Download Examen de enero de 2.013 (Primer Parcial)

eman ta zabal zazu
DEPARTAMENTO DE FISICA APLICADA I
ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA
TÉCNICA INDUSTRIAL DE BILBAO
FISIKA APLIKATUA I SAILA
Universidad
del País Vasco
Euskal Herriko
Unibertsitatea
BILBOKO INDUSTRI INGENIARITZA TEKNIKORAKO UNIBERTSITATE-ESKOLA
FUNDAMENTOS FISICOS DE LA INGENIERIA 1er PARCIAL
2’5 horas
25 – Enero – 2013
P1) Desde la base de un plano inclinado un ángulo β y de longitud  se lanza un objeto de masa m hacia arriba
con una velocidad inicial v0. Sabiendo que los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre las superficies en contacto son µe y µc, calcular: a) Valor
mínimo de la velocidad v0 para que el objeto alcance el
extremo superior. b) ¿Qué tiempo ha necesitado entonces para subir? Previamente, haz una valoración de
carácter cualitativo sobre los factores que inciden en
dicho tiempo
c) Suponiendo una v’0 inicial inferior a la calculada, determinar de forma operativa, pero justificadamente, qué
condición debe cumplirse para que una vez detenido el objeto al alcanzar su máxima altura, a continuación vuelva a descender.
P2) En la etapa final de la cadena de producción de una em-

presa productora de bolas de acero, éstas se transportan en
vagonetas de masa M después de rodar sin deslizamiento por
un plano inclinado de longitud  y ángulo de inclinación θ. Las
m
2
bolas son macizas de masa m y radio R, con I  mR .
5
2
m
m

vi
M
esf
a) Haz el diagrama de fuerzas sobre la bola de acero. ¿Son conservativas? ¿Cuánto trabajo realizan en el trayecto a lo largo del plano inclinado? b) ¿Con qué rapidez saldrá la
bola del plano inclinado si entra en él con v0? c) ¿Si la vagoneta se mueve a velocidad constante vi en la dirección indicada en la figura antes de recoger la bola, en cuánto se incrementa la velocidad en el eje x si el choque
es totalmente inelástico? Supóngase que la fricción entre la vagoneta y los raíles es despreciable.
C1) Un tren se mueve con velocidad constante
v  v uˆ (m/s) con
t
t
x
respecto a un observador O que se encuentra de pie junto a la vía
(ver figura). Una persona situada en el tren (O') lanza una pelota
verticalmente hacia arriba con una velocidad vp  vP uˆ y (m/s). Contestar razonadamente a las siguientes preguntas: a) ¿Qué trayectoria describe la pelota para ambos observadores? ¿Cuál es la
velocidad inicial de la pelota para O? b) Determinar la velocidad
mínima que mide cada uno de los observadores para la pelota. c)
¿Qué relación hay entre los tiempos para cada uno de ellos, mientras el objeto permanece en el aire? d) ¿Qué
aceleración mide para la pelota cada observador?
C2) Una pelota está unida a un fino cordel y ambos describen una trayectoria circular en un plano horizontal con
un movimiento circular uniforme. Discute acerca de la conservación o no, tanto del momento lineal como del
momento angular.
C3) Situación I) Sobre la superficie de una pista de hielo sin rozamiento se encuentra en reposo en posición
horizontal un bastón de hockey. En un momento dado, una pelota de plastilina lanzada por un jugador choca
perpendicularmente contra el bastón en su extremo recto y queda incrustada en él.
Situación II) Una pequeña puerta de rejilla metálica que sirve de cierre de la pista de hielo se encuentra parcialmente abierta. En un momento dado, la pelota de plastilina lanzada por un jugador choca perpendicularmente
contra la puerta en su vértice inferior, en la posición más alejada de las bisagras, y queda incrustada en ella.
Con objeto de obtener la velocidad con la que el sistema bastón/pelota en la situación I y el sistema puerta metálica/pelota en la situación II se mueven tras la colisión, indica sin resolver matemáticamente:
a) Qué estrategia/s de resolución (qué ley/es, qué principio/s) usarías para obtener la velocidad.
b) Qué características de las interacciones (fuerzas) que actúan sobre el sistema, son las que valoras para elegir
un camino de resolución.
c) Por qué, en base a las características de las interacciones (fuerzas), propones uno u otro camino de resolución.
P1) Desde la base de un plano inclinado un ángulo β y de longitud  se lanza un taco de masa m hacia arriba con una velocidad inicial v0. Sabiendo que los coeficientes…
SOLUCIÓN
a) Llamando A al punto de partida en la base y D al de destino en el punto más alto y admitiendo que al
llegar a D casi no tiene velocidad ( vD  0 ): E A  W NC  ED
Tomando A como nivel de energía potencial gravitatoria nula:
ED  U D  mg sen 
1
2
2 m v0
E A  12 m v A2
 c mg cos   mg sen 
W NC   FR c    c mg cos 
 v02 2 g sen   2 g c cos  →
→ v0  2 g (sen   c cos  ) con esta velocidad
D
inicial o superior, se saldrá de la rampa por arriba.
A
b) el tiempo que tarda en subir dependerá de la velocidad de inicio, la gravedad, el ángulo de inclinación del plano y el coeficiente de rozamiento cinético. A mayor velocidad, mayor será el espacio recorrido con un tiempo, en alcanzar la máxima altura, mayor si bien su mayor velocidad hará que por
otro lado tarde menos. Si la gravedad aumentara, recorrería un menor espacio con menor tiempo
de subida. Si aumentara el coeficiente de fricción el espacio recorrido sería menor con un menor
tiempo en alcanzar la máxima altura.
Como la FRozam = cte y la componente del peso sobre el plano también, la aceleración debe ser cte.
y puede calcularse a partir de la 2ª ley de Newton (tomamos como SR + el del movimiento del taco):
 F  m a   mg sen   c mg cos   m a  a   g (sen   c cos  ) MUA( aceleración -).
Y de:
v  v0  a t  0  v0  g (sen   c cos  ) t  tS 
v0
g (sen   c cos  )
c) Se quedará parado si la fuerza de rozamiento estático máxima es igual que la fuerza que le empuja
sen 
para bajar; luego para que baje: mg sen    e mg cos  
 tg   e
cos 
P2) En la etapa final de la cadena de producción de una empresa productora de bolas de acero, éstas
se transportan en vagonetas de masa M…
SOLUCIÓN
a. El diagrama de fuerzas de la bola que rueda sin deslizamiento en el plano inclinado es:
La fuerza normal y el rozamiento no son fuerzas conservativas mientras que el peso sí lo es. El trabajo realizado por las
dos primeras es nulo, en el primer caso ya que la fuerza es
perpendicular al desplazamiento en todo el recorrido y en el
segundo, porque la fuerza de rozamiento es estática. El trabajo realizado por el peso será: Wmg  mg sin 
b. De las valoraciones del apartado anterior podemos concluir que se conserva la energía mecánica de
la bola a lo largo de la trayectoria. Tomando el origen del eje de ordenadas en la base del plano inclinado y aplicando este principio en los puntos más alto y más bajo del plano inclinado tenemos:
Em,A  Em.B es decir:
1
1
1
2
mv 02  mg sin   mv cm
 I2
2
2
2
Incluyendo la condición de rodadura sin deslizamiento v cm  R y el momento de inercia de una esfera maciza I 
2
mR 2 obtenemos la expresión:
5
1 2
10 
1 
 1 1 2
v 0  g sin      v cm
 v cm 
g sin   v 02 

2
7
2 
2 5
c. Al caer la bola a la vagoneta, la rapidez del sistema formado por la bola y la vagoneta aumenta exclusivamente debido a las fuerzas internas que se producen en el choque y por tanto, podemos
concluir que el momento lineal del sistema en el eje horizontal se conservará. A su vez, el choque
es totalmente inelástico, y por tanto, las velocidades finales de la bola y la vagoneta serán iguales.
Así: psist,i,x  psist,f,x → mbola v cm,x  mvagoneta v i   mbola  mvagoneta  v f
De modo que: v f 
mbola v cm,x  mvagoneta vi
mbola  mvagoneta
Por lo que el aumento de velocidad en el eje horizontal será:
 10 

1 
m
glsin   v 02  cos   v i 

 7 

2 
mbola  v cm,x  v i 
  v
v  v f  v i 
 
mbola  mvagoneta
mM
C1) Un tren se mueve con velocidad constante vt  vt uˆ´ x (m/s) con respecto a un observador O que se
encuentra de pie junto a la vía…
a) ¿Qué trayectoria describe la pelota para ambos observadores? ¿Cuál es la velocidad inicial de la
pelota para O?
SOLUCIÓN
Para O, la trayectoria, como se ve en la figura, será una parábola: tiro parabólico de velocidad inicial
 v 
v  v t  vP . E inclinación: arc tg  P 
v 
 t 
Sin embargo, O’ observará un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (g) de subida y bajada.
b) Determinar la velocidad mínima que mide cada uno de los observadores para la pelota.
Para O’ es la velocidad en la altura máxima: vmin  0
Para O la velocidad en el punto más alto de la parábola: v min  v t m/s
c) ¿Qué relación hay entre los tiempos para cada uno de ellos, mientras el objeto permanece en el
aire?
El tiempo que observan ambos en el movimiento es el mismo, pues es el empleado en un movimiento de
subida-bajada con velocidad inicial v P  v Puˆ y con aceleración g  guˆ y .
d) ¿Qué aceleración mide para la pelota cada uno de los observadores?
Ambos ven el objeto sometido a una aceleración g  guˆ y
C2) Una pelota está unida a un fino cordel y ambos describen una trayectoria circular en un plano horizontal con un movimiento circular uniforme. Discute acerca de la conservación o no, tanto del momento lineal como del momento angular.
SOLUCIÓN
El momento lineal no se conserva debido a las diferentes direcciones del vector velocidad (tangente) a lo largo de su trayectoria. Además sobre la pelota hay una fuerza neta hacia el centro por lo que
de acuerdo con la 2ª Ley de Newton, no se conservará.
El momento angular sí se conservará pues el momento sobre dicha fuerza se anulará, debido al ángulo de 180º entre el vector de posición y la fuerza centrípeta. Ello propicia que el momento angular
sea constante
C3)
SOLUCIÓN
a)
Situación 1
1) Aplicaría el principio de conservación de la cantidad de movimiento del sistema.
2) Lo anterior me permitiría calcular la vCM del bastón/pelota después del choque.
3) Aplicaría el principio de conservación del momento angular del sistema.
4) Lo anterior me permitiría calcular la velocidad angular,, del bastón/pelota después del choque.
Situación 2
1) No podría aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento del sistema.
2) Aplicaría el principio de conservación del momento angular del sistema.
3) Lo anterior me permitiría calcular la velocidad angular,, de la puerta/pelota después del choque.
b) (
Situación 1
1) Fuerzas externas P y N . Estas fuerzas se cancelan o/y se desprecian frente a las internas
2) Fuerzas internas en el choque, disipativas.
Situación 2
1) Fuerzas externas, lo mismo que en la situación 1 y, además, (y éstas son las fundamentales
aquí), las fuerzas de reacción en la bisagra de la puerta . Éstas últimas no son despreciables.
2) Fuerzas internas en el choque, disipativas.
c)
Situación 1
1) Como Fext = 0, se conserva la cantidad de movimiento del sistema, lo que nos va a permitir calcular la vCM del bastón/pelota después del choque.
2) Como Mext = 0, el momento angular del sistema se conservará y esto nos permitirá averiguar la
velocidad angular,, del bastón/pelota después del choque.
Situación 2
1) Como la resultante de fuerzas exteriores, Fext, no es nula, no se conservará la cantidad de movimiento del sistema.
2) Aunque existan fuerzas exteriores, su momento resultante, respecto del eje de giro de la puerta,
es nulo, por lo que se conserva el momento angular del sistema, lo que nos permitirá calcular la
velocidad angular,, de la puerta/pelota después del choque.