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1º I.T.I. :
MECANICA I
TEMA Nº 15:
DINÁMICA
CINÉTICA DEL PUNTO
Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de Materiales
Ingeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila
I.T.I 1º:
MECANICA I

Punto 15.1 Introducción

Punto 15.2 Ecuaciones del movimiento




15.2.1 Segunda Ley de Newton
15.2.2 Ecuaciones del movimiento de un punto
15.2.3 Ecuaciones del movimiento de un sistema de puntos
Punto 15.3 Movimiento rectilíneo



Indice
Puntos 13.3.1 a 13.3.6 Conocidas x(t), v(t), a(t), a(x), a(v) y a = cte
13.3.7 Análisis gráfico
Punto 15.4 Movimiento curvilíneo


Punto 15.4.1 Movimiento curvilíneo plano
Punto 15.4.2 Movimiento curvilíneo en el espacio
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I.T.I 1º:
MECANICA I
15.1 Introducción
Cuando la resultante del sistema de fuerzas que se ejerce sobre un cuerpo puntual es
nula, el cuerpo está en equilibrio (reposo o velocidad constante). Cuando dicha
resultante no es nula, el cuerpo se halla animado de movimiento acelerado.
Las fuerzas no equilibradas y los movimientos que originan constituyen la cinética,
tema a tratar en los dos capítulos que quedan por impartir en este curso.
El movimiento que experimenta un cuerpo cuando está sometido a un sistema de
fuerzas no equilibrado se puede establecer utilizando tres métodos diferentes:
1.- Método de fuerza, masa y aceleración.
2.- Método de trabajo y energía.
3.- Método de impulso y cantidad de movimiento.
El método más útil para la resolución de un problema particular depende de la
naturaleza del sistema de fuerzas (constantes o variables) y de la información que se
busca (reacciones, velocidades, aceleraciones, etc.).
En este curso únicamente se va a desarrollar el primero de los tres métodos, no porque
no sean interesantes los otros dos, sino porque el primero de ellos es el más utilizado y
por la falta de tiempo para explicar adecuadamente todos ellos.
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15.2 Ecuaciones del movimiento
Antiguamente se creía que un cuerpo en reposo estaba en su estado natural, por lo que
para mantenerlo en movimiento era necesaria una cierta fuerza. La gran contribución
de Newton a la Mecánica fue darse cuenta de que no era necesaria una fuerza para
mantener en movimiento un cuerpo una vez que se hubiera puesto en movimiento y
que el efecto de una fuerza es alterar una velocidad, no mantenerla.
15.2.1 Segunda ley de Newton
La primera ley de Newton atañe a un punto material en reposo o que se mueva con
velocidad constante y la tercera ley de Newton rige la acción y reacción entre cuerpos
que interactúan. Ambas se han utilizado para desarrollar los conceptos de Estática.
La segunda ley de Newton para el movimiento, que relaciona el movimiento acelerado
de un punto material con las fuerzas que originan el movimiento, constituye la base de
los estudios de Dinámica.
La primera ley de Newton constituye un caso particular de la segunda. Cuando la
fuerza resultante es nula (R = 0), la aceleración del punto es nula (a = 0); por lo que el
punto estará en reposo o moviéndose con velocidad constante (EQUILIBRIO).
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El enunciado moderno de 2ª ley de Newton es:
Si sobre una partícula se ejerce una fuerza exterior, aquella se acelerará en la
dirección y sentido de la fuerza y el módulo de la aceleración será directamente
proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa de la partícula.
Matemáticamente:
a k
F
donde:
m
• a es la aceleración de la partícula.
• F es la fuerza que se ejerce sobre la partícula.
• m es la masa de la partícula.
• k es una constante de proporcionalidad en función de
las unidades (k = 1, si usamos las unidades del S.I.)
Esta ecuación, válida tanto para fuerzas constantes como para fuerzas que varíen con el
tiempo (en módulo o dirección), nos dice que los módulos de F y a son proporcionales
y que los vectores F y a tienen la misma dirección y sentido (ya que m es un escalar
positivo). Un sistema para el cual k = 1 tendrá unidades cinéticas coherentes (Ej.- SI).
La unidad de fuerza (Newton) es la fuerza que aplicada a una masa de 1 kg le
comunica una aceleración de 1 m/s2.
En el sistema SI, el peso W de un cuerpo (fuerza de la gravedad) vale: W  mg
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15.2.2 Ecuaciones del movimiento
de un punto
Cuando sobre un punto material se ejerce un sistema de fuerzas F1, F2, F3, …Fn, su
resultante es una fuerza R cuya recta soporte pasa por el centro de masa del punto, ya
que todo sistema de fuerzas que se ejerzan sobre un punto debe constituir un sistema
de fuerzas concurrentes. El movimiento del punto material viene regido por la 2ª ley de
Newton así:
R  F ma
En función de sus componentes cartesianas rectangulares:
 F i  F
x
y
j Fz k   m ax i  a y j az k   m vx i  vy j vz k   m x i  y j z k 
Cuando se utilice
alguna de estas
ecuaciones del
movimiento de un
punto, deberá
establecerse un
convenio de signos.
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15.2.3 Ecuaciones del movimiento
de un sistema de puntos
Las ecuaciones del movimiento de un sistema de puntos materiales se pueden obtener
aplicando la 2ª ley de Newton a cada uno de los puntos pertenecientes al sistema.
Ejemplo.- consideremos el conjunto de n partículas
representado en la figura. La partícula i-ésima tiene una
masa mi y su situación se especifica respecto a un sistema
de ejes de referencia adecuado utilizando el vector de
posición ri. Cada partícula del sistema puede estar sometida
a un sistema de fuerzas exteriores de resultante Ri y a un
sistema de fuerzas interiores fi1, fi2, fi3, …fin,. Las fuerzas
interiores se deben a las interacciones elásticas entre
partículas y a efectos eléctricos o magnéticos. La fuerza
interior ejercida por la partícula pj sobre la partícula pi se
representa por fij. Aplicando la 2ª ley de Newton a la
n
partícula i-ésima se tiene:
Ri   f ij  mi ai
j 1
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Aplicando 2ª ley de Newton a la partícula i-ésima
n
Ri   f ij  mi ai
j 1
En la suma de fuerzas interiores, fii es nula porque la partícula pi no se ejerce fuerza
sobre sí misma.
Si una partícula pj ejerce una fuerza fij sobre la partícula pi, la 3ª ley de Newton nos
dice que la partícula pi ejercerá sobre la pj una fuerza fji de igual recta soporte y
módulo que fij pero de sentido opuesto.
Sumando las ecuaciones del movimiento correspondiente a las n partículas del sistema
se obtiene una ecuación del movimiento para el sistema. Así pues,
 n
 n
Ri     f ij    mi ai

i 1
i!  j 1
 i 1
n
n
n
n
 R   Ri   mi ai
i 1
(1)
i 1
Esta ecuación nos indica que la resultante R del sistema exterior de fuerzas aplicadas
que se ejercen sobre el sistema de partículas es igual a la resultante de los vectores de
inercia m.a (denominados a veces fuerzas de inercia) de las partículas del sistema.
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Si consideramos el CDM del sistema de puntos
materiales se puede escribir la ecuación anterior
de otra forma.
El CDM del sistema es el punto G definido por el vector de posición rG que satisface
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n
m rG   mi ri
j 1
n
donde m   mi
j 1
Derivando respecto al tiempo la ecuación anterior tenemos
n
m rG   mi ri
j 1
n
n
j 1
j 1
y m rG   mi ri  m aG   mi ai (2)
Combinando las ecuaciones (1) y (2) tenemos: R  m aG
F
F
F
x
Rx  m aGx
y
R y  m aGy
Rz  m aGz
Estas ecuaciones constituyen el “principio del movimiento del centro de masa” de un
sistema de puntos materiales. Como estas expresiones son formalmente iguales a las
obtenidas para un punto material único, un sistema de puntos materiales se puede tratar
como un punto material único, situado en el CDM G, si se supone que se aplica una
fuerza igual a la resultante R soportada por una recta que pase por G. De hecho, todo
cuerpo puede ser considerado como punto material al aplicar la ecuación anterior.
z
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15.3 Movimiento rectilíneo
En el tema 13 se describió la Cinemática del punto material animado de movimiento
rectilíneo. Si orientamos el eje x de manera que coincida con la trayectoria del
movimiento tendremos que :
r  x i;
v  r  x i ;
a  r  x i ;
En el caso del movimiento rectilíneo a lo largo del eje x, las ecuaciones de la Cinética
se reducen a:
F m a ;
F 0;
F 0

x
x

y

z
En este tipo de movimiento, podemos prescindir de la notación vectorial y utilizar el
signo de una magnitud para indicar si el sentido de una magnitud vectorial es el del
semieje positivo o el del negativo del eje x.
Existen 4 tipos de problemas referentes al movimiento rectilíneo:
1. F = constante.
2. F = función del tiempo.
3. F = función de la posición.
4. F = función de la velocidad.
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*
Tipos de problemas (movimiento rectilíneo):
Primer caso: F = constante. La 2ª ley da: x 
F
m
Integrando 2 veces respecto al tiempo se tiene:
F
t  C1
m
1F 2
x
t  C1t  C2
2m
x 
Las dos C se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del
problema.
*
Segundo caso: F = función del tiempo. La 2ª ley da: x 
F t 
m
Se puede integrar 2 veces respecto al tiempo la ecuación anterior para obtener las
expresiones de la velocidad y de la posición.
Las dos constantes que aparecen se pueden determinar a partir de las condiciones
iniciales del problema.
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caso: F = función de la posición.
* Tercer
La 2ª ley da:
F x 
x 
m
dx dx dx
dx

 x
Si observamos que: x 
dt dx dt
dx
F x 
Con lo que x dx 
dx de donde sacamos integrando, x en función de x
m
dx
Como x 
podemos volver a integrar para obtener una relación entre x y t.
dt
Las dos constantes que aparecen se pueden determinar a partir de las condiciones
iniciales del problema.
*
Cuarto caso: F = función de la velocidad. La 2ª ley da:
x 
dx F x 
dx F x 

o bien x  x

dt
m
dx
m
mdx
   vt 
F  x 
mxdx
dx 
   vx 
F  x 
dt 
Las dos constantes que aparecen se pueden determinar a partir de las condiciones
iniciales del problema.
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PROBLEMA 15.2
Dos cuerpos A y B de masas mA = 50 kg y mB = 60 kg están unidos mediante una
cuerda que pasa por una polea. Se suponen despreciables las masas de polea y
cuerda y que la longitud de ésta se mantiene constante. El coeficiente de
rozamiento cinético entre el bloque A y el plano inclinado vale 0,25. Determinar
la tensión de la cuerda y la aceleración del bloque A cuando se hayan soltado los
bloques partiendo del reposo.
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PROBLEMA 15.4
El trineo se utiliza para el ensayo de pequeños cohetes propulsores de
combustible sólido. La masa combinada de trineo y cohete es de 1000 kg. El
empuje que proporciona el cohete durante el movimiento del trineo puede
expresarse en la forma F = a + bt + ct2 (F en N y t en s). Si el trineo parte del
reposo cuando el empuje del cohete es de 10 kN, recorre 700 m y alcanza una
velocidad de 150 m/s durante un recorrido de prueba de 10 s, determinar:
a) los valores de a, b y c.
b) Las aceleraciones máxima y mínima del trineo en el ensayo.
Despreciar la fricción del trineo y los raíles y la reducción de masa del
combustible durante la prueba.
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15.4 Movimiento curvilíneo
• Movimiento curvilíneo plano.- Cuando exista un sistema de coordenadas para el cual
las componentes z de la posición, velocidad y aceleración sean nulas en todo instante.
• Movimiento curvilíneo en el espacio.- Cuando no sea posible encontrar un sistema de
coordenadas cartesianas en el cual sea nula, en todo instante, al menos una componente
de la posición, velocidad y aceleración.
15.4.1 Movimiento curvilíneo plano
Su descripción exigirá utilizar dos coordenadas y elegir uno de los tres sistemas de
coordenadas planos (cartesianas rectangulares, polares o normal/tangencial).
Coordenadas cartesianas rectangulares: la posición de un punto se describe con sus
distancias a dos ejes de referencia (x-y). Las ecuaciones de posición, v y a son:
 Fx m ax
r  x i y j
 Fx m ax  mx
F m a y
v  r  x i  y j 2ª Ley  y
F m a  my
a  r  x i  y j
 Fz  0

y
y
Superposición de dos movimientos rectilíneos según los ejes x e y.
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Coordenadas polares: la posición de un punto se
describe utilizando una distancia r a un punto fijo
y un desplazamiento angular θ relativo a una
recta fija.
Los vectores unitarios er y eθ están dirigidos el primero
radialmente y en sentido de alejamiento del punto fijo y el
segundo perpendicular al primero y en el sentido de los
ángulos θ crecientes.
Las ecuaciones para la posición, velocidad y aceleración
son:
F m a
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r  r er
2ª Ley
v  r  r er  r e
a  r  r  r 2 er  2r  r e






 m2r  r
2


F

m
a

m
r

r

 r r
 F m a

 F m a
F 0
r
r
z
Ecuaciones
escalares
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15.4.2 Movimiento curvilíneo en el espacio
Su descripción exigirá utilizar tres coordenadas y elegir uno de los tres sistemas de
coordenadas espaciales (cartesianas rectangulares, cilíndricas o esféricas).
Coordenadas cartesianas rectangulares: este sistema es una extensión directa del
sistema rectangular empleado en los problemas planos. Las ecuaciones de posición,
velocidad y aceleración son:
r  x i  y j z k
v  r  x i  y j z k
2ª Ley
a  r  x i  y j z k
F
F
F
x
m a x  mx
y
m a y  my
z
m a z  mz
F
F
F
x
m a x
y
m a y
z
 m az
Ecuaciones
escalares
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Coordenadas cilíndricas:
Este sistema es una extensión directa del sistema de coordenadas polares empleado en
los problemas planos. Las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración son:
r  r er  z k
v  r  r er  r e  z k
a  r  r  r 2 er  2r  r e  z k



 F m a
 F m a
F  ma
r
2ª Ley

z
r
z



2


F

m
a

m
r

r

 r r
F m a  m 2r  r
  
 F m a  mz
z

Ecuaciones
escalares
z
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PROBLEMA 15.7
Se dispara horizontalmente un proyectil de peso 150 N con una velocidad inicial
de 225 m/s desde la cumbre de un ribazo situada 150 m por encima de la zona
circundante. Determinar el alcance horizontal R del proyectil y el tiempo que
tarda en llegar al suelo. Despréciese la resistencia del aire.
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MECANICA I
PROBLEMA 15.8
Una esfera de masa m está unida en el
extremo superior de una varilla
vertical de masa despreciable. Al dar
un pequeño desplazamiento a la
esfera, se inicia la rotación del sistema
en torno al pasador situado en O.
Determinar la velocidad lineal v de la
esfera y la fuerza P en la varilla
cuando ésta esté en posición
horizontal, si m = 5 kg y R = 2 m.
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