Download Tres ingredientes de la mecánica tres. - Departamento de Física

Un acercamiento a la mecánica por
componentes fundamentales.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
LA MASA
M
La masa: Inercia, tendencia a permanecer en el estado de movimiento
actual. Resistividad a la fuerza. La energía cinética escalea con la
masa manifestando el hecho de que la fuerza necesaria para modificar
la cantidad de movimiento es proporcional a la masa.
La masa también es el factor de escala de la fuerza de gravedad y por
lo tanto, en presencia de fuerzas gravitatorias este es también un
factor de escala de la energía potencial.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
EL AMORTIGUADOR
El amortiguador: Disipador de energía. Capacidad de absorción de un medio
externo. Se opone sistemáticamente a la dirección de movimiento resultando en la
consecuente perdida de energía cinética sin transferir esa energía a un potencial
acumulado.
La amortiguación resulta de las fuerzas viscosas entre el amortiguador y un medio,
correspondientes a un “resumen estadistico” de numerosas interacciones
moleculares. La energia que pierde el amortiguador es absorvida por el medio en
formas no necesariamente mecanicas, por ejemplo, calor.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
EL RESORTE
El resorte: Fuerza elastica, resistencia al desplazamiento de manera
independiente de la velocidad con la que se llega a esa posición.
Resistencia al cambio de forma. Un objeto que ejerce una fuerza
proporcional a la posición. Tiende por lo tanto a restituir el movimiento
hacia el punto de equilibrio y evitar el cambio de forma. Su
estiramiento resulta en una “acumulación de fuerza” o “carga de
energía potencial”.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
LA MASA
La masa: Inercia,
tendencia a permanecer
en el estado de
movimiento actual.
Resistividad a la fuerza.
También es el factor de
escala de la fuerza de
gravedad.
El resorte: Un objeto
El amortiguador: Disipador de
que ejerce una fuerza
energía. Capacidad de
proporcional a la
absorción de un medio
posicion. Tiende por lo
externo. Se opone
tanto a restituir el
sistemáticamente a la
movimiento hacia el
dirección de movimiento
resultando en la consecuente punto de equilibrio. Su
estiramiento resulta en
perdida de energía cinética
sin transferir esa energía a un una “acumulacion de
fuerza” o “carga de
potencial acumulado.
energia potencial”.
Dinámica de los tres ingredientes en
una fuerza constante: LA MASA
0
Un problema conocido, con alguna sutileza.
F
F
v t
m
2
Ft
x
2m
Notar que la aceleración no es
independiente de la masa
Una masa responde a una fuerza modificando su velocidad
en esa dirección. Esta modificación es menor a medida que
crece la masa.
Dinámica de los tres ingredientes en
una F constante: AMORTIGUADOR
F
F  v
El amortiguador esta postulado por ahora como objeto
mecánico que “por definicion” ejerce una fuerza inversamente
proporcional a la velocidad. Aplicada una fuerza externa F la
velocidad cambia a velocidad “infinita” dada la ausencia de la
masa. A medida que la velocidad aumenta, el medio ejerce
una fuerza creciente que alcanza un equilibrio cuando
A esta velocidad las dos fuerzas se cancelan, con lo que
no hay fuerzas resultantes y la velocidad se mantiene
constante. Notese que la fuerza esta ejerciendo trabajo en
permanencia (inyectando energia) para mantener esta
velocidad constante.
v
F

Dinámica de los tres ingredientes en
una fuerza constante: EL RESORTE
F
F  x
El RESORTE esta postulado como objeto mecánico que “por definicion” ejerce una
fuerza inversamente proporcional a la distancia. Aplicada una fuerza externa F la
velocidad cambia a velocidad “infinita” hasta el “infinito” dada la ausencia de la
masa. Esto resulta en un desplazamiento en tiempo cero hasta que la fuerza
ejercida por el resorte, que aumenta con la distancia, igual a la fuerza externa, lo
cual sucede para la posición:
Notar que este es un punto de
equilibrio “estatico” y por lo
tanto la fuerza no inyecta
energia al sistema. El resorte
no disipa. La energia
entregada por la fuerza externa
durante el desplazamiento es
acumulada en forma de energía
potencial (mecánica) y será
nuevamente transformada en cinética una vez que la fuerza externa desaparezca.
F
x
k
Tres ingredientes de la mecánica tres:
“La Fuerza” ejercida sobre cada uno.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
POSICION en fuerza constante.
x
t
La velocidad crece lentamente
(derivada continua) debido a la
resistencia de la masa, y por ende la
posición evoluciona cuadraticamente.
Esta velocidad (pendiente) crece
arbitrariamente mientras dure al
fuerza (aceleración constante)
Tres ingredientes de la mecánica tres:
POSICION en fuerza constante.
x
t
La velocidad crece lentamente
(derivada continua) debido a la
resistencia de la masa, y por ende la
posición evoluciona cuadraticamente.
Esta velocidad (pendiente) crece
arbitrariamente mientras dure al
fuerza (aceleración constante)
Abruptamente cambia la
velocidad (derivada de la
posición) debido a una fuerza
que actúa sin resistencia
(masa) y satura a una
velocidad critica.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
POSICION en fuerza constante.
x
t
La velocidad crece lentamente
(derivada continua) debido a la
resistencia de la masa, y por ende la
posición evoluciona cuadraticamente.
Esta velocidad (pendiente) crece
arbitrariamente mientras dure al
fuerza (aceleración constante)
Abruptamente cambia la
velocidad (derivada de la
posición) debido a una fuerza
que actúa sin resistencia
(masa) y satura a una
velocidad critica.
Abruptamente cambia la posición, lo
cual implica que la velocidad aumenta
repentinamente a infinito. Esto sucede
porque no hay masa que resista la
fuerza ni viscosidad que acote el
crecimiento de la velocidad que, en
este instante, vale infinito.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
VELOCIDAD en fuerza constante.
v
Área = F/k
t
La velocidad comienza a crecer
abruptamente (continua, pero con
derivada discontinua, dada por la
aceleración) En general, en presencia
de masa, la posición es continua y
derivable y la velocidad continua
(pero no necesariamente derivable)
En ausencia de masa la
velocidad crece hasta llegar
al punto en que la fuerza de
resistencia compensa la
fuerza ejercida donde se
alcanza una posición de
equilibrio.
La velocidad es infinita durante un
instante infinitamente corto, hasta que
la posición es tal que la fuerza
elástica compensa la fuerza ejercida.
La integral de la velocidad es la
posición y por lo tanto el área bajo
esta curva es igual a x de equilibrio.
Tres ingredientes de la mecánica tres:
ACELERACION en fuerza constante.
a
Area 
F

t
La aceleración es proporcional a la
fuera, según la ley de Newton
(siempre y cuando haya masa). La
aparición súbita de la fuerza genera
una discontinuidad en la aceleración.
La velocidad aumenta con
rapidez infinita hasta llegar al
valor de equilibrio. El área
bajo la curva de aceleración
corresponde al cambio de
velocidad.
Esta derivada queda libre de imagen
Combinando ingredientes fundamentales, hacia una
variedad de mundos posibles.
Un objeto mecánico resultara de una combinación de
uno o varios de estos elementos fundamentales. Los
resortes contribuyen a la deformabilidad o elasticidad,
los amortiguadores a la viscosidad o disipación y la
masa a la inercia.
¿Cómo medir fuerzas, desplazamientos, velocidades,
viscosidades y la física en un mundo microscópico?
Steven Chu, un prócer
experimental
(Premio Nobel 1997)
Steven Block. Ideas de
Berg y tecnologia de
Chu.
La herramienta basica: Optical
Tweezers. Un pozo de potencial
altamente focalizado
Howard Berg, uno de los
padres de la biofísica
moderna. ¿Cómo y porque
se mueven las bacterias?
Una primera aplicación de esta tecnología: Jugando
con E.Coli cual el gato con el ratón.
Block, S.M., Blair, D.F., and Berg, H.C. "Compliance of bacterial flagella measured
with optical tweezers." Nature 338, 514-517 (1989)
¿Qué motor impulsa a una bacteria?
Bacterias ancladas
Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o
de una placa.
¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el
movimiento de una bacteria?
Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o
de una placa.
¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el
movimiento de una bacteria?
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
=
La combinación de una masa y un amortiguador
modela el movimiento de un objeto rígido (que no se
deforma) en un medio viscoso. Los tiempos
característicos de este movimiento quedan
determinados por la relación entre la masa y la
viscosidad.
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
=
 v
F  v  m
dv
dt
La ecuación diferencial de Newton
¿Cuál es la solución mas sencilla a esta ecuación diferencial?
¿v=0 es solución? ¿Como se traduce esto en palabras?
¿v=cte es solución?
¿Cualquier constante? ¿Es la única?
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
=
 v
F    v  mv
La ecuación diferencial de Newton
Intentemos el caso mas sencillo: v = 0
v  0  v  0
F 0
Solo en ausencia de fuerza neta, el objeto (el cuerpo) se queda quieto.
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
=
 v
F    v  mv
La ecuación diferencial de Newton
Intentemos el segundo caso sencillo: v = cte
F  v  v  F
v  cte  v  0

Con fuerza F, el movimiento con velocidad constante es una solución de la física.
¿Es la única?
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
=
 v
F    v  mv
Consideremos otro caso
simplificado, F=0
v  
¿Que función, derivada resulta en la
misma función multiplicada por una
constante?
t
t
v  e  v  e

m
v


m
Al proponer una solución, pasamos
de una ecuación diferencial a una
ecuación algebraica.
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
=
 v
F    v  mv
Caso simplificado, F=0
v  

m
ve
v
v  C e
 t
m
 t
m
¿Es la única?

 v 
C e
m
v
 t
m


v
m
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
=
F    v  mv
F  mv    v
vP  F

Una única función tal que
F  mvP    vP
Nótese que la suma de estas
funciones ya no satisface la
ecuación.
 v
vH  C  e
 t
m
Una familia de funciones
que forman un espacio
lineal tal que
0  mvH    vH
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
=
F    v  mv
 v
F  mv    v
vP  F

F  mvP    vP
 t
m
vH  C  e
0  mvH    vH
v(t )  C  e
 t
m
F

Observaciones y preguntas.
C es una constante libre, F/γ NO.
¿Qué determina C?
¿Que distingue a los dos terminos?
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
=
 v
v(t )  C  e
v0  v(0)  C  e
v0  F  C

 t
m
 0
m
F
F


CF

¿Y si justo vo es F/g?
¿Cómo se interpreta el signo?
C  v0  F
v(t )  C  e

15
13
F
F  10

C  v0  v f
14
 t
m
vo  15
12
11
vo  5
10
9
8
7
F
6
5
0
100
200
300
400
500
600
700
800

900
 vf
1000

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso) : La solución Formal
v  v f  (vo  v f )  e

La solucion estacinoaria
(asintotica) en este caso es
muy sencilla. Velocidad
constante, proporcional a la
fuerza.
t

v f  F  :  m

Tranistorio en el que pasa de la
condicion incial a la estacinoaria. El
tiempo tipico del transitorio es
proporcional a la masa (mas memoria
de la condicion inicial) en inversamente
proporcional a la viscosidad (borra la
memoria de la CI).
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F=[2:2:20]
M=1
vf
γ=1
 v
Velocidad
Posicion
5
18
 F  :  m
x 10
20
16
18
14
16
12
14
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F=1
M=1[2:2:20]
γ=1
v F
 v
f
Velocidad
m
:



Posicion

5
5
x 10
1
4.5
4
0.8
3.5
3
0.6
2.5
2
0.4
1.5
0.2
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F=1
M=1[2:2:20]
γ=1
 v
Velocidad
Posicion
Régimen viscoso
5
5
x 10
1
4.5
4
0.8
Tiempo critico
aumenta con masa
0.6
3.5
3
2.5
Salto abrupto de
velocidad para masa
pequeña
0.4
0.2
2
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Regimen Inercial
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F=1
vf  F
M=1
γ=[0.25:0.25:5]
 v
Velocidad
:  m
Posicion
5
4
2.5
x 10
3.5
2
3
2.5
1.5
2
1.5
1
1
0.5
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F=1
M=1
γ=[0.25:0.25:5]
 v
Velocidad
Posicion
5
4
2.5
x 10
3.5
Comportamiento
Inercial
2
3
2.5
1.5
2
1.5
1
1
0.5
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Comportamiento Viscoso
Movimiento “rígido” de una bacteria, de una proteína o
de una placa.
¿Cómo modelar con los ingredientes mecánicos el
movimiento de una bacteria?
Deformación de un material (tela, proteína) en un
medio
¿Cómo modelar con los cambios conformacionales de
una proteína.?
Deformación de un material (tela, proteína) en un
medio
¿Cómo modelar con los cambios conformacionales de
una proteína.?
Un resorte amortiguado
 v
F
kx
F    v  kx  m
dv
La ecuación diferencial de Newton
dt
F    v  kx  0
Un resorte amortiguado
 v
F
kx
F    v  kx  m
dv
La ecuación diferencial de Newton
dt
F    v  kx  0
dx
F  kx   
dt
Expresar la ecuación en función
de x y sus derivadas
Un resorte amortiguado
 v
F
kx
F    v  kx  m
dv
dt
F    v  kx  0
dx
F  kx   
dt
¿Una ecuación conocida?
Una “curiosa” coincidencia. Ecuaciones iguales…
F
dx
F  kx   
dt
vx
 k
m
dv
F  v  m
dt
Resorte es resistencia al desplazamiento, la viscosidad al cambio del desplazamiento (velocidad) y
la masa al cambio al cambio del desplazamiento (aceleración). Que este cuento de la buena pipa
termine ahí es un hecho empírico, establecido por la ecuación de Newton. Las ecuaciones
diferenciales (ordinarias) de primer orden tienen siempre las mismas soluciones que estudiamos
anteriormente (exponenciales) y describen la relación entre una variable cuya tasa de cambio es
proporcional a ella misma (o a menos ella misma).
La solución Formal de dos problemas exponeciales de
la mecanica.
F
v  v f  (vo  v f )  e
v f  F  :  m
F



x  x f  ( xo  x f )  e

x f  k : 
k
F
t

t

Exponenciales… exponenciales… 1) Decaimiento
El ritmo de crecimiento de X es proporcional a X.
Bacterias en un plato de Cultivo Patentes de Software
Venta de musica en Itunes
Tres de los infinitos ejemplos de modelos inflacionarios:
Cambio de x es proporcional a x
Exponenciales… exponenciales… exponenciales…
El ritmo de crecimiento de X es proporcional a -X.
Memoria Icónica
Decaimiento Radioactivo
Reacción enzimática.
Tres de los infinitos ejemplos de modelos inflacionarios:
Cambio de x es proporcional a -x
¿De qué objeto físico se trata?
F
x
ESTIRANDO RESORTES COMPLEJOS
Bustamante et al Nature Reviews 2000
EL JARDIN DE RESORTES QUE BIFURCAN
EL JARDIN DE RESORTES QUE BIFURCAN
Enroscando
una gomita
Bustamante et al Nature 2003
MIDIENDO EL TRABAJO DE UNA UNICA RNA POLYMERASA
Forde N R et al. PNAS 2002;99:11682-11687
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Bustamante 2000
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Vibraciones en un medio no viscoso
¿Cómo modelar un péndulo?
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
2
d x
F kx  m 2
dt
La ecuación diferencial de Newton
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
2
d x
F kx  m 2
dt
d 2x
F  m 2 kx
dt
Simplemente reordenando términos
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
d 2x
F kx  m 2
dt
d 2x
F  m 2 kx
dt
NOVEDAD: Esta ecuación relaciona una variable con
su derivada segunda. ¿Será la solución a esta ecuación
tambien una exponencial?
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
F
2
Fijando la
fuerza a 0 (por
simplicidad)
d x
F kx  m 2
dt
d 2x
F  m 2 kx
dt
d 2x
0  m 2  k  x  x  e  t
dt
Proponemos
una solución
exponencial y a
ver que pasa…
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
d 2x
Matemática
0 m 2 kx
dt
x  e  t
Física
2
dx
d
x
 t

 e  2  2e t  2 x
dt
dt
La derivada segunda de una exponencial es
proporcional a ella misma, hasta aquí todo bien.
Sigamos …
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
d 2x
Matemática
0 m 2 kx
dt
Física
Reemplazamos
x  e  t
2
dx
d
x
 t

 e  2  2e t  2 x
dt
dt
0  m2 x  k  x  x  (m2  k )
Siendo x una funcion generica, no queda otra que este termino sea 0
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
d 2x
Matemática
0 m 2 kx
dt
Física
Reemplazamos
x  e  t
2
dx
d
x
 t

 e  2  2e t  2 x
dt
dt
0  m2 x  k  x  x  (m2  k )
k
k
0  (m  k )   
 i
m
m
2
2
La masa amortiguada (por ejemplo en un fluido
viscoso)
d 2x
Matemática
0 m 2 kx
dt
Física
Reemplazamos
x  e  t
2
dx
d
x
 t

 e  2  2e t  2 x
dt
dt
k
k
0  (m  k )   
 i
m
m
2
2
xe
i
t

NOVEDAD: La constante de la
exponencial es imaginaria.
Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y
decaimientos.
Mecánica básica de la función:
xe

t
t

 2 3 4 5
0
e 1 
1
e
e

0

1
La mecánica de la exponencial es simple, cada vez que pasa un tiempo
T multiplico por 1/e. Así se entiende que a medida que pasa el tiempo
uno se va aproximando arbitrariamente al cero.
Exponenciales imaginarias, vueltas, oscilaciones y
decaimientos.
Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones.
Conocido 1:
2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2)
2-4-8-16-32 … 2N … infinito
i
Conocido 2:
-1
1
-i
(1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2)
1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0
¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)??
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las
oscilaciones son exponenciales imaginarias.
Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones.
Conocido 1:
i
2*2*2*2*2…. (Exponenciacion de 2)
2-4-8-16-32 … 2N … infinito
Conocido 2:
1
-1
(1/2)*(1/2)*(1/2)*… (Exponenciacion de 1/2)
1/2-1/4-1/8 … 1/2N… 0
¿¿(i)*(i)*(i)*… (Exponenciacion de i)??
-i
i : -1 : -i : 1 : i -1 : -i : 1 : : i -1 : -i : 1 : i
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las
oscilaciones son exponenciales imaginarias.
Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones.
i
1
-1
En general, una exponencial
tiene una componente real
(contracción o dilatación) y una
parte imaginaria (rotación).
e Ct  e ( a bi )t  e at  eibt
-i
Cambio en la amplitud o modulo.
Amortiguación, disipación (o
amplificación) Perdida del
movimiento
Rotaciones, oscilaciones.
Movimiento periódico.
Sintetizando exponenciales y oscilaciones. Las
oscilaciones son exponenciales imaginarias.
Las multiplicaciones en el plano complejo: Contracciones y rotaciones.
i
1
-1
-i
Hasta ahora hemos visto una u otra
proyección, ya sea movimiento
exponencial u oscilatorio. En general,
como veremos en el oscilador
amortiguado, el movimiento se
descompone en estas dos
componentes, resultando en un
movimiento “espiralado”. Según el
ritmo (la velocidad) de rotación y el
ritmo de decaimiento se dan distintos
tipos de regimenes donde las
oscilaciones llegan o no a hacerse
evidentes..
e Ct  e ( a bi )t  e at  eibt