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Sistemas dinámicos discretos
Entendemos por sistema dinámico (SD) al par sencillo:
(i) Condiciones iniciales + (ii) Regla dinámica de cambio.
Aquí tienes tres ejemplos:
(1) Audio-feedback: si acercamos el micrófono a la salida de sonido
crearemos un circuito de retroalimentación del volumen:
Vt+1 = r·Vt
donde V es el volumen y r la ganancia efectiva.
(2) Interés bancario: el dinero en el banco renta más o menos
capital (generalmente vemos que menos).
St+1 = r·St
donde St es el saldo al t-ésimo año y r = (1 + tasa
de interés - tasa de inflación).
(3) Crecimiento de una colonia de bacterias: las poblaciones
varían en el tiempo (solo para gente con microscopio).
Pt+1 = r·Pt
donde Pt = número de células, población, en la t-
ésima generación y r = (1 + tasa de crecimiento - tasa de defunción)
= fecundidad.
La pregunta típica en SD es: dada una condición inicial (V0 decibelios,
S0 euros o P 0 bacterias en nuestros casos) ¿cuál será el estado del
sistema después de t iteraciones? Para los sistemas lineales como los
expuestos, la respuesta no es difícil. Podemos resolverlos totalmente.
Tenemos:
xt+1 = r· xt con t = 0, 1, 2, ...
Dada una condición inicial x 0:
x1 = r · x 0
x2 = r · x 1 = r 2 · x 0
...
Y en general:
xt+1 = rt+1 · x0
Conocida la condición inicial conocemos el estado del sistema en
cualquier instante. Observemos que a pesar de que la ecuación es
lineal el comportamiento dinámico es el de una sucesión
geométrica. Una serie temporal no lineal no implica necesariamente
reglas dinámicas no lineales.
Las gráficas siguientes muestran la riqueza de comportamientos dinámicos
posibles de nuestra función iterada lineal al variar el parámetro r.
Evidentemente, para nuestros ejemplos concretos ciertos comportamientos
carecerán de sentido: ni volúmenes musicales negativos (música
minimalista), ni intereses negativos (inflación hipergalopante), ni
poblaciones negativas (noche de los muertos vivientes) son posibles.
Decaimiento exponencial 0 < r < 1
Crecimiento exponencial r > 1
Comportamiento estacionario r = 1
Decaimiento oscilante -1 < r < 0
Crecimiento oscilante r < -1
Ciclo periódico r = -1