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MÚLTIPLOS Y DIVISORES
DE UN NÚMERO
Presentado por:
Yuli Domínguez. Portal Educativo
El mentor de matemáticas
Grupo Océano
Los conceptos de múltiplo y divisor
•
El número 6 es el resultado de multiplicar 2 x 3. Entonces se afirma que 6 es un múltiplo de 2 y de 3. Para
hallar los múltiplos de cualquier número, por ejemplo de 5, se multiplica dicho número por cualquier número
natural: 1, 2, 3, 4, 5,… los múltiplos de 5 son, por tanto, 5, 10, 15, 20, 25,….
•
En forma algebraica se afirma que a es un múltiplo de b si existe un numero c, tal que a = b x c. según el
ejemplo anterior, se afirma que 20 es un múltiplo de 5 por que existe el número 4, q cumple que 20 = 5 x 4.
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•
Por otra parte 6 ÷ 2 es una división exacta, y lo mismo ocurre con 6 ÷ 3.
En estos casos, se afirma que 2 y 3 son divisores de 6. Si un número a es múltiplo de un número b, eso significa
que b es divisor de a. por ejemplo, 20 es múltiplo de 5, de manera que 5 es visor de 20. A los divisores se les
denomina también factores.
Criterios de divisibilidad usuales
Existe una serie de métodos que permiten hallar los divisores
de un número. En primer lugar, todos los números son
divisibles por ellos mismos y por la unidad. Cualquier
número, como, por ejemplo, el 5, se puede dividir por sí
mismo y por 1, con una división exacta, los números 2, 3, 4, y 5
son divisores de otros números en los siguientes casos:

El número 2 es el divisor de cualquier número par. Por
ejemplo, el 8 y el 56 tienen como divisor a 2, ya que si se
dividen por 2, las soluciones son exactas.

Un número tiene como divisor el 3 si la suma de sus
cifras es múltiplo de 3. Por ejemplo, si se suman las
cifras del número 45 resulta 4 + 5 = 9; como el 9 es un
múltiplo de 3, esto indica que 45 tiene como divisor a 3.


•
El 4 es un divisor de un número dado si las dos últimas
cifras son cero o un múltiplo de 4, como suceden con los
números 3 400 y 744.
91 7
21 13
El numero 5 siempre es el divisor de aquellos números
acabados en cero o en 5, como el 45 y el 70.
Existen más criterios de divisibilidad respecto a otros
números, pero es preferible en estos hacer la división y
comprobar si es exacta o no. Por ejemplo, el numero 91
no cumple con ninguno de los criterios anteriores. En
este caso hay que dividir este valor por otros números,
como el 7 o el 11. Al hacer la división por 7, se observa
que:
0
•
La división es exacta, por lo que tanto el 7 como 13 son
divisores de 91. Si no se encuentra ningún otro divisor,
aparte de la unidad y del mismo, entonces dicho
número es un número primo.
Números primos y compuestos
•
Los números primos son aquellos números naturales que
solo son divisibles por sí mismos y la unidad. No tienen, por
tanto, más que dos divisores. Por ejemplo, el número 13 es
divisible por 1 y por 13, pero no es divisible por 2 (no es par).
Ni tampoco por 3, 4, ni otro .como no hay ningún número
que sea divisor de 13, excepto el mismo y la unidad, se afirma
que es un numero primo. Los números primos son 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23,…..
•
Los números que no son primos se denominan compuestos.
Un número compuesto siempre se puede descomponer en
divisores (o factores) primos. Como excepción, el número 1,
que es divisor de cualquier número, no se consideran ni
primo ni compuesto.
Descomposición en números primos
Para descomponer un número en sus factores primos, se comienza a dividir el número dado por el menor divisor primo posible
que dé una división exacta. Se continua el procedimiento con el cociente obtenido, hasta obtener uno que se divisible por sí
mismo y la unidad.
Por ejemplo, para descomponer 48 en factores primos, primero se divide por 2, porque es par:
48 ÷ 2 = 24
El resultado puede volver a ser par, y se divide por 2:
24 ÷ 2 = 12
Sucesivamente, se divide por 2:
12 ÷ 2 = 6
6÷2=3
•
La última solución es un número primo, por lo que solo
puede dividirse por el mismo:
Los divisores son los factores del número examinando, en este
caso:
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3
3÷3=1
•
En la práctica, los sucesivos cocientes y divisores y
disponen en columnas separadas entre sí por una línea
vertical:
48 2
24 2
12 2
6 2
3 2
Un número multiplicado por sí mismo varias veces se puede
escribir en forma de potencia, del siguiente modo:
2 x 2 x 2 x 2 = 24
El superíndice 4 indica que se ha de multiplicar el 2 por sí
mismo, tomándolo como factor 4 veces. Así, los factores
primos del número 48 pueden escribirse:
48 = 24 x 3
Calculo del máximo común divisor y del
mínimo común múltiplo
Para calcular el mayor divisor común o máximo común
divisor (abreviado, m.c.d.) de varios números se procede a
descomponerlos en factor primos y se calcula luego el
producto de los factores comunes a todos ellos, tomados con el
menor exponente.
Cuando el m.c.d. de dos o más números es 1, dichos números
se llaman primos entre sí.
Sea, por ejemplo, el cálculo del máximo común divisor de 24,
36, y 90; tras realizar la descomposición en factores primos de
los tres números se tiene que:
24 = 23 x 3
36 = 22 x 32
90 =2 x 32 x5
•
Los factores comunes a todos son el 2 y el 3. Como los
exponentes más pequeños son, en ambos casos, el 1 (que
se omite al escribir), el m.c.d. será igual a 2 x 3 = 6,
escrito también
m.c.d (24, 36, 90) = 6.
•
El menor múltiplo común o mínimo común múltiplo
(abreviado, m.c.m.) de varios números se define como el
menor de los números que son múltiplos de todos ellos.
•
Para hallarlo, primero se descomponen los números en
sus factores primos, y se calcula luego el producto de los
factores comunes y no comunes elevados al mayor
exponente con el hayan aparecido.
Asì, para los mismos números del ejemplo anterior, se tiene que los factores
comunes y no comunes son 2, 3, y 5. Los mayores exponentes de cada uno de
los factores son 23 , 32 , 5. Por tanto:
m.c.m (24,36,90) = 23 x 32 x5 = 360