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XVIII Simposio Costarricense sobre Matemáticas, Ciencias y Sociedad
Edison De Faria Campos
Costa Rica
Octubre del 2004
1
Geometrías no euclidianas con tecnología digital
Edison De Faria Campos1
Universidad de Costa Rica
[email protected]
Resumen
En este taller utilizaremos una aplicación de geometría dinámica escrita en Java para
realizar construcciones geométricas en el modelo de Poincaré para geometría
hiperbólica con el propósito de investigar y determinar la naturaleza de algunos
teoremas de geometría para la enseñanza secundaria. Posteriormente utilizaremos el
Cabri Geometry para realizar algunas construcciones y resolver algunos problemas
relacionados con geometrías no euclidianas.
Introducción
La obra de Euclides más importante y de mayor influencia histórica fue Los Elementos
(denominados Stoikheia en griego). Según los historiadores, la obra no era una síntesis
de los trabajos matemáticos previos a la época, sino un libro introductorio con la
aritmética y la geometría elementales básicas disponibles (Ruiz, 1999, 2003). Euclides
en esta obra no asumió o pidió crédito de originalidad, por lo que se supone que tomó
elementos de matemáticos anteriores o de la época y los ordenó de forma lógica,
siguiendo un método que se le suele atribuir como algo original. Hay que añadir que la
obra fue escrita después de la muerte de Euclides y que, posiblemente, fueron añadidas
algunas cosas por los copistas. La primera versión impresa del libro apareció en 1482
en Venecia y ha tenido más de mil ediciones. Su tratado es fundamental para las
matemáticas, como los Principia de Newton, o los libros de Maxwell sobre la teoría
electromagnética lo son para la física, o El origen de las especies de Darwin para la
biología. En su libro, Euclides formuló las premisas fundamentales de la geometría, con
el uso de postulados y axiomas.
Los elementos contiene 13 capítulos o libros (posteriormente fueron añadidos 2 libros
más, escritos por autores posteriores). Los 6 primeros son sobre geometría plana, los
siguientes 3 sobre teoría de números, el décimo sobre inconmensurables y los tres
últimos sobre geometría de sólidos. El primer libro empieza con 23 definiciones, dos de
las cuales son:
Un punto es lo que no tiene parte.
Una recta es una longitud sin anchura.
Además contiene postulados (no tan evidentes) y nociones comunes (evidentes en sí
mismos) o axiomas (según Proclus). Algunas nociones comunes (axiomas) son:
1.
2.
3.
4.
Cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.
Si iguales se suman a iguales, los resultados son iguales.
Si iguales se restan de iguales, los restos son iguales.
Cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
Asociación de Matemática Educativa, ASOMED
Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas, CIMM
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5. El todo es mayor que la parte.
Los primeros postulados son:
1.
2.
3.
4.
5.
Se puede trazar una recta desde un punto a otro cualquiera.
Es posible extender un segmento de recta continuamente a una recta.
Es posible describir un círculo con cualquier centro y radio.
Todos los ángulos rectos son iguales.
Si una recta corta a otras dos rectas formando con ellas ángulos interiores del
mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, prolongadas
indefinidamente, se cortan del lado por el cual los ángulos son menores que dos
ángulos rectos.
Aristóteles pensaba que se debía probar la veracidad de los postulados demostrándose
que las proposiciones deducidas de ellos coincidían con la realidad. Proclus pensaba
diferente, pues para él toda la matemática era hipotética, es decir, sin importar si sus
deducciones eran o no verdaderas. Euclides no hizo diferencia entre los axiomas y los
postulados en su libro, además, los matemáticos de las épocas posteriores, durante
varios siglos, asumieron los postulados y los axiomas como verdades incuestionables, y
como los teoremas y proposiciones de esa geometría eran derivados de los axiomas,
entones, todo el edificio euclidiano no podía ser cuestionado. Por otro lado se
consideraba que nuestro mundo se describe mediante la geometría euclidiana con sus
axiomas y postulados.
En el quinto postulado, que Euclides formuló de manera complicada, está implícito el
concepto de infinito, y por ello desde tiempos muy remotos se trató de expresarlo de
manera diferente para eliminar el postulado y deducirlo de otros axiomas. El propio
Euclides no lo utilizó hasta el teorema 29 del libro I que dice : "una recta que corta a
dos paralelas forma con ellas ángulos alternos internos iguales, correspondientes
iguales e interiores de un mismo lado (conjugados internos) suplementarios." El
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esfuerzo de Euclides por evitar el uso del postulado V y construir la geometría con
independencia del mismo justifica la muy repetida frase de que Euclides fue el primer
geómetra no euclidiano, o que la geometría no euclidiana nació negando su paternidad.
En sus intentos, muchos matemáticos reemplazaron el postulado quinto por otras
aseveraciones que luego buscaban demostrar. El quinto postulado ha sido el
controversial. No parece ser tan auto evidente como los demás y es diferente de los
otros porque no se puede verificar empíricamente, por lo general, si dos rectas se cortan,
pues únicamente podemos trazar segmentos y no rectas completas, es decir, los
segmentos no pueden ser extendidos infinitamente.
Una tendencia que afloró repetidas veces fue la de modificar la definición de rectas
paralelas. Para Euclides eran aquellas que "no se encuentran por más que se las
prolongue" (Def. XXIII, libro I) . Proclo, matemático bizantino al que se le deben las
pocas noticias sobre Euclides, las define diciendo: "la distancia entre dos puntos de dos
rectas que no se cortan puede hacerse tan grande como se quiera prolongando
suficientemente las dos rectas". Esta proposición, que se atribuye a Aristóteles y se
toma como evidente, es verdadera siempre que las rectas se consideren líneas no
cerradas. Así el 5º postulado puede enunciarse como:
V 1 : Si una recta encuentra a una de dos paralelas, encuentra necesariamente a la otra.
V 2 : Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí
V 3 : Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha
recta.
Esta última aseveración es la más conocida, la más comúnmente utilizada en la
actualidad en los textos de geometría y se la atribuye usualmente a John Playfair,
matemático y geólogo inglés de principios del siglo XIX. Otra orientación que propone
un nuevo aspecto en la incidencia del postulado es la del Jesuita G. Saccheri según la
cual se demuestra que dicho axioma es equivalente a afirmar que: "la suma de los
ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos".
Los esfuerzos de los matemáticos en relación con el quinto postulado de Euclides se
dirigían en tratar de deducirlo a partir de otros postulados y axiomas o bien
reemplazarlo por otro postulado. También se dieron pruebas indirectas, es decir, se
utilizaba una versión contraria al postulado para demostrar que este nuevo conjunto de
postulados con la versión contraria conducía a una contradicción (reducción al absurdo).
El primer intento fue hecho por el astrónomo Claudio Ptolomeo (85-165 d. C.). Otros
que siguieron intentando fueron Proclus (410-485 d. C.), Nasir-Eddin (persa editor de
Euclides 1201-1274), John Wallis en 1693 (1616-1703), Klugel (1739-1812), Johann
Heinrich Lambert (suizo, 1728-1777), Ferdinand Schweikart (abogado alemán 17801859). En 1769 Joseph Fenn sugirió reemplazar el quinto postulado por el siguiente:
Dos rectas que se cortan no pueden ser paralelas a una tercera recta.
Este postulado es equivalente al dado por el matemático y físico escocés John Playfair
(1748-1819), la versión más conocida del quinto postulado:
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A través de un punto exterior una recta dada solo pasa una recta
paralela a la recta dada.
El matemático francés Legendre trabajó durante 40 años alrededor del quinto postulado.
En sus demostraciones siempre introducía un axioma que era equivalente o igualmente
complejo que el quinto postulado. Por ejemplo, demostró que el quinto postulado era
equivalente a:
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.
El más famoso intento de demostrar indirectamente el quinto postulado por reducción al
absurdo se debe al jesuita italiano Gerolamo Saccheri (1667-1733) de la Universidad de
Pavia, en su obra Euclides ab ovni naevo vindicatus (Euclides liberado de todo error).
Construyó un cuadrilátero ABCD con AC  BD y con ángulos A y B rectos. Para los
ángulos C y D (que son iguales) existen tres posibilidades:
1. Ángulos C y D rectos (consecuencia del V postulado de Euclides)
2. Ángulos C y D obtusos.
3. Ángulos C y D agudos.
Al usar la hipótesis del ángulo obtuso y los 9 axiomas restantes llegó a una
contradicción pues probó que los ángulos C y D debían ser rectos. Lo mismo ocurrió
con la hipótesis del ángulo agudo. Pero la contradicción encontrada no era ninguna
inconsistencia lógica sino que no estaba de acuerdo con la naturaleza de una recta. Dijo
Saccheri que la hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa porque es
repugnante a la naturaleza de la recta.
Saccheri llegó a construir ambos tipos de geometrías no euclidianas ¡sin darse cuenta!
En todo caso Saccheri se negó a aceptar que ninguna geometría de estas estuviera libre
de contradicciones, si bien algunos historiadores opinan lo contrario: que si Saccheri
hizo creer lo contrario fue para que publicaran su obra.
Resumen de las hipótesis de Saccheri
1) que los ángulos C y D sean iguales y rectos (hipótesis del ángulo recto).
2) que los ángulos C y D sean iguales y agudos (hipótesis del ángulo agudo).
3) que los ángulos C y D sean iguales y obtusos (hipótesis del ángulo obtuso).
Es inmediato que la hipótesis del ángulo recto corresponde a la construcción euclidiana.
En la hipótesis del ángulo agudo (C = D < 1 recto), la perpendicular OO' por el punto
medio del segmento AB, que también pasa por el punto medio del segmento CD,
dividirá al cuadrilátero en dos cuadriláteros iguales en donde A = O = O' = 1 recto
(figura abajo). Por lo tanto es AB < CD, lo cual implica que el ángulo ACB < ángulo
DAC y de esto se deduce que la suma de los tres ángulos es menor que dos rectos: A +
B + C < 2 rectos.
En la hipótesis del ángulo obtuso (C = D > 1 recto), actuando análogamente, la
perpendicular OO' por el punto medio del segmento AB, que también pasa por el punto
medio del segmento CD, dividirá al cuadrilátero en dos cuadriláteros iguales en donde
A = O = O' = 1 recto. Por lo tanto es AB > CD, lo cual implica que el ángulo ACB >
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ángulo DAC y de esto se deduce que la suma de los tres ángulos es menor que dos
rectos: A + B + C > 2 rectos.
Prueba Saccheri a continuación que si aceptamos la hipótesis del ángulo recto, del
ángulo obtuso o del ángulo agudo, la suma de los tres ángulos de un triángulo suman,
respectivamente, 180º, mas de 180º, o menos de 180º. Estos resultados, que obtiene en
primer lugar para triángulos rectángulos, los extiende rápidamente al caso de un
triángulo cualquiera descomponiéndolo en triángulos rectángulos.
Demuestra Sacheri a continuación que en la hipótesis del ángulo recto es verdadero el
quinto axioma de Euclides y en el cuadrilátero fundamental la suma de los cuatro
ángulos es igual a cuatro rectos. Intenta descubrir contradicciones en la hipótesis del
ángulo agudo, pero no logra evidenciar ninguna contradicción. Ante este fracaso no
duda en hacer una afirmación extraordinaria: en la hipótesis del ángulo agudo podría
construirse un sistema axiomático para la geometría desde el cual el quinto axioma de
Euclides pudiera ser demostrable o refutable.
El nacimiento de las geometrías no euclidianas
En la primera mitad del siglo XIX se originó un cambio fundamental en la forma de ver
la geometría y las matemáticas en general. Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
matemático alemán, Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) ruso y el húngaro János
Bolyai (1802-1860) crearon independientemente las geometrías no euclidianas, una
auténtica revolución científica. Concluyeron que el postulado euclidiano de las paralelas
no se podía probar a partir de los otros 9 postulados y axiomas de la geometría
euclidiana. Había que incluir un nuevo axioma que fuera contrario al de las paralelas.
La geometría que desarrollaron asumió que por un punto exterior a una recta pasan un
número infinito de rectas paralelas a la recta dada (no poseen puntos de intersección).
Esto se derivaba de la hipótesis del ángulo agudo de Saccheri. La geometría así
desarrollada incluía algunos de los resultados de la geometría euclidiana debido a que
asumía todos los otros axiomas excepto el quinto postulado y, por supuesto, otros
resultados distintos. Este tipo de geometría fue denominado por Félix Klein, geometría
hiperbólica.
Existen tres tipos de geometrías que surgen a partir del quinto postulado:
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1. Si se lo acepta: Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una recta
paralela a ella. Estamos frente a la geometría euclidiana, la que usualmente se
enseña en la educación formal primaria y secundaria.
Si se lo niega quedan dos opciones:
2. Por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas a ella.
Estamos frente a la geometría no euclidiana llamada hiperbólica.
3. Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela a ella.
En este caso estamos frente a la geometría no euclidiana llamada elíptica donde sus
rectas son rectas cerradas llamadas geodésicas.
Una forma de comprender las diferencias entre las tres geometrías se encuentra en la
demostración de la proposición según la cual "la suma de los ángulos interiores de un
triángulo es igual a 180º", válida únicamente en la geometría euclidiana por ser
equivalente al quinto postulado. En la geometría elíptica la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es mayor que 180º mientras que en la geometría hiperbólica es
menor que 180º.
El matemático alemán Karl F. Gauss (1777 – 1855) fue probablemente el que creyó por
primera vez en la independencia del quinto postulado al aceptar la posibilidad lógica de
que existiera una geometría en la cual se negara al quinto postulado, pero, por temor a
la incomprensión no publicó nada al respecto y sus reflexiones sobre el tema se
conocieron sólo a través de correspondencia.
Fue el joven matemático ruso Nikolai Lobachevski quien en 1826 finalmente se percató
de que el quinto postulado no puede deducirse de las otras proposiciones fundamentales
de la geometría y se atrevió a negar la "verdad evidente" de ese postulado de Euclides.
Tomó como cierta la proposición contraria: por un punto fuera de una recta, se puede
trazar no una, sino al menos dos rectas paralelas a ella. De ahí dedujo una serie de
teoremas, sin llegar a contradicción alguna. Con su trabajo, Lobachevski enseñó no sólo
que el quinto postulado es indemostrable sino algo aún más importante: desde un punto
de vista estrictamente lógico, se pueden concebir varias geometrías, la de Euclides cede
su lugar como verdad absoluta.
El matemático húngaro Janos Bolyai descubrió la imposibilidad de probar el quinto
postulado y publicó sus resultados en un apéndice al tratado sobre geometría que
escribió su padre en 1832, tres años después que Lobachevski. Además de Bolyai, los
matemáticos alemanes Schweikart y Taurinus siguieron rutas parecidas. Janos Bolyai,
hijo de Farkas, llegó a obsesionarse de tal forma con el problema que su padre,
conmovido, llegó a escribirle: "Por amor de Dios, te lo suplico, abandona. No le temas
en menor grado a las pasiones de los sentidos, por que, como ellas, puede robarte todo
tu tiempo y privarte de la salud, la tranquilidad de ánimo y el goce de la vida."
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Georg Bernhard Riemann (1826-1866) asumió que por un punto exterior a una recta no
pasa ninguna recta paralela a la recta dada, correspondiente a la hipótesis del ángulo
obtuso de Saccheri. En esta geometría (denominada elíptica por Klein) la suma de los
ángulos de un triángulo es mayor que 180 grados y se acerca a 180 grados cuando el
área del triángulo se acerca a cero.
Los resultados de las geometrías no euclidianas impactaron la física y las otras ciencias
evidenciando que la geometría euclidiana no siempre corresponde a nuestra realidad.
La geometría y las teorías físicas sobre la gravitación han evolucionado de la mano. El
desarrollo de una de estas ramas de la ciencia influyó siempre sobre la otra. Esta
afirmación es muy clara si nos referimos a la teoría general de la relatividad: las ideas
de Einstein sobre la gravitación son profundamente geométricas, pues según Einstein, la
presencia de una masa gravitacional altera la estructura del espacio-tiempo, curvándolo.
Por ello, para establecer sus ecuaciones del campo gravitatorio, Einstein empleó los
conceptos de la geometría de espacios curvos, propuesta por Riemann.
Un modelo (ejemplo) de geometría hiperbólica fue desarrollado por el matemático
italiano Eugenio Beltrami y el matemático alemán Félix Klein, modelo de BeltramiKlein:
a. Dibujemos un círculo C con centro en el punto O en el plano euclidiano.
b. Los puntos del interior de C representan los puntos del nuevo plano hiperbólico
(los puntos de la circunferencia de C no son parte de este plano).
c. Una cuerda es un segmento que conecta puntos de la circunferencia. El
segmento sin los puntos terminales se llama cuerda abierta.
d. Una recta en este modelo es una cuerda abierta.
Definición: Dos rectas son paralelas si no poseen un punto en común.
En este modelo dado una recta y un punto exterior a ella, existen infinitas rectas que
pasan por el punto y que son paralelas a la recta dada.
Otro modelo de geometría hiperbólica fue desarrollado por el matemático francés
Poincaré. Es un modelo parecido al de Beltrami-Klein.
a. El plano es el conjunto de los puntos interiores a un círculo C
b. Todos los diámetros son rectas.
c. Si C1 es un círculo ortogonal a C (en los puntos de intersección sus respectivos
radios son perpendiculares) entonces el arco de circunferencia de C1 que se
encuentra en el plano hiperbólico determinado por C también representa una
recta.
El ángulo entre dos rectas es el ángulo entre las rectas euclidianas que son tangentes a
las rectas en el plano de Poincaré. Así existen infinitas rectas que pasan por un punto
exterior a una recta dada y que son paralelas a la misma.
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¿Por qué es importante enseñar geometrías no euclidianas?
La National Council of Teachers of Mathematics en los estandares de evaluación y
curriculum para la enseñanza de las matemáticas para la enseñanza media propone
como objetivo enseñar la geometría para:
"Desarrollar la comprensión de un sistema axiomático mediante la
investigación y la comparación de geometrías no euclidianas con la
euclidiana. " [NCTM-89].
Algunas de las justificaciones para el estudio de geometrías no euclidianas son:
La palabra "definición" tiene un significado bastante preciso en geometría y este
posiblemente es diferente del significado que tiene en el lenguaje común. La confusión
existente sobre este concepto es fuente de muchas dificultades para la comprensión de
los procesos de demostraciones geométricas. El carácter extraño y no intuitivo de las
geometrías no euclidianos ayudan a los estudiantes a percibir la diferencia entre
definiciones y teoremas usados en geometría. Un estudio de las geometrías no
euclidianas aclara que la geometría no es algo acabado, sino que es un campo de
investigación actual y fructífero.
Descripciones no – euclidianas del mundo físico, utilizadas por ejemplo en la teoría de
la relatividad y en las investigaciones sobre fenómenos ópticos y sobre la propagación
de ondas, se revelaron bastante adecuadas. Las nuevas geometrías colaboraron así
mismo en la interpretación de modelos representativos de conceptos abstractos muy
utilizados hoy en día en física y otras áreas de la ciencia, como por ejemplo la
estadística.
Programas computacionales para geometría no euclidiana
Varios programas computacionales iterativos han sido desarrollados para permitir que
los estudiantes exploren geometrías euclidianas y no euclidianas. El Geometric
Supposer (Sunburst) el Geometry SketchPad (Key Curriculum Press), el Cabri
Geometry y el NonEuclid son algunos de ellos. Estos programas tienen capacidad para
graficar, dibujar y medir figuras geométricas con elevada precisión. Estas
potencialidades permiten que los estudiantes exploren patrones geométricos y teoremas.
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El programa NonEuclid utiliza el modelo bidimensional de Poincaré de la geometría
hiperbólica. El círculo frontera que aparece en la pantalla contiene el espacio
hiperbólico bidimensional infinito del modelo.
El programa NonEuclid crea un ambiente interactivo para el aprendizaje al permitir la
exploración de geometría no euclidiana para un nivel de enseñanza medio.
NonEuclid: un software para crear interactivamente construcciones con regla y compás
para los modelos de geometría hiperbólica de Poincaré y del medio plano superior
Actividad 1: Construcción de rectas, segmentos, triángulos y cuadriláteros
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para construir rectas, segmentos, triángulos y
cuadriláteros.
Dibujar algunas rectas, segmentos triángulos y cuadriláteros con el programa escrito en
Java, NonEuclid.
Actividad 2: Construcción de un cuadrilátero de Lambert
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para construir un cuadrilátero con 3 ángulos
rectos y el cuarto ángulo no recto.
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Dibujar el cuadrilátero de Lambert (matemático suizo) con 3 ángulos rectos y el cuarto
no recto).
Actividad 3: Suma de los ángulos de una región triangular
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para determinar la suma de los ángulos de
una región triangular.
Verificar que la suma de los ángulos de un triángulo (en la geometría hiperbólica) es
menor que 180 grados (mayor que 180 en la elíptica). Compruebe que si el área del
triángulo disminuye entonces la suma de los ángulos de la región triangular aumenta
acercándose a 180 grados cuando el área del triángulo se acerca a cero.
Disco de Poincaré
Medio Plano superior de Poincaré
Actividad 4: Segmentos que unen los puntos medios de un cuadrilátero
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para construir un cuadrilátero y determinar si
los segmentos que unen los puntos medios de sus lados es un paralelogramo.
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Actividad 5: Cuadrilátero de Sachheri
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para construir un cuadrilátero de Sachheri y
conjeturar relaciones con algunos de sus elementos.
Construya el cuadrilátero de Sachheri JEGC con los lados JC, EG (legs) congruentes y
perpendiculares al lado JE (base). El lado CG se denomina summit y los ángulos JCG,
JEG son ángulos summit.
a) Investigue los ángulos summit en el cuadrilátero de Saccheri JEGC.
b) Compare la longitud del summit y la base del cuadrilátero.
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c) Compare la longitud del segmento que une los puntos medios de la base y el
summit del cuadrilátero con cada uno de sus legs.
d) Verifique el ángulo formado por el segmento anterior y la base (y el summit).
e) Saque algunas conclusiones respecto a cuadriláteros de Sachheri.
Actividad 6: Cuadrilátero de Lambert
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para construir un cuadrilátero de Lambert y
conjeturar sobre algunos de sus elementos.
El cuadrilátero de Lambert CDJK tiene tres ángulos rectos.
a. Conjeture sobre el ángulo no recto del cuadrilátero de Lambert.
b. Conjeture sobre las longitudes de los lados del cuadrilátero de Lambert.
Actividad 7: Teorema de Pitágoras
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para verificar si el teorema de Pitágoras
sigue siendo válido en la geometría hiperbólica.
Construir un triángulo rectángulo GHE y verificar si el teorema de Pitágoras es
verdadero en la geometría hiperbólica o bien si es un teorema estrictamente Euclidiano.
Actividad 8: Elementos en un triángulo
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para verificar si el segmento que une los
puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su medida es la
mitad de la medida del tercer lado.
Construir un triángulo arbitrario. Unir los puntos medios de dos lados del triángulo y
determinar si este segmento es paralelo al tercer lado. Además verificar si existe alguna
relación entre la medida del segmento que une los puntos medios y la medida del tercer
lado del triángulo. Concluir si el teorema respecto al paralelismo es neutral o
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estrictamente Euclidiano. Hacer lo mismo con el teorema para las medidas de los
elementos analizados.
Actividad 9: Triángulo inscrito en un semicírculo
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para verificar si un triángulo inscrito en un
semicírculo y con un lado sobre el diámetro de este es rectángulo.
.
Actividad 10: Circunferencias y rectas
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para verificar si una recta es tangente a una
circunferencia.
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Dado un círculo C1 de centro H y radio HD y un punto E fuera del círculo, construir el
punto medio P del segmento HE y trazar el círculo C2 con centro en P y radio PE. Sean
G y J los puntos de intersección entre las circunferencias de C1 y de C2. Trazar los
rayos EG y EJ y verificar si los mismos son tangentes a la circunferencia de C1.
Actividad 11: Bisectrices de los ángulos de un triángulo
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para verificar si las bisectrices de un
triángulo arbitrario se cortan en un punto común.
Construir un triángulo arbitrario y sus bisectrices. Verificar si éstas se intersecan en un
punto común. Si la respuesta es afirmativa verificar si este punto común es el centro de
un círculo inscrito en el triángulo (incentro).
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Actividad 12: Alturas de un triángulo
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para verificar si las alturas de un triángulo
arbitrario se cortan en un punto común.
Construir un triángulo arbitrario y sus alturas. Verificar si éstas se intersecan en un
punto común (ortocentro).
Actividad 13: Mediatrices de un triángulo
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para verificar si las mediatrices de un
triángulo arbitrario se cortan en un punto común.
Construir un triángulo arbitrario y sus mediatrices. Verificar si éstas se intersecan en un
punto común. Si la respuesta es afirmativa verificar si este punto común es el centro de
un círculo que inscribe al triángulo (circuncentro).
Actividad 14: Medianas de un triángulo
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para verificar si las medianas de un triángulo
arbitrario se cortan en un punto común.
Construir un triángulo arbitrario y sus medianas. Verificar si éstas se intersecan en un
punto común (baricentro o centroide).
Actividad 15: Teorema de Napoleón
Objetivo: Utilizar el programa NonEuclid para verificar si el teorema de Napoleón es
válido en geometría hiperbólica.
Construir un triángulo arbitrario ABC. Sobre cada uno de los lados del triángulo
construya un triángulo equilátero. Construya los baricentros de los triángulos
equiláteros y construya el triángulo con vértices en los baricentros. Verificar si el
triángulo construido es equilátero.
Referencias
Ruiz, A. (1999). Geometrías no euclidianas. Breve historia de una gran revolución
intelectual. Editorial de la Universidad de Costa Rica.
Ruiz, A. (2003). Historia y Filosofía de las Matemáticas. Editorial Universidad Estatal a
Distancia.