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INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA. ÍNDICE
• Historia de la Trigonometría.
•Grados sexagesimales y radianes.
• Seno de un ángulo agudo.
• Coseno de un ángulo agudo.
• Tangente de un ángulo agudo.
• Ampliación del concepto de ángulo.
• Relaciones entre las razones trigonométricas.
• Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
• Signos de las razones trigonométricas en los distintos cuadrantes.
• Razones trigonométricas de ángulos suplementarios.
• Razones trigonométricas de ángulos que difieren en 180º.
• Razones trigonométricas de ángulos opuestos.
• Razones trigonométricas de ángulos complementarios.
• Razones trigonométricas de 0º.
• Razones trigonométricas de 90º.
• Razones trigonométricas de 180º.
• Razones trigonométricas de 270º.
• Resolución de triángulos rectángulos.
• Ejemplo de resolución de triángulo rectángulo.
• Resolución de triángulos no rectángulos. Ejemplo.
• Funciones trigonométricas. Función seno.
• Función coseno.
• Función tangente.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
La Trigonometría es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de
las relaciones que existen entre los ángulos y los lados de un triángulo. Estas
relaciones se aplican para resolver muchas situaciones de la vida cotidiana.
La Trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es
“la medición de los triángulos”.
Se deriva del vocablo griego:
τριγωνο <trigōno> “triángulo” + μετρον <metron> “medida”.
Si quieres saber más sobre la historia y aparición de la Trigonometría, puedes
acceder a la presentación titulada: HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA.
GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES
La longitud de una circunferencia es de 2πR. Tomando como unidad de medida
el radio o lo que es lo mismo, Radio = 1, un arco completo de circunferencia
mide 2π radios. Por tanto:
90º =π /2 rad
0º
180º =π rad
• 1 radián = 180º/π = 57º 17' 44,81''
• N grados = Nπ / 180 radianes
• n radianes = 180n / π grados
360º =2π rad
270º = 3π/2 rad
SENO DE UN ÁNGULO AGUDO
• Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto
opuesto al ángulo B, se llama “seno de B”.
• Se simboliza sen B.
Por semejanza de triángulos se tiene que:
sen B b
b
  sen B 
1
c
c
• El seno de un ángulo B es igual al cateto
opuesto dividido por la hipotenusa.
COSENO DE UN ÁNGULO AGUDO
• Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto
contiguo al ángulo B, se llama “coseno de B”.
• Se simboliza cos B.
Por semejanza de triángulos se tiene que:
cosB a
a
= . Luego : cosB =
1
c
c
• El coseno de un ángulo B es igual al cateto
contiguo dividido por la hipotenusa.
TANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDO
Como ABC y SBT son semejantes:
TS sen B
sen B

 TS 
1 cos B
cos B
• Si la hipotenusa mide 1, la medida segmento
ST, se llama “tangente de B”.
• Se simboliza tan B.
Por semejanza de triángulos se tiene que:
tan B b
b
  tan B 
1
a
a
• La tangente de un ángulo B es igual al
cateto opuesto dividido por el cateto
contiguo.
AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO ÁNGULO
Ángulo reducido de un
ángulo es el ángulo
menor que 360º definido
por su misma posición
= 405º
= –105º
El ángulo reducido de 405º
es el de 45º
Origen de
medida de
ángulos
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
(sen α )2 + (cos α)2 = sen2 α + cos2 α = 1
tg α =
sen α
cos α
Dividiendo en la relación anterior por cos2 
sen 2 α + cos 2α
1
=
cos 2α
cos 2α
sen 2 α cos 2α
1
 2 =
2
cos α cos α cos 2α
1  tan 2  
cos 2  sen 2
1


cos 2  cos 2  cos 2 
1
cos 2 
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Dividiendo por sen 2 tenemos:
sen   cos   1
2
2
sen 2  cos 2 
1
sen 2
cos 2 
1
1

sen 2 sen 2
cos 2 
1
1

sen 2 sen 2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
r
y r
y

x
x
sen α =
y
r
cos α =
x
r
tg α =

x
y
r

y
x

x
y
r
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EN LOS DISTINTOS CUADRANTES
α
Sen α
sen 

90º = /2 rad
cos 
Cos α
I
II
(- ,+)
(+,+)
0º
180º = π rad
360º = 2π rad
III
(-,-)
(+,-)
IV
α
α
Cos α
Cos α
Signos del (coseno, seno)
en cada cuadrante
sen 
Sen α
270º =3π /2 rad
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Si un ángulo mide α su suplementario mide 180º – α.
180º – α
1
sen (180º – α) = sen α
1
y
α
–x
y
cos (180º – α) = – cos α
x
tan (180º – α) = – tan α
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide α el otro mide 180º + α.
sen (180º + α) = – sen α
1
α
–x
–y
y
cos (180º + α) = – cos α
x
1
tan (180º + α) = tan α
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS
Si dos ángulos son opuestos y uno mide α el otro mide – α.
Sen (– α) = sen(360º – α) = – sen α
1
y
α
x
1
–y
Cos (– α) = cos(360º – α cos α
–α
tan (– α) = tan (360º – α) = – tan α
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Si un ángulo mide α su complementario mide 90º – α.
B
sen (90º – α) = AC / AB = cos α
90º - α
cos (90º – α) = BC / AB = sen α
tan (90º – α) = 1 / tan α
α
C
A
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º = 0 rad
r=1
sen 0º = 0
cos 0º=1
0º = 0 rad
sen 0º= 0
cos 0º= 1
0
tg 0º= = 0
1
1
cos c 0º = = No existe
0
1
sec 0º= = 1
1
1
cot g 0º= = No existe
0
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
90º =
r=1
π
rad
2
sen 90º = 1
cos 90º = 0
90º = π rad
2
sen 90 º= 1
cos 90 º= 0
1
tg 90 º= = No existe
0
1
cos c 90 º= = 1
1
1
sec 90 º= = No existe
0
0
cot g 90 º= = 0
1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 180 º = π rad
sen 180º = 0
cos 180º=-1
180º = π rad
r=1
sen 180 º= 0
cos 180 º= − 1
0
tg 180 º = = 0
−1
1
cos c 180 º= = No existe
0
1
sec 180º= = − 1
−1
1
cot g 180 º= = No existe
0
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 270 º = 3 π rad
2
cos 270º =0
sen 270º =-1
r=1
3π
270º = rad
2
sen 270 º= − 1
cos 270º= 0
−1
tg 270 º= = No existe
0
1
cos c 270 º= = -1
−1
1
sec 270º= = No existe
0
0
cot g 270º= = 0
−1
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
A
b
90º
C
Resolver un triángulo es calcular
todos los elementos del mismo
(lados y ángulos) a partir de
algunos de ellos.
c
a
B
Fórmulas necesarias para resolver un triángulo rectángulo
• A + B + C = 180º  B + C = 90º
• Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2
 senB  ba
c
 cosB  a
b
 tanB 
c
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. EJEMPLO
• Vamos a calcular el lado b.
• Vamos a calcular el lado c.
Podemos hacerlo por el teorema de
Pitágoras
o
por
razones
trigonométricas. Hagámoslo de las dos
formas para comprobar que da el
mismo resultado.
PRIMERA FORMA: Teorema de Pitágoras.
SEGUNDA FORMA: Razones trigonométricas.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS. EJEMPLO
Pueden resolverse triángulos no rectángulos
aplicando correctamente las razones
trigonométricas. Veamos un ejemplo. Se
trata de calcular la altura h del triángulo de
color rosa.
Consideramos el
grande. Entonces:
triángulo
rectángulo
Si consideramos el triángulo rectángulo
pequeño, entonces:
Ahora debemos resolver el sistema de ecuaciones por igualación.
Por tanto:
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN SENO
A cada ángulo podemos asociarle el valor de cada una de sus razones
trigonométricas. Se definen así las funciones trigonométricas.
La función seno (sen x) asocia a cada valor de x el valor de sen x. La imagen
siguiente muestra inicialmente la función sen x. Se han puesto los valores de x
en radianes.
Haz clic en el enlace y construye la función seno de forma interactiva.
FUNCIÓN SENO
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN COSENO
La función coseno (cos x) asocia a cada valor de x el valor de cos x. La imagen
siguiente muestra inicialmente la función cos x. Se han puesto los valores de x
en radianes.
Haz clic en el enlace y construye la función coseno de forma interactiva.
FUNCIÓN COSENO
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN TANGENTE
La función tangente (tg x) asocia a cada valor de x el valor de tg x. La imagen
siguiente muestra inicialmente la función tg x. Se han puesto los valores de x
en radianes.
Haz clic en el enlace y construye la función coseno de forma interactiva.
FUNCIÓN TANGENTE
HASTA PRONTO, CHAVALES.
ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO.
COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON
LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA
PÁGINA WEB.
¡¡¡¡ ADIOS !!!!