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Trabajo y energía
Unidad 15
2
Contenidos (1)
1.-
El trabajo. Interpretación gráfica. Hacia
la idea de integral.
2.-
Trabajo de una fuerza variable: trabajo
elástico.
3.-
Energía y su degradación.
4.-
Teorema de conservación de la
energía.
5.-
Trabajo y energía cinética.
3
Contenidos (2)
6.- Trabajo y energía potencial.
7.- Teorema de conservación de la
energía mecánica.
8.- Choques. Pérdida de energía.
9.
Potencia.
4
Trabajo (W).





En el caso de que la fuerza sea constante

W es el producto escalar de la fuerza (F)

por el vector desplazamiento (r).
Es por tanto un escalar (un número).




W = F · r =|F|·|r| · cos 
siendo “” el ángulo que forman ambos vectores.


Si F y r tienen la misma dirección y sentido,
entonces W = F ·r
5
Trabajo y unidades





En el caso de que la fuerza se aplique en la
dirección y sentido del desplazamiento, cos  = 1
De donde


W = |F| ·|r|


En cambio, si F y r son perpendiculares
cos  = 0 y el trabajo es nulo.
La unidad de trabajo en el Sistema Internacional
es:
Julio (J) = N · m = kg · m2/s2
Ejemplo: Se tira de una vagoneta de 20 kg con una 6
cuerda horizontal que forma un ángulo de 30º con la
dirección de la vía, ejerciendo una fuerza F de 50 N a
lo largo de una distancia de 50 m. La fuerza de
rozamiento entre la vía y las ruedas es una décima
parte del peso. Calcular el trabajo realizado por cada
una de las fuerzas que actúan sobre la vagoneta.
W = F · x ·cos 30º = 50 N · 50 m · 0,866 = 2165 J
WR = FR ·x ·cos 180º = 19,6 N ·50 m ·(–1) = –980 J
WP = P · x ·cos 270º = 196 N · 50 m · (0) = 0
WN = N · x ·cos 90º = 196 N · 50 m · (0) = 0
Wtotal = 2165 J – 980 J = 1185 J
7
Significado gráfico del trabajo
con fuerza constante

Si representamos “F”
en ordenadas y “x”
en abscisas,
podemos comprobar
que “W” es el área
del paralelogramo
cuya base es “x” y
cuya altura es la “F”
constante.
F (N)
F
W
x
x0
x
x (m)
8
Definición integral del trabajo. 



En el caso de que la fuerza no
sea constante (p.e. fuerzas
elásticas), la definición del
trabajo es más compleja.
Habría que considerar el
trabajo como una suma de
mucho trabajos en los que se
pudiera considerar que al ser
el desplazamiento muy
pequeño F sería constante.
W=

r0



F · r =  F · dr
x
F
El trabajo
puede obtenerse calculando el
área comprendido
entre la curva y el
eje de abscisas, y
las ordenadas que
delimitan el
desplazamiento.
x0
x
9
Trabajo elástico

Supongamos que el muelle actúa en la
dirección del eje “x” con lo que habrá que
realizar una fuerza igual y de sentido
contrario a la fuerza elástica para estirar el
muelle (– k · x) :






F = k · x

F depende, pues. de “x” y no es constante.


 
W =  F · dx =  k · x dx = ½ k · x2
10
Significado gráfico del trabajo
elástico
Si representamos “F”
en ordenadas y “x”
en abscisas,
podemos comprobar
que “W” es el área
del triángulo cuya
base es “x” y cuya
altura es la “Fmáx”.
 W = ½ Fmáx· x

F (N)
x
W
Fmáx
x
x (m)
11
Potencia





Se llama potencia al cociente entre la energía
transferida y el tiempo empleado en el proceso.
Si toda la energía transferida se transforma en
trabajo:


W
|F| ·| r|·cos 
 
P = — = ———————— = |F|·|v|·cos 
t
t
 
P=F· v
La unidad de potencia es el W (watio)= J/s
12
Rendimiento de una máquina.
Normalmente, la potencia que tiene que
desarrollar una máquina (o nosotros
mismos) es mayor que el trabajo útil
realizado, ya que parte de la misma se
emplea en realizar trabajo de rozamiento.
 Se llama rendimiento () a:

Wútil
W
Wútil
= —— · 100  P = — = ——— · 100
W
t
·t

13
Potencia efectiva.
Si llamamos potencia efectiva a:

Wútil
Pefectiva = ——
t


Wútil
Pefectiva
P = ——— · 100  P = ——— · 100
t·

Ejemplo: Calcula la potencia que debe poseer un
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motor para llenar de agua una piscina de 100 m3 de
capacidad en 5 horas, sacando agua de un pozo a
6 metros por debajo de la entrada a la piscina, si el
rendimiento es del 80 %.
m = V · d = 100 m3 ·1000 kg/m3 = 105 kg
Wútil = F · e = m·g·h = 105 kg ·9,8 m/s2 . 6 m =
= 5,88 ·106 J
Wútil
5,88 ·106 J
Pef = —— = ———————— = 326,7 W
t
5 h · 3600 s/h
Pef
326,7 W
P = —— ·100 = ———— ·100 = 409 W

80
15
Energía
Es la capacidad que tiene un cuerpo para
realizar un trabajo (u otra transformación).
 A su vez, el trabajo es capaz de aumentar
la energía de un sistema.

– Se considera W>0 aquel que aumente la
energía del sistema.
– Se considera W<0 aquel que disminuye la
energía del sistema.
16
Tipos de energía

Mecánica:
– Cinética.
– Potencial.
Térmica.
 Eléctrica.
 Nuclear.
 Química.
 Luminosa.
 ...

17
Trabajo y energía cinética.


N
F
Imaginemos que
Fy
tiramos de una caja con
Fr
una fuerza F constante
Fx
que forma una ángulo
P
“” con el suelo.
Como consecuencia de


la misma la caja
F=m·a
experimenta una
Fx – Fr = m · ax
aceleración.
N + Fy – P = 0; ay =0
Trabajo y energía cinética
(cont).


Como el desplazamiento sucede en el eje x



W =  F · x = (Fx – Fr )·(x – x0) = m·a·(x – x0)
Aplicando las ecuaciones x=f(t) y v= f(t) en el
MRUA: x –x0 = (v0 +½ a ·t) ·t ; a = (v – v0) / t
(v – v0)
(v – v0)
W = m · ———— · v0 + ———— ·t ·t =
t
2t
W = m · (v – v0) · [v0 +½ (v – v0)] =

½ m · (v – v0) · (v + v0) = ½ m v2 –½ m v02


18
Trabajo y energía cinética
(cont).

A la expresión ½ m v2 la llamaremos
“energía cinética” (Ec), con lo que el
trabajo realizado se ha invertido en
aumentar energía cinética del sistema.
W = ½ m v2 – ½ m v02 = Ec– Eco = Ec
que también se conoce como
“Teorema de las fuerzas vivas”
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Ejemplo: Un jugador de hockey lanza el tejo de
20
200 g con una velocidad de 10 m/s. Si después de
recorrer 25 m la velocidad disminuye un 10 %,
calcular: a) el trabajo de rozamiento; b) el
coeficiente de rozamiento; c) el tiempo que tarda en
detenerse; d) el espacio que recorre hasta pararse.
a) WR = EC = ½ m v2 – ½ m v02 =
½ · 0,2 kg · (9 m/s)2 – ½ · 0,2 kg · (10 m/s)2 =
8,1 J – 10 J = –1,9 J
b) WR = – FR · x = – d · N · x
–1,9 J
d = ———————— = 0,039
–1,96 N · 25 m
c) FR = –d ·m · g = m · a  a = – d · g =
= – 0,039 ·9,8 m/s2 = – 0,38 m/s2
Ejemplo: Un jugador de hockey lanza el tejo de
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200 g con una velocidad de 10 m/s. Si después de
recorrer 25 m la velocidad disminuye un 10 %,
calcular: a) el trabajo de rozamiento; b) el
coeficiente de rozamiento; c) el tiempo que tarda en
detenerse; d) el espacio que recorre hasta pararse.
c) a = – 0,38 m/s2
v
0 – 10 m/s
t = —— = ——————
= 26,3 s
2
a
– 0,38 m/s
d) e = v0 · t + ½ a · t2 =
= 10 m/s · 26,3 s – ½ 0,38 m/s2 · (26,3 s)2
e = 131,6 m
Trabajo y energía potencial
gravitatoria.
22
El trabajo producido por algunos tipos de
fuerza se emplea en variar otro tipo de
energía llamada “energía potencial
gravitatoria” o simplemente “energía
potencial” .
 Si subimos una caja al piso de arriba
aplicamos una fuerza igual en módulo al peso
de la misma. Como  F= 0 no se produce
aceleración pero al realizar un trabajo se ha
aumentado la energía del sistema.

Trabajo y energía potencial
(cont).


23

W=|F|·|y| · cos 0º = m· g ·(h – h0)
 A la expresión “m g h” se llama “energía
potencial” (Ep).
W = m · g · h – m · g · h0 = Ep– Ep0 = Ep

Al soltar la caja la energía acumulada en
forma de energía potencial se transforma
en cinética.
Ejemplo: Tenemos un cuerpo en lo alto de un plano
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inclinado. Comprueba que el trabajo que realiza el
peso es el mismo cuando el cuerpo cae verticalmente
que cuando cae deslizándose sin rozamiento a lo
largo del plano inclinado.




WPa = |P|·|y| · cos 0º = m·g ·h
90º - 
WPb = |P|· |l| ·cos (90º – )
Como:
h
cos (90º – ) = —
l
WPb = m ·g ·h
con lo que: WPa = WPb
l

h
25
Energía potencial elástica (Epe)

El trabajo realizado al estirar un muelle
(½ k · x2) se almacena en forma de
energía potencial elástica cuyo valor es
precisamente:
Epe = ½ k · x2

siendo “x” lo que se ha estirado el
muelle.
Ejemplo: Colocamos un muelle cuya constante vale
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49 N/m horizontalmente y lo comprimimos 5 cm. Si
apoyamos una esfera de 25 g y soltamos, calcular la
velocidad con que será lanzada suponiendo que toda
su energía potencial elástica se transforma en
energía cinética.
Epe = ½ k ·x2 = ½ (49 N/m)·(0,05 m)2 = 0,061 J
Como la Epe se transforma en EC:
EC = ½ m·v2 = 0,061 J
Despejando “v”:
2  EPe
2 0,061 J
-1
v=
=
= 2,21 m  s
m
0,025 kg
Trabajo de rozamiento.
Energía perdida.





27
¿Qué ocurre si arrastramos un objeto por una
superficie con velocidad constante?



Si v= cte  a = 0   F = 0
de donde se deduce que la fuerza aplicada es
igual a la de rozamiento pero de sentido
opuesto.
WR = – d · m · g · cos  · r
La Eperdida = |WR|
Energía mecánica.
Principio de conservación.

28
Se llama “energía mecánica” (EM) a la
suma de las energía cinética y potencial.
EM = Ec + Ep = ½ m v2 + m g h
Principio de conservación de la energía
mecánica: “Si no se aplica ninguna fuerza
exterior y no hay rozamiento la energía
mecánica se conserva”.
 Lógicamente, si hay rozamiento:
EMfinal = EM0– Eperdida

Demostración del principio de
conservación de la EM.
Dejemos caer un objeto desde una altura
“h0”. La única fuerza existente es el peso.
 Inicialmente, v0 = 0
 Ec0 = 0
altura = h0  Ep0 = m g h0
 EM0 = Ec0 + Ep0 = m g h0
 Al cabo de un tiempo “t” el objeto habrá
caído con MRUA y se encontrará a una
altura “h” y llevará una velocidad “v”:
 h = h0 – ½ g t2
; v=–gt

29
Demostración del principio de
conservación de la EM. (cont).

h = h0 – ½ g t2
; v=–gt
EM = Ec+Ep = ½ m v2 + m g h =
 ½ m (– g t)2 + m g (h0 – ½ g t2) =
 ½ m g2 t2 + m g h0 – ½ mg2 t2 = m g h0
 Es decir, la energía mecánica no ha
variado, pues la Ec ha aumentado lo
mismo que ha disminuido Ep

30
Ejemplo: Lanzamos verticalmente una pelota con
una velocidad de 10 m/s. Demostrar cuál será la
altura máxima usando el principio de conservación
de la energía mecánica.
Ec = ½ m v2 = ½ m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2
Como la energía cinética se transformará en
potencial
Ep = m g h = 50 m m2/s2
Eliminando la masa “m” en ambos miembros y
despejando “h”
50 m2/s2
h = ————2 = 5,1 m
9,8 m/s
31
Ejercicio: Lanzamos una pelota con una velocidad
de 10 m/s con un ángulo de 30º con respecto a la
horizontal. Demostrar cuál será la altura máxima
usando el principio de conservación de la energía
mecánica.
Ec0 = ½ m v02 = ½ m·(10 m/s)2 = 50 m m2/s2
En el punto más alto sólo existirá “vx = v0·cos 30 º”
–
2
=
Ec1 = ½ m v1 ½ m·[(3/2)·10 m/s)]2
Ec1 = 37,5 m m2/s2. Igualmente; Ep1 = m ·g ·h
Igualando EM0 = EM1:
50 m m2/s2 = 37,5 m m2/s2 + m ·g ·h
Eliminando la masa “m” en ambos miembros y
despejando “h”
h = 1,28 m
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33
Choques
Elásticos: La energía se conserva, es
decir, no se pierde energía.
 No elásticos: La energía no se
conserva, es decir, se pierde energía.

– Sin embargo, sí se conserva la cantidad de
movimiento.
– Inelásticos: Es un caso particular en el
que ambos cuerpos quedan unidos y por
tanto salen a la misma velocidad.
Ejemplo: Se lanza un chicle de 20 g contra un
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bloque de madera de 1 kg que cuelga del techo por
una cuerda. Después del impacto el chicle queda
adherido al bloque y éste se pone a oscilar
elevándose 1 cm por encima de su posición de
equilibrio. Calcula la velocidad del chicle en el
momento del impacto. ¿Qué % de energía mecánica
se pierde tras el impacto?
a) 20 g · vch · i + 0 = 1020 g · vm-ch · i
Por otro lado, aplicando el principio de conservación
de la energía (después del choque).
b) ½ 1020 g · vm-ch2 = 1020 g · 9,8 m/s2 · 0,01 m
De donde se obtiene que:
vm-ch = (2 ·9,8 m/s2 · 0,01 m)½ = 0,44 m/s
Sustituyendo en a): vch = 22,6 m/s
Ejemplo: Se lanza un chicle de 20 g contra un
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bloque de madera de 1 kg que cuelga del techo por
una cuerda. Después del impacto el chicle queda
adherido al bloque y éste se pone a oscilar
elevándose 1 cm por encima de su posición de
equilibrio. Calcula la velocidad del chicle en el
momento del impacto. ¿Qué % de energía mecánica
se pierde tras el impacto?
EM0 = Ec0 = ½ 0,020 kg ·(22,6 m/s)2 + 0 = 5,11 J
EM1 = Ec1 = ½ 1,020 kg ·(0,44 m/s)2 = 0,099 J
5,11 J – 0,099 J
% EM perdido = ———————— · 100 = 98,1 %
5,11 J