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DEPARTAMENTO DE FISICA
DE INACAP
TRABAJO Y ENERGIA
Contenidos
El trabajo. Interpretación gráfica.
Hacia la idea de integral.
Trabajo de una fuerza
variable: trabajo elástico.
Energía y su degradación.
Teorema de conservación
de la energía.
Trabajo y energía cinética.
Trabajo y energía potencial.
Teorema de conservación
de la energía mecánica.
Choques. Pérdida de
energía.
Potencia.
TRABAJO (W)
En el caso de que la fuerza sea constante

W es el producto escalar de la fuerza F

por el vector desplazamiento r.
Es por tanto un escalar (un número).



W = F · r =|F|·|r| · cos 

siendo “” el ángulo que forman ambos
vectores.


Si F y r tienen la misma dirección y sentido,
entonces W = F ·r
Trabajo y unidades
• En el caso de que la fuerza se aplique en la dirección y
sentido del desplazamiento, cos  = 1
•
•

De donde W = |F| ·|r|



En cambio, si F y r son perpendiculares
cos  = 0 y el trabajo es nulo.
• La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es:
•
Julio (J) = N · m = kg · m2/s2
Ejemplo: Se tira de una vagoneta de 20 kg con una cuerda
horizontal que forma un ángulo de 30º con la dirección de
la vía, ejerciendo una fuerza F de 50 N a lo largo de una
distancia de 50 m. La fuerza de rozamiento entre la vía y
las ruedas es una décima parte del peso. Calcular el
trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan
sobre la vagoneta.
W = F · x ·cos 30º = 50 N · 50 m · 0,866 = 2165 J
WR = FR ·x ·cos 180º = 19,6 N ·50 m ·(–1) = –980 J
WP = P · x ·cos 270º = 196 N · 50 m · (0) = 0
WN = N · x ·cos 90º = 196 N · 50 m · (0) = 0
Wtotal = 2165 J – 980 J = 1185 J
Significado gráfico del trabajo
con fuerza constante
• Si representamos “F”
en ordenadas y “x” en
abscisas, podemos
comprobar que “W” es
el área del
paralelogramo cuya
base es “x” y cuya
altura es la “F”
constante.
F (N)
F
W
x
x0
x
x (m)
Definición integral del trabajo. 
• En el caso de que la fuerza no
sea constante (p.e. fuerzas
elásticas), la definición del
trabajo es más compleja.
• Habría que considerar el trabajo
como una suma de mucho
trabajos en los que se pudiera
considerar que al ser el
desplazamiento muy pequeño F
sería constante.
•
 
 
W =  r0 F · r =  F · dr
x
F
El trabajo
puede obtenerse calculando el
área comprendido
entre la curva y el
eje de abscisas, y
las ordenadas que
delimitan el
desplazamiento.
x0
x
Trabajo elástico
• Supongamos que el muelle actúa en la dirección
del eje “x” con lo que habrá que realizar una
fuerza igual y de sentido contrario a la fuerza
elástica para estirar el muelle (– k · x) :
• 

F = k · x

• 
•
F depende, pues. de “x” y no es constante.


 
W =  F · dx =  k · x dx = ½ k · x2
Significado gráfico del trabajo
elástico
• Si representamos “F”
en ordenadas y “x” en
abscisas, podemos
comprobar que “W” es
el área del triángulo
cuya base es “x” y
cuya altura es la “Fmáx”.
• W = ½ Fmáx· x
F (N)
x
W
Fmáx
x
x (m)
Potencia
• Se llama potencia al cociente entre la energía
transferida y el tiempo empleado en el proceso.
• Si toda la energía transferida se transforma en
trabajo:
•
 
W
|F| ·| r|·cos 
 
P = — = ———————— = |F|·|v|·cos 
t
t
•
 
P=F· v
• La unidad de potencia es el W (watio)= J/s
Rendimiento de una máquina.
• Normalmente, la potencia que tiene que
desarrollar una máquina (o nosotros mismos)
es mayor que el trabajo útil realizado, ya que
parte de la misma se emplea en realizar
trabajo de rozamiento.
• Se llama rendimiento () a:
•
Wútil
W Wútil
= —— · 100  P = — = ——— · 100
W
t
 ·t
Potencia efectiva.
• Si llamamos potencia efectiva a:
•
Wútil
Pefectiva = ——
t
•
Wútil
Pefectiva
P = ——— · 100  P = ——— · 100
t·

Ejemplo: Calcula la potencia que debe poseer un motor
para llenar de agua una piscina de 100 m3 de capacidad
en 5 horas, sacando agua de un pozo a
6 metros por debajo de la entrada a la piscina, si el
rendimiento es del 80 %.
m = V · d = 100 m3 ·1000 kg/m3 = 105 kg
Wútil = F · e = m·g·h = 105 kg ·9,8 m/s2 . 6 m = = 5,88
·106 J
Wútil 5,88 ·106 J
Pef = —— = ———————— = 326,7 W
t
5 h · 3600 s/h
Pef
326,7 W
P = —— ·100 = ———— ·100 = 409 W

80
Energía
• Es la capacidad que tiene un cuerpo para
realizar un trabajo (u otra transformación).
• A su vez, el trabajo es capaz de aumentar la
energía de un sistema.
– Se considera W>0 aquel que aumente la energía
del sistema.
– Se considera W<0 aquel que disminuye la energía
del sistema.
Tipos de energía
Mecánica:
-Cinética-Potencial.
Térmica.
Eléctrica.
Nuclear.
Química.
Luminosa.
Trabajo y energía cinética.
N
F
• Imaginemos que tiramos
Fy
de una caja con una
Fr
fuerza F constante que
Fx
forma una ángulo “” con
el suelo.
P
• Como consecuencia de la


misma la caja
F=m·a
experimenta una
Fx – Fr = m · ax
aceleración.
N + Fy – P = 0; ay =0
Trabajo y energía cinética (cont).
• Como el desplazamiento sucede en el eje x
•
 
W =  F · x = (Fx – Fr )·(x – x0) = m·a·(x – x0)
• Aplicando las ecuaciones x=f(t) y v= f(t) en el MRUA: x
–x0 = (v0 +½ a ·t) ·t ; a = (v – v0) / t
•
(v – v0)
(v – v0)
W = m · ———— · v0 + ———— ·t ·t =
t
2t
• W = m · (v – v0) · [v0 +½ (v – v0)] =
• ½ m · (v – v0) · (v + v0) = ½ m v2 –½ m v02
Trabajo y energía cinética (cont).
• A la expresión ½ m v2 la llamaremos “energía
cinética” (Ec), con lo que el trabajo realizado se
ha invertido en aumentar energía cinética del
sistema.
W = ½ m v2 – ½ m v02 = Ec– Eco = Ec
que también se conoce como
“Teorema de las fuerzas vivas”
Ejemplo: Un jugador de hockey lanza el tejo de
200 g con una velocidad de 10 m/s. Si después de recorrer
25 m la velocidad disminuye un 10 %, calcular: a) el
trabajo de rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento; c)
el tiempo que tarda en detenerse; d) el espacio que
recorre hasta pararse.
a) WR = EC = ½ m v2 – ½ m v02 =
½ · 0,2 kg · (9 m/s)2 – ½ · 0,2 kg · (10 m/s)2 =
8,1 J – 10 J = –1,9 J
b) WR = – FR · x = – d · N · x
–1,9 J
d = ———————— = 0,039
–1,96 N · 25 m
c) FR = –d ·m · g = m · a  a = – d · g =
= – 0,039 ·9,8 m/s2 = – 0,38 m/s2
Ejemplo: Un jugador de hockey lanza el tejo de
200 g con una velocidad de 10 m/s. Si después de recorrer
25 m la velocidad disminuye un 10 %, calcular: a) el
trabajo de rozamiento; b) el coeficiente de rozamiento; c)
el tiempo que tarda en detenerse; d) el espacio que
recorre hasta pararse.
c) a = – 0,38 m/s2
v 0 – 10 m/s
t = —— = ——————
= 26,3 s
2
a – 0,38 m/s
d) e = v0 · t + ½ a · t2 =
= 10 m/s · 26,3 s – ½ 0,38 m/s2 · (26,3 s)2
e = 131,6 m
Trabajo y energía potencial
gravitatoria.
• El trabajo producido por algunos tipos de fuerza
se emplea en variar otro tipo de energía llamada
“energía potencial gravitatoria” o simplemente
“energía potencial” .
• Si subimos una caja al piso de arriba aplicamos
una fuerza igual en módulo al peso de la misma.
Como  F= 0 no se produce aceleración pero al
realizar un trabajo se ha aumentado la energía
del sistema.
•
Trabajo y energía potencial
(cont).


W=|F|·|y| · cos 0º = m· g ·(h – h0)
• A la expresión “m g h” se llama “energía
potencial” (Ep).
W = m · g · h – m · g · h0 = Ep– Ep0 = Ep
• Al soltar la caja la energía acumulada en forma
de energía potencial se transforma en cinética.
Ejemplo:
Tenemos un cuerpo en lo alto de un plano
inclinado. Comprueba que el trabajo que realiza el peso es
el mismo cuando el cuerpo cae verticalmente que cuando
cae deslizándose sin rozamiento a lo largo del plano
inclinado.




WPa = |P|·|y| · cos 0º = m·g ·h
90º - 
WPb = |P|· |l| ·cos (90º – )
Como:
h
cos (90º – ) = —
l
WPb = m ·g ·h
con lo que: WPa = WPb
l

h
Energía potencial elástica (Epe)
• El trabajo realizado al estirar un muelle (½ k
· x2) se almacena en forma de energía
potencial elástica cuyo valor es
precisamente:
Epe = ½ k · x2
• siendo “x” lo que se ha estirado el muelle.
Ejemplo: Colocamos un muelle cuya constante vale 49 N/m
horizontalmente y lo comprimimos 5 cm. Si apoyamos
una esfera de 25 g y soltamos, calcular la velocidad con
que será lanzada suponiendo que toda su energía
potencial elástica se transforma en energía cinética.
Epe = ½ k ·x2 = ½ (49 N/m)·(0,05 m)2 = 0,061 J
Como la Epe se transforma en EC:
EC = ½ m·v2 = 0,061 J
Despejando “v”:
2  EPe
2 0,061 J
-1
v=
=
= 2,21 m  s
m
0,025 kg
Trabajo de rozamiento. Energía
perdida.
• ¿Qué ocurre si arrastramos un objeto por una
superficie con velocidad constante?
•



Si v= cte  a = 0   F = 0
• de donde se deduce que la fuerza aplicada es
igual a la de rozamiento pero de sentido opuesto.
•
WR = – d · m · g · cos  · r
• La Eperdida = |WR|
Energía mecánica.
Principio de conservación.
• Se llama “energía mecánica” (EM) a la suma de
las energía cinética y potencial.
EM = Ec + Ep = ½ m v2 + m g h
• Principio de conservación de la energía
mecánica: “Si no se aplica ninguna fuerza
exterior y no hay rozamiento la energía mecánica
se conserva”.
• Lógicamente, si hay rozamiento:
EMfinal = EM0– Eperdida
Demostración del principio de
conservación de la EM.
• Dejemos caer un objeto desde una altura
“h0”. La única fuerza existente es el peso.
• Inicialmente, v0 = 0  Ec0 = 0
altura = h0  Ep0 = m g h0
• EM0 = Ec0 + Ep0 = m g h0
• Al cabo de un tiempo “t” el objeto habrá
caído con MRUA y se encontrará a una altura
“h” y llevará una velocidad “v”:
• h = h0 – ½ g t2 ; v = – g t
Demostración del principio de
conservación de la EM. (cont).
• h = h0 – ½ g t2 ; v = – g t
•
•
•
•
EM = Ec+Ep = ½ m v2 + m g h =
½ m (– g t)2 + m g (h0 – ½ g t2) =
½ m g2 t2 + m g h0 – ½ mg2 t2 = m g h0
Es decir, la energía mecánica no ha variado,
pues la Ec ha aumentado lo mismo que ha
disminuido Ep
Ejemplo:
Lanzamos verticalmente una pelota con una
velocidad de 10 m/s. Demostrar cuál será la altura
máxima usando el principio de conservación de la energía
mecánica.
Ec = ½ m v2 = ½ m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2
Como la energía cinética se transformará en
potencial
Ep = m g h = 50 m m2/s2
Eliminando la masa “m” en ambos miembros y
despejando “h”
50 m2/s2
h = ————2 = 5,1 m
9,8 m/s
Ejercicio: Lanzamos una pelota con una velocidad
de 10 m/s con un ángulo de 30º con respecto a la
horizontal. Demostrar cuál será la altura máxima usando
el principio de conservación de la energía mecánica.
Ec0 = ½ m v02 = ½ m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2
En el punto más alto sólo existirá “vx = v0·cos 30 º”
–
2
=
Ec1 = ½ m v1 ½ m·[(3/2)·10 m/s)]2
Ec1 = 37,5 m m2/s2. Igualmente; Ep1 = m ·g ·h
Igualando EM0 = EM1:
50 m m2/s2 = 37,5 m m2/s2 + m ·g ·h
Eliminando la masa “m” en ambos miembros y
despejando “h”
h = 1,28 m
Choques
• Elásticos: La energía se conserva, es decir,
no se pierde energía.
• No elásticos: La energía no se conserva, es
decir, se pierde energía.
– Sin embargo, sí se conserva la cantidad de
movimiento.
– Inelásticos: Es un caso particular en el que
ambos cuerpos quedan unidos y por tanto
salen a la misma velocidad.
Ejemplo: Se lanza un chicle de 20 g contra un bloque de
madera de 1 kg que cuelga del techo por una cuerda.
Después del impacto el chicle queda adherido al bloque y
éste se pone a oscilar elevándose 1 cm por encima de su
posición de equilibrio. Calcula la velocidad del chicle en el
momento del impacto. ¿Qué % de energía mecánica se
pierde tras el impacto?
a) 20 g · vch · i + 0 = 1020 g · vm-ch · i
Por otro lado, aplicando el principio de conservación de la
energía (después del choque).
b) ½ 1020 g · vm-ch2 = 1020 g · 9,8 m/s2 · 0,01 m
De donde se obtiene que:
vm-ch = (2 ·9,8 m/s2 · 0,01 m)½ = 0,44 m/s
Sustituyendo en a): vch = 22,6 m/s
Ejemplo: Se lanza un chicle de 20 g contra un bloque de
madera de 1 kg que cuelga del techo por una cuerda.
Después del impacto el chicle queda adherido al bloque y
éste se pone a oscilar elevándose 1 cm por encima de su
posición de equilibrio. Calcula la velocidad del chicle en el
momento del impacto. ¿Qué % de energía mecánica se
pierde tras el impacto?
EM0 = Ec0 = ½ 0,020 kg ·(22,6 m/s)2 + 0 = 5,11 J
EM1 = Ec1 = ½ 1,020 kg ·(0,44 m/s)2 = 0,099 J
5,11 J – 0,099 J
% EM perdido = ———————— · 100 = 98,1 %
5,11 J