x2
b) x2 –1
c) x2 +6x +9
Solución. No tiene ningún factor común , es una identidad notable: (x +3)2= x2 +6x +9
d) x2 + 4 +4x
e) 4x2-y2
f) 9 –6x +x2
g) 2x –4x2y
h) x2 +x y +x z +y z
Solución: x(x +y) +z(x +y) =(x +z) (x + y)
i) a x –ay –b x +by
3) Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos
a) x2+ 2x+.....
b) 4x2 + 8x+......
Solución:
4x2 + 8x +4 = (2x +2)2
c) 9x2 -....+ 16
E) Calcula el grado de los siguientes polinomios:
1. –2x2y3
3.
2. . x2+ y2+ 2xy
Solución:
2+4+2 =8
4. (x +5)2-(x-3)2
5. 7x5-3x2-6x4+2+x
F) Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante.
1) 3(x3 –5x +7) –(2x3 +6x2 +11x+4)
2)
3) 2x(4x2 –6x +2) +3 (5x2 –3x-4)- 14 x2
4) (3x3 –x + 5) (2x3 +1)
5) (x3y3 + 2) (x3y3 - 2)
6) (7x3 –5x+3) (2x2 +x-1)
7)
Solución:
= 4x-12 +21x-9-24 = 25x -45
8)
9)
G) Operaciones con expresiones algebraicas:
1) Multiplica la siguiente expresión por 12 y simplifica el resultado:
2) Multiplica por 20 y simplifica el resultado:
H) Divide los siguientes polinomios:
1) 15 a3b2c : 6 a2c =
=
2) 5 x3y2z4 : 3 x2z2
3) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1)
4) (2x3 +6x2 +11x+4) : (x-3)
5) (x4 -6x3 +5x2-4x+1): (x2 –x +5)
6) (x3 +6x2 +5x+4): (x2 –3x +1)
Solución
x3 + 6x2 +5x +4
-x3 +3x2 -x
/
x2 –3x +1
x +9
9x2 + 4x +4
-9x2 + 27x-9
/ 31x –5
7) (x4 -5x3 +3x2-2x+5): (x2 +x -3)
Nota. Cuando el divisor es un binomio de la forma (x-a) se puede aplicar la regla de
Ruffini, que utiliza sólo los coeficientes
Ejemplo. Divide x3-3x2+ 5x-7 entre (x-3)
Se hace la siguiente disposición de la figura.
El cociente es x2+5 y el resto 8
1) (x3 –x2 -16x -3): (x -3)
Solución: Utilizando Ruffini quedaría
Nos queda que el cociente es x2 +2x – 10
y el resto -33
2) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1)
3) (3x4 +6x2 +11x+4) : (x-2)
4) (x3 + 1) : (x +1)
5) (–x4 +2x3 +5x -3):(x+3)
Ampliación
Teorema del resto.
El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a) es el valor
numérico del polinomio en x =a, es decir el resto es el valor de P al sustituir la x
por a,
R =P(a).
Ejemplo: El resto de la división ( x3 -2x2 +3x -4):(x-1) es:
13-2.12+3.1-4=1-2+3-4= -2 (comprobarlo)
1. Calcula el resto de la división (x3 –x2 -16x -3): (x -3) sin efectuarla
2. Calcula el valor de k para que la división de P(x) entre Q(x) dé exacta:
a) P(x) = x3 -x2 +k.x -4, Q(x) = (x-2)
b) P(x) = x4 -2x3 +3x2 –k x -5; Q(x) = (x +1)
2. Calcula el valor de k, para que el resto de la división del polinomio x4 –k x3 +3x2 – x +4 entre
el binomio x +2 nos dé15.
Factorización
Factorizar un polinomio es ponerle como producto de sus factores (se llama también
descomposición en factores del polinomio).
Para factorizar hay que tener en cuenta las identidades notables, el sacar factor común, la
regla de Ruffini, y la resolución de ecuaciones (de 2º grado) para la búsqueda de raíces.
Ejemplo: Factoriza x3-5x2+ 4x
Solución
En primer lugar se saca factor común x, x3-5x2+ 4x =x(x2-5x+4)
El segundo factor es un polinomio de 2º grado, y para encontrar los otros factores se puede
obtener las raíces aplicando la fórmula de la ecuación de 2º grado.
x=
por tanto los factores son (x-4) y (x-1)
El polinomio factorizado es: x(x-4)(x-1).
Nota: También podría haberse usado Ruffini para el cálculo de las raíces, ya que son enteras
d) x3 -11x2 +34x -24
e) x4 -11x3 +33x2 -9x -54
Si necesitas mas ejercicios del tema de polinomios visita estos enlaces
Polinomios
o
Ejercicios de profundización
Fracciones Algebraicas
A) Hallar el valor numérico de las siguientes fracciones algebraicas en los puntos que se
indican:
1)
en x = 1, x =3.
2)
en x = 2, x = 0.
3)
en x =1, x =2
Solución:
En
x=1
No existe este valor, no se puede dividir por cero, no se puede
calcular el valor numérico en x =1.
En
x =2
4)
en x =-2, 0, 1 y 2
B) Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:
1)
2)
y
y
Solución. Se tiene:
(x-2)(x2-4) = x3 -4x -2x2+8 = x3 -2x2 -4x +8
(x +2)(x2-4x+4) = x3 -4x2 +4x+ 2x2 -8x +8 = x3 -2x2 -4x +8
Son equivalentes.
C) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas, en los casos posibles:
1)
2)
3)
4)
5)
Solución.
Se tiene
==
6)
D) Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado en los casos que se pueda.
1)
.
2)
3)
4)
Solución. Primero reducimos a común denominador y después sumamos los numeradores:
m .c. m (x, x +1) = x(x +1) =x2+ x
=
5)
6)
7)
8)
Si necesitas mas ejercicios del tema de polinomios visita estos enlaces
Ejercicios operaciones con expresiones algebraicas
Instrucciones; escoge la opción que convenga para que cada aseveración propuesta sea
correcta.
1.- Producto de las potencias: m³x • mx:
a) m ³x², b) m²x, c) m4x, d) m (³x)(x)
2.- Al elevar x5 a la segunda potencia; (x5)², obtenemos:
a) x25, b) x7, c) x52, d)x10.
3.- La expresión a6/5 b9/5 proviene de elevar a la potencia:
a) (a4 b6)3/5, b) (a²b³)3/5, c) (a³b²)3/5, d) (a6 b4)3/5
4.- Regla que define el cociente de potencias de la misma base:
a) xm ÷ xn = xm-n, b) xm ÷ xn, c) xm/xn = xmn, d) xm/xn = mn.
5.- Resultado del cociente: m4/m6;
a) m²/1, b) m10, c) 1/m-², d) 1/m².
6.- Si; a5 ÷ a8 = a-³, entonces su equivalente es:
a) 3a/1, b) 1/3a, c) a³, d) 1/a³.
7.- Si; m² ÷ m² = m°, entonces su equivalente es:
a) m, b) 1/m, c) 1, d) 1m.
8.- Al sumar los monomios: (5m³n²) + (´-7m³n²) obtenemos:
a) 12m³n², b) –12m³n², c) –35m³n², d) –2m³n².
9.- El producto: 6a²b² + 3ab proviene de multiplicar:
a) 3ab(2a²b² + 1), b) 3ab(6ab + 1), c) 3ab(2ab + 1), d) 3ab(2ab + 3)
10.- Los polinomios: (x² – xy + y²) (x + y) dan un producto igual a:
a) x³ – y³, b) x³ + x²y² – y³, c) x³ + y³, d) x³ – x²y² + y³
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo
grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el
producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el
polinomio.
3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo
polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios
que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8
Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos
huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo
restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del
divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se
puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
División por Ruffini
Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más
breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.
Resolver por la regla de Ruffini la división:
(x4 −3x2 +2) : (x −3)
1.- Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que
faltan con ceros.
2.- Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3.- Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del
divisor.
4.- Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5.- Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente
término.
6.- Sumamos los dos coeficientes.
7.- Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8.- El último número obtenido, 56 , es el resto.
9.- El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y
cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
Ejercicios y problemas resueltos de polinomios
1.- Dados los polinomios:
P(x) = 4x2 − 1
Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2
R(x) = 6x2 + x + 1
S(x) = 1/2x2 + 4
T(x) = 3/2x2 +5
U(x) = x2 + 2
Calcular:
1.- P(x) + Q (x) =
= (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) =
= x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 =
= x3 + x2+ 6x − 3
2.- P(x) − U (x) =
= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =
= 4x2 − 1 − x2 − 2 =
= 3x2 − 3
3.- P(x) + R (x) =
= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =
= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =
= 10x2 + x
4.- 2P(x) − R (x) =
= 2(4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =
= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =
= 2x2 − x − 3
5.- S(x) + T(x) + U(x) =
= (1/2x2 + 4 ) + (3/2x2 +5 ) + (x2 + 2) =
= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 =
= 3x2 + 11
6.- S(x) − T (x) + U(x) =
= (1/2x2 + 4) − (3/2x2 +5) + (x2 + 2) =
= 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 =
=1
2.- Dados los polinomios:
P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1
Q(x) = x3 − 6x2 + 4
R(x) = 2x4 −2 x − 2
Calcular:
P(x) + Q(x) − R(x) =
= (x4 −2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2x − 2) =
= x4 −2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2 x + 2 =
= x4 − 2x4 + x3 −2x2 − 6x2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 =
= −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5
P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
=(x4 −2x2 − 6x − 1) + 2(x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 −2 x − 2)=
= x4 − 2x2 − 6x − 1 +2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2 x + 2 =
= x4 − 2x4 + 2x3 −2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =
= −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9
Q(x)+ R(x) − P(x)=
= (x3 − 6x2 + 4) + ( 2x4 −2 x − 2) − (x4 −2x2 − 6x − 1) =
= x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2 x − 2 − x4 +2x2 + 6x + 1=
= 2x4 − x4 + x3 − 6x2 +2x2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1=
= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3
1.- (x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) =
= x6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6=
= x6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 =
= x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6
2 .- (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) =
= 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x =
= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x =
= 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x
3 .- (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) =
= 6x6 − 10x5 − 12 x4 + 8x3 − 6 x2 −
− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2+ 15x +
+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 =
= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12 x4 + 25x4 + 18x4 +
+8x3 − 30x3 + 30x3− 6 x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 =
= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18
3.- Dividir los polinomios:
1.- (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)
2.- (x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
3 .- P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8
4 .- Dividir por Ruffini:
1.- (x3 + 2x +70) : (x+4)
Q(x) = 3x2 −2 x + 1
2.- (x5 − 32) : (x − 2)
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 y R(x)= 0
3.- (x4 −3x2 +2 ) : (x −3)
C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R(x)= 56