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Un acercamiento a la mecánica por componentes fundamentales. Tres ingredientes de la mecánica tres: LA MASA M La masa: Inercia, tendencia a permanecer en el estado de movimiento actual. Resistividad a la fuerza. La energía cinética escalea con la masa manifestando el hecho de que la fuerza necesaria para modificar la cantidad de movimiento es proporcional a la masa. La masa también es el factor de escala de la fuerza de gravedad y por lo tanto, en presencia de fuerzas gravitatorias este es también un factor de escala de la energía potencial. Tres ingredientes de la mecánica tres: EL AMORTIGUADOR El amortiguador: Disipador de energía. Capacidad de absorción de un medio externo. Se opone sistemáticamente a la dirección de movimiento resultando en la consecuente perdida de energía cinética sin transferir esa energía a un potencial acumulado. La amortiguación resulta de las fuerzas viscosas entre el amortiguador y un medio, correspondientes a un “resumen estadistico” de numerosas interacciones moleculares. La energia que pierde el amortiguador es absorvida por el medio en formas no necesariamente mecanicas, por ejemplo, calor. Tres ingredientes de la mecánica tres: EL RESORTE El resorte: Fuerza elastica, resistencia al desplazamiento de manera independiente de la velocidad con la que se llega a esa posición. Resistencia al cambio de forma. Un objeto que ejerce una fuerza proporcional a la posición. Tiende por lo tanto a restituir el movimiento hacia el punto de equilibrio y evitar el cambio de forma. Su estiramiento resulta en una “acumulación de fuerza” o “carga de energía potencial”. Tres ingredientes de la mecánica tres: LA MASA La masa: Inercia, tendencia a permanecer en el estado de movimiento actual. Resistividad a la fuerza. También es el factor de escala de la fuerza de gravedad. El resorte: Un objeto El amortiguador: Disipador de que ejerce una fuerza energía. Capacidad de proporcional a la absorción de un medio posicion. Tiende por lo externo. Se opone tanto a restituir el sistemáticamente a la movimiento hacia el dirección de movimiento resultando en la consecuente punto de equilibrio. Su estiramiento resulta en perdida de energía cinética sin transferir esa energía a un una “acumulacion de fuerza” o “carga de potencial acumulado. energia potencial”. Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza constante: LA MASA 0 Un problema conocido, con alguna sutileza. F F v t m 2 Ft x 2m Notar que la aceleración no es independiente de la masa Una masa responde a una fuerza modificando su velocidad en esa dirección. Esta modificación es menor a medida que crece la masa. Dinámica de los tres ingredientes en una F constante: AMORTIGUADOR F F v El amortiguador esta postulado por ahora como objeto mecánico que “por definicion” ejerce una fuerza inversamente proporcional a la velocidad. Aplicada una fuerza externa F la velocidad cambia a velocidad “infinita” dada la ausencia de la masa. A medida que la velocidad aumenta, el medio ejerce una fuerza creciente que alcanza un equilibrio cuando A esta velocidad las dos fuerzas se cancelan, con lo que no hay fuerzas resultantes y la velocidad se mantiene constante. Notese que la fuerza esta ejerciendo trabajo en permanencia (inyectando energia) para mantener esta velocidad constante. v F Dinámica de los tres ingredientes en una fuerza constante: EL RESORTE F F x El RESORTE esta postulado como objeto mecánico que “por definicion” ejerce una fuerza inversamente proporcional a la distancia. Aplicada una fuerza externa F la velocidad cambia a velocidad “infinita” hasta el “infinito” dada la ausencia de la masa. Esto resulta en un desplazamiento en tiempo cero hasta que la fuerza ejercida por el resorte, que aumenta con la distancia, igual a la fuerza externa, lo cual sucede para la posición: Notar que este es un punto de equilibrio “estatico” y por lo tanto la fuerza no inyecta energia al sistema. El resorte no disipa. La energia entregada por la fuerza externa durante el desplazamiento es acumulada en forma de energía potencial (mecánica) y será nuevamente transformada en cinética una vez que la fuerza externa desaparezca. F x k Tres ingredientes de la mecánica tres: “La Fuerza” ejercida sobre cada uno. Tres ingredientes de la mecánica tres: POSICION en fuerza constante. x t La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente. Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante) Tres ingredientes de la mecánica tres: POSICION en fuerza constante. x t La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente. Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante) Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la posición) debido a una fuerza que actúa sin resistencia (masa) y satura a una velocidad critica. Tres ingredientes de la mecánica tres: POSICION en fuerza constante. x t La velocidad crece lentamente (derivada continua) debido a la resistencia de la masa, y por ende la posición evoluciona cuadraticamente. Esta velocidad (pendiente) crece arbitrariamente mientras dure al fuerza (aceleración constante) Abruptamente cambia la velocidad (derivada de la posición) debido a una fuerza que actúa sin resistencia (masa) y satura a una velocidad critica. Abruptamente cambia la posición, lo cual implica que la velocidad aumenta repentinamente a infinito. Esto sucede porque no hay masa que resista la fuerza ni viscosidad que acote el crecimiento de la velocidad que, en este instante, vale infinito. Tres ingredientes de la mecánica tres: VELOCIDAD en fuerza constante. v Área = F/k t La velocidad comienza a crecer abruptamente (continua, pero con derivada discontinua, dada por la aceleración) En general, en presencia de masa, la posición es continua y derivable y la velocidad continua (pero no necesariamente derivable) En ausencia de masa la velocidad crece hasta llegar al punto en que la fuerza de resistencia compensa la fuerza ejercida donde se alcanza una posición de equilibrio. La velocidad es infinita durante un instante infinitamente corto, hasta que la posición es tal que la fuerza elástica compensa la fuerza ejercida. La integral de la velocidad es la posición y por lo tanto el área bajo esta curva es igual a x de equilibrio. Tres ingredientes de la mecánica tres: ACELERACION en fuerza constante. a Area F t La aceleración es proporcional a la fuera, según la ley de Newton (siempre y cuando haya masa). La aparición súbita de la fuerza genera una discontinuidad en la aceleración. La velocidad aumenta con rapidez infinita hasta llegar al valor de equilibrio. El área bajo la curva de aceleración corresponde al cambio de velocidad. Esta derivada queda libre de imagen Combinando ingredientes fundamentales, hacia una variedad de mundos posibles. Un objeto mecánico resultara de una combinación de uno o varios de estos elementos fundamentales. Los resortes contribuyen a la deformabilidad o elasticidad, los amortiguadores a la viscosidad o disipación y la masa a la inercia. ¿Cómo medir fuerzas, desplazamientos, velocidades, viscosidades y la física en un mundo microscópico? Steven Chu, un prócer experimental (Premio Nobel 1997) Steven Block. Ideas de Berg y tecnologia de Chu. La herramienta basica: Optical Tweezers. Un pozo de potencial altamente focalizado Howard Berg, uno de los padres de la biofísica moderna. ¿Cómo y porque se mueven las bacterias? Una primera aplicación de esta tecnología: Jugando con E.Coli cual el gato con el ratón. Block, S.M., Blair, D.F., and Berg, H.C. "Compliance of bacterial flagella measured with optical tweezers." Nature 338, 514-517 (1989) Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o de una placa. ¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el movimiento de una bacteria? Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o de una placa. ¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el movimiento de una bacteria? La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) = La combinación de una masa y un amortiguador modela el movimiento de un objeto rígido (que no se deforma) en un medio viscoso. Los tiempos característicos de este movimiento quedan determinados por la relación entre la masa y la viscosidad. La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F = v F v m dv dt La ecuación diferencial de Newton La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F = v F v m F m dv dt dv v v C 2 e t C dt Una solución general Ecuacion diferencial de primer orden (v es la incógnita), se busca una funcion cuya derivada sea igual a menos ella misma, salvo una constante. La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F = v F v m F m dv dt dv v v C 2 e t dt La constante es necesaria para resolver el termino de la fuerza C constante. Es la “única” función igual a un mulitplo de su derivada salvo una constante multiplicativa La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F = v F v m F m Resolviendo la forma general propuesta se obtiene: dv dt dv v v C 2 e t C dt C F m e t e t C F 0 m m 1 m La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) : La solución Formal v F t (1 e ) : m La velocidad vale cero al principio y en un tiempo critico que es proporcional a la masa e inversamente proporcional a la viscosidad alcanza un régimen de velocidad casi constante. La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F=[2:2:20] M=1 γ=1 v Velocidad Posicion 5 18 x 10 20 16 18 14 16 12 14 12 10 10 8 8 6 6 4 4 2 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F=1 M=1[2:2:20] γ=1 v Velocidad Posicion 5 5 x 10 1 4.5 4 0.8 3.5 3 0.6 2.5 2 0.4 1.5 0.2 1 0.5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F=1 M=1[2:2:20] γ=1 v Velocidad Posicion Régimen viscoso 5 5 x 10 1 4.5 4 0.8 Tiempo critico aumenta con masa 0.6 3.5 3 2.5 Salto abrupto de velocidad para masa pequeña 0.4 0.2 2 1.5 1 0.5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Regimen Inercial 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F=1 M=1 γ=[0.25:0.25:5] v Velocidad Posicion 5 4 2.5 x 10 3.5 2 3 2.5 1.5 2 1.5 1 1 0.5 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F=1 M=1 γ=[0.25:0.25:5] v Velocidad Posicion 5 4 2.5 x 10 3.5 Comportamiento Inercial 2 3 2.5 1.5 2 1.5 1 1 0.5 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Comportamiento Viscoso Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o de una placa. ¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el movimiento de una bacteria? Deformación de un material (tela, proteína) en un medio ¿Cómo modelar con los cambios conformacionales de una proteína.? Deformación de un material (tela, proteína) en un medio ¿Cómo modelar con los cambios conformacionales de una proteína.? Un resorte amortiguado v F kx F v kx m dv La ecuación diferencial de Newton dt F v kx 0 Un resorte amortiguado v F kx F v kx m dv La ecuación diferencial de Newton dt F v kx 0 dx F kx dt Expresar la ecuación en función de x y sus derivadas Un resorte amortiguado v F kx F v kx m dv dt F v kx 0 dx F kx dt ¿Una ecuación conocida? Una “curiosa” coincidencia. Ecuaciones iguales… F dx F kx dt vx k m dv F v m dt Resorte es resistencia al desplazamiento, la viscosidad al cambio del desplazamiento (velocidad) y la masa al cambio al cambio del desplazamiento (aceleración). Que este cuento de la buena pipa termine ahí es un hecho empírico, establecido por la ecuación de Newton. Las ecuaciones diferenciales (ordinarias) de primer orden tienen siempre las mismas soluciones que estudiamos anteriormente (exponenciales) y describen la relación entre una variable cuya tasa de cambio es proporcional a ella misma (o a menos ella misma). Una “curiosa” coincidencia. Ecuaciones iguales… F F k dx x dt F dv v m m dt vx k m Reordenando términos de una manera un poco más compacta y, tal vez, inteligible. Exponenciales… exponenciales… 1) Decaimiento El ritmo de crecimiento de X es proporcional a X. Bacterias en un plato de Cultivo Patentes de Software Venta de musica en Itunes Tres de los infinitos ejemplos de modelos inflacionarios: Cambio de x es proporcional a x Exponenciales… exponenciales… exponenciales… El ritmo de crecimiento de X es proporcional a -X. Memoria Icónica Decaimiento Radioactivo Reacción enzimática. Tres de los infinitos ejemplos de modelos inflacionarios: Cambio de x es proporcional a -x La solución Formal de dos problemas exponeciales de la mecanica. F v F t (1 e ) : m t F F x (1 e ) : k k La solución Formal de dos problemas exponeciales de la mecanica. F t F x (1 e ) : k k Una solución narrativa (por simulación mental) al problema de la deformación en un medio viscoso: 1) Aplicada una fuerza F la velocidad aumenta, como no hay masa esta aumenta infinitamente rápido hasta que se llega a la velocidad critica donde la amortiguación compensa la fuerza. En este régimen la velocidad aumenta linealmente y esta seria el fin de la historia si k es igual a cero (tiempo critico infinito). 2) La velocidad hace que el material se estire con lo que la fuerza elástica aumenta oponiéndose al desplazamiento. La velocidad disminuye pero se mantiene positivo con lo que la fuerza elástica sigue aumentando acercándose cada vez mas a contrarrestar F… Estamos en plena exponencial, hemos pasado el tiempo critico, la velocidad disminuye cada vez mas sin llegar nunca a ser estrictamente cero. La velocidad es pequeña y la fuerza elastica domina. En este regimen podemos olvidarnos de la amortiguacion. Vibraciones en un medio no viscoso ¿Cómo modelar un péndulo? Vibraciones en un medio no viscoso ¿Cómo modelar un péndulo? Vibraciones en un medio no viscoso ¿Cómo modelar un péndulo? La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F 2 d x F kx m 2 dt La ecuación diferencial de Newton La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F 2 d x F kx m 2 dt d 2x F m 2 kx dt Simplemente reordenando términos La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F d 2x F kx m 2 dt d 2x F m 2 kx dt NOVEDAD: Esta ecuación relaciona una variable con su derivada segunda. ¿Será la solución a esta ecuación tambien una exponencial? La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) F 2 Fijando la fuerza a 0 (por simplicidad) d x F kx m 2 dt d 2x F m 2 kx dt d 2x 0 m 2 k x x e t dt Proponemos una solución exponencial y a ver que pasa… La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) d 2x Matemática 0 m 2 kx dt x e t Física 2 dx d x t e 2 2e t 2 x dt dt La derivada segunda de una exponencial es proporcional a ella misma, hasta aquí todo bien. Sigamos … La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) d 2x Matemática 0 m 2 kx dt Física Reemplazamos x e t 2 dx d x t e 2 2e t 2 x dt dt 0 m2 x k x x (m2 k ) Siendo x una funcion generica, no queda otra que este termino sea 0 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) d 2x Matemática 0 m 2 kx dt Física Reemplazamos x e t 2 dx d x t e 2 2e t 2 x dt dt 0 m2 x k x x (m2 k ) k k 0 (m k ) i m m 2 2 La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido viscoso) d 2x Matemática 0 m 2 kx dt Física Reemplazamos x e t 2 dx d x t e 2 2e t 2 x dt dt k k 0 (m k ) i m m 2 2 xe i t NOVEDAD: La constante de la exponencial es imaginaria. Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y decaimientos. Mecánica básica de la función: xe t t 2 3 4 5 0 e 1 1 e e 0 1 La mecánica de la exponencial es simple, cada vez que pasa un tiempo T multiplico por 1/e. Así se entiende que a medida que pasa el tiempo uno se va aproximando arbitrariamente al cero. Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y decaimientos. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. Conocido 1: 2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2) 2-4-8-16-32 … 2N … infinito i Conocido 2: -1 1 -i (1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2) 1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0 ¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)?? Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las oscilaciones son exponenciales imaginarias. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. Conocido 1: i 2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2) 2-4-8-16-32 … 2N … infinito Conocido 2: 1 -1 (1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2) 1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0 ¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)?? -i i : -1 : -i : 1 : i -1 : -i : 1 : : i -1 : -i : 1 : i Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las oscilaciones son exponenciales imaginarias. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. i 1 -1 En general, una exponencial tiene una componente real (contracción o dilatación) y una parte imaginaria (rotación). e Ct e ( a bi )t e at eibt -i Cambio en la amplitud o modulo. Amortiguación, disipación (o amplificación) Perdida del movimiento Rotaciones, oscilaciones. Movimiento periódico. Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las oscilaciones son exponenciales imaginarias. Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones. i 1 -1 -i Hasta ahora hemos visto una u otra proyección, ya sea movimiento exponencial u oscilatorio. En general, como veremos en el oscilador amortiguado, el movimiento se descompone en estas dos componentes, resultando en un movimiento “espiralado”. Según el ritmo (la velocidad) de rotación y el ritmo de decaimiento se dan distintos tipos de regimenes donde las oscilaciones llegan o no a hacerse evidentes.. e Ct e ( a bi )t e at eibt