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El Quinto Postulado de Euclides
• Euclides, para las numerosas generaciones que se han
nutrido de su substancia, ha sido quizá menos un profesor
de geometría que un profesor de lógica. (Brunschvig)
• En matemática, ninguna afirmación falsa puede ocultarse
o hacerse invisible, pues las demostraciones deben seguir
siempre el hilo de la intuición pura y avanzar a través de
una síntesis siempre evidente. (Kant)
Quinto Postulado
P5: Si una línea recta incidente sobre dos líneas rectas
hace ángulos internos por un mismo lado menores que
dos ángulos rectos, entonces las dos líneas rectas
prolongadas indefinidamente se encuentran por el lado
en que están los ángulos menores que dos ángulos
rectos.
Definición 23
• Def. 23: líneas rectas paralelas son líneas rectas
coplanares que prolongadas indefinidamente en ambos
sentidos, no se encuentran en ninguno de los dos
• No implica unicidad de las paralelas, ni equidistancia
Quinto postulado
Antecedente: una recta transversal incide sobre otras dos y
determina ángulos menores que dos ángulos rectos
Consecuente: las dos rectas se encuentran al prolongarlas
por el lado de la recta incidente en que están los ángulos
menores que dos rectos
• Contraposición: Si las rectas no se encuentran (paralelas),
los ángulos no son menores que dos rectos.
Unicidad de las paralelas
• Caso límite: los ángulos determinados son iguales a dos
rectos
• Implícitamente definición 23 y postulado 5 implican la
unicidad de la paralela.
• Demostrar el quinto postulado equivale a mostrar que la
recta incidente forma ángulos internos iguales a dos
rectos.
• Def 23 y p5 restringen el paralelismo a equidistancia. La
definición 23, dado p5 pierde generalidad.
Intentos de (y avances en la)
demostración del quinto postulado
Ptolomeo (85-165)
Proclo (410-485)
Omar Jayam (1050(?)-1123)
Nasir Edin (1210-1274)
Giordano Vitale (1633-1711)
Giovanni Gerolamo Saccheri (1667-1733)
Paralelismo como equidistancia
• Proclo atribuye la concepción de las rectas paralelas como
rectas equidistantes a Posidonio (si no hay equidistancia, no
hay paralelismo):
Tal es el concepto euclidiano de paralelismo; pero Posidonio dice
que dos rectas son paralelas cuando estando situadas en un plano, no
se acercan ni se alejan, siendo iguales las perpendiculares trazadas
desde los puntos de una a la otra, mientras que las rectas que hacen
cada vez menores esta perpendiculares se inclinan una sobre otra; y
como la perpendicular basta para definir las alturas de las áreas y las
distancias entre rectas, cuando las perpendiculares son iguales
también lo son distancias entre las rectas, pero cuando hay mayores
y menores, las rectas se acercan en el lado en que están las
perpendiculares más pequeñas.
Proclo
• Proclo, en sus comentarios, criticó el quinto postulado del siguiente modo:
Debe ser borrado por completo de los postulados porque se trata de un
teorema henchido de dificultades, que Tolomeo se puso a resolver en un
libro, y su demostración requiere varias definiciones y teoremas. Más aún:
La proposición conversa es efectivamente demostrada por el propio
Euclides como un teorema. La afirmación" de que puesto que cuando las
rectas son prolongadas más y más, alguna vez se cortarán parece plausible
pero no necesaria. Por esto, es claro que debemos dar una prueba de este
teorema, que es ajeno al carácter especial de los postulados
• Se sentía incómodo con la noción de paralelismo como equidistancia.
Paradoja de Gémino: las asíntotas también son paralelas en cuanto no se
encuentran por más que se prolonguen según la def. 23 pero no lo son en el
sentido de Posidonio
Problema: demostrar el quinto postulado directa o indirectamente
Ptolomeo
• Ptolomeo: trató de demostrar el quinto postulado usando
los otros 9 axiomas y los teoremas del 1 al 28 que no
dependen del quinto postulado
• Teorema: si las rectas son paralelas, los ángulos internos
son iguales a dos rectos
Ptolomeo
•
Como los ángulos internos del mismo lado de la secante son, necesariamente, iguales,
menores o mayores que 2 rectos, sean AB y GD 2 paralelas cortadas por la recta HZ. Digo
que esta recta no forma ángulos internos del mismo lado de ella que valgan más de 2 rectos.
En efecto, si los ángulos formados por las rectas AZ y ZH, GH y HZ son mayores que 2
rectos, los formados por BZ y ZH, DH y HZ serían menores que 2 rectos, y como también son
mayores que 2 rectos, porque las rectas AZ y GH no son más paralelas que las ZB y HD,
resulta que si la recta que incide sobre las AZ y GH forma ángulos internos mayores que 2
rectos, la que incide sobre ZB y HD también forma ángulos internos mayores que 2 rectos;
pero, estos ángulos internos también son menores que 2 rectos, lo cual es imposible; y del
mismo modo demostraría que la secante forma ángulos internos menores que 2 rectos; luego,
si los ángulos internos no son mayores ni menores que dos rectos, tienen que ser iguales a dos
rectos.
Ptolomeo
• H 1: los ángulos son mayores a dos rectos
• H 2: los ángulos son menores a dos rectos
• Conclusión: los ángulos internos por el otro lado de la
transversal son al mismo tiempo menores y mayores que
dos rectos (contradicción)
• T: no son mayores ni menores luego son iguales a dos
rectos.
• Error de Ptolomeo: el argumento de que dos rectas de un
lado de la transversal no son más paralelas que dos rectas
del otro lado de la transversal presupone la unicidad de la
paralela
Demostración de Proclo
• El mismo Proclo dio una demostración del quinto
postulado suponiendo el axioma de Aristóteles: si dos
rectas que forman un ángulo, a partir de un punto se
prolongan al infinito, el intervalo entre ambas se puede
hacer mayor que toda magnitud finita, luego la distancia
entre las rectas puede hacerse mayor que cualquier
magnitud finita dada prolongando suficientemente las
rectas.
• Dadas dos rectas paralelas m y l. Suponer que n es distinta de
m y que corta a m en P. Sea Q el pie de la perpendicular desde
P a l. Veamos que n corta a l. Si n coincide con la recta PQ, n
corta a l. Si n no coincide con la recta PQ una de las semirectas
de n la PY está entre la semirecta PQ y una semirecta de m.
Sea X el pie de la perpendicular de Y hasta m. Ahora si Y se
desliza hasta el final de n, el segmento XY crece
indefinidamente y como la distancia entre m y l es constante,
en algún momento deberá cruzar l
Omar Jayam
Primero en estudiar el problema del quinto postulado
utilizando los denominados cuadriláteros de Saccheri.
Jayam construyó cuadriláteros con lados iguales y dos
ángulos rectos en la base y mostró que si los lados
perpendiculares a la base son iguales, los ángulos
posteriores a los de la base son iguales. Demostró también
que el bisector perpendicular de la base es bisector
perpendicular del lado opuesto a la base.
Cuadriláteros de Saccheri
H: cuadrilátero ABCD con
AC = BD, A=B=1
ángulo recto
T: D=C
El postulado de Euclides
es equivalente a decir que
D y C son rectos
Nesir Edin
• Prueba el quinto postulado a condición de que se acepte la siguiente
premisa: si dos líneas rectas r y s son la una perpendicular y la otra
oblicua aun segmento, AB, las perpendiculares trazadas de s hacia r
son menores que AB por el lado en que s forma un ángulo agudo
con AB y mayores que AB por el lado en que s forma un ángulo
obtuso con AB.
Giordano Vitale
Demostró el siguiente teorema: sea ABCD un cuadrilátero
cuyos ángulos A y B son rectos, cuyos lados AD y BC son
iguales y tal que HK es una perpendicular trazada desde
el punto H del lado DC hasta el punto k de la base AB del
cuadrilátero, entonces, los ángulos en C y en D son
iguales, cuando el segmento HK es igual al segmento
AD, los ángulos en C y en D son rectos y CD equidista a
AB
Teorema de Vitale
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•
•
H:
ABCD es un cuadrilátero
<A y <B son rectos
AD =BC
H es un punto en CD, K en AB
HK es perpendicular
T: <D=<C
Si HK = AD, entonces <D=<C= 1 recto
CD equidista de AB
Teorema de Vitale
•
•
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Demostración
Proposición
Unir A con C, B con D
AB=AB, AD=BC, <A=<B
ABD=ABC
AC=BD
AC=BD, AD=BC, DC=DC
ACD=BCD
<D=<C
Justific.
(H, p1)
(H,a)
(b.t4)
(c.)
(d, H)
(e, t8)
(f.)
John Wallis:
• Propuso un nuevo postulado que
supuso más plausible que el quinto
postulado (por medio del primero
probó el segundo)
• Postulado de Wallis: para cualquier
figura existe una figura semejante de
magnitud cualquiera.
• Con ello podía deducir la existencia
de un cuadrilátero en el que la suma
de ángulos es igual a 4 ángulos rectos
de donde habría podido deducir el
quinto postulado
Saccheri
Euclides vindicado de toda mancha
o conato geométrico mediante el
cual se establecen los verdaderos
primeros principios de toda la
geometría
• 23 definiciones
• 4 postulados
• Negación del postulado 5
• 28 proposiciones libro I
• Hipótesis de la infinitud de la
recta
• Hipótesis de la continuidad de la
recta
• Postulado
de
EudoxioArquímedes
Cuadriláteros de Saccheri
Proposición I: si un cuadrilátero
tiene dos ángulos consecutivos
en A y en B rectos y los lados
AD y BC desiguales entonces de
los ángulos en C y en D es
mayor el adyacente al lado
menor, es menor el adyacente al
lado mayor, si los lados son
iguales, entonces los ángulos son
iguales.
Cuadriláteros de Saccheri
.
Hipótesis de Saccheri
• El postulado de Euclides es equivalente a decir que los
ángulos iguales C y D son rectos. Saccheri consideró dos
alternativas las tres alternativas posibles:
• H del ángulo recto: C=D=1 recto (HR)
• H del ángulo agudo: C=D<1 recto (HA)
• H del ángulo obtuso: C=D>1 recto (HO)
• Con base en estas H y los 9 axiomas de Euclides supuso
que HA y HO debían conducir a contradicciones,
demostrando la verdad de HR
Saccheri
• Saccheri demostró una serie de teoremas tratando de
encontrar la contradicción al asumir la HA y HO, sin
embargo aunque encontró afirmaciones contrarias a la
experiencia, no encontró contradicciones conceptuales.
• Con respecto a sus predecesores avanzó en la
demostración del p5 al considerar que desde el punto de
vista puramente lógico no se podía excluir el examen de
ninguna de las posibilidades (HA, HO y HR) aunque dos
de ellas (HA y HO) parecieran contraintuitivas.
• Sin embargo, sus prejuicios lo condujeron a formular la
• Proposición XXXIII: La hipótesis del ángulo agudo es
absolutamente falsa, porque repugna a la naturaleza de
la línea recta.
Conclusiones
• Klügel presentó en 1763 como disertación de la
universidad de Göttingen “una recensión de los
principales intentos para demostrar la teoría de las
paralelas” donde examina más de treinta demostraciones
del quinto postulado concluyendo que tales
demostraciones son insuficientes y sugiriendo:
• “sería posible, sin duda, que rectas que no se cortan,
diverjan… que tal cosa sea un contrasentido lo sabemos
no por rigurosas consideraciones ni en virtud de claros
conceptos de líneas rectas y curvas, sino más bien,
mediante la experiencia y el juicio de nuestros ojos”
Conclusiones
• Esta evolución desde la geometría euclidiana a la no
euclidiana cuyo transito se produjo a través de los
intentos de demostración del p5 contribuyó a que los
matemáticos privilegiaran finalmente como criterio de
validez racional la consistencia conceptual (consistencia
lógica) a pesar de lo contraintuitivas que pudieran ser sus
conclusiones sobre la correspondencia exacta entre las
proposiciones matemáticas y la experiencia
• ¿Son independientes los juicios de la lógica y la
matemática (las relaciones conceptuales) de la
información perceptual y la experiencia sensible?