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Tema 3
DIVISIBILIDADAD
PROGRAMACIÓN DE LA UNIDAD
OBJETIVOS
Identificar relaciones de divisibilidad entre números naturales y conocer los números primos.
Conocer los criterios de divisibilidad y aplicarlos en la descomposición de un número en factores
primos.
Conocer los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o más números
y dominar estrategias para su obtención.
Aplicar los conocimientos relativos a la divisibilidad para resolver problemas.
CRITERIOS DE EVALUACION
Reconoce si un número es múltiplo o divisor de otro.
Obtiene los divisores de un número.
Inicia la serie de múltiplos de un número.
Identifica los números primos menores que 50 y justifica por qué lo son.
Identifica mentalmente, en un conjunto de números, los múltiplos de 2, 3, 5 y 10.
Descompone números en factores primos.
Obtiene el M.C.D. y el m.c.m. de dos o más números mediante su descomposición en factores
primos.
Obtiene mentalmente el M.C.D. o el m.c.m. de dos números en casos muy sencillos.
Resuelve problemas en los que se requiere aplicar los conceptos de múltiplo y de divisor.
Resuelve problemas en los que se requiere aplicar el concepto de máximo común divisor.
Resuelve problemas en los que se requiere aplicar el concepto de mínimo común múltiplo.
CONCEPTOS
• La relación de divisibilidad.
• Múltiplos y divisores:
Los múltiplos de un número.
Los divisores de un número.
• Números primos y compuestos.
• Criterios de divisibilidad por 2, 3, 5 y 10.
• Descomposición factorial de un número.
• Máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números.
• Mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números.
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PROCEDIMIENTOS
• Identificación de números emparentados por la relación de divisibilidad.
• Determinación de la existencia (o de la no existencia) de la relación de divisibilidad entre dos
números dados.
• Comprobación de la relación múltiplo-divisor entre dos números dados.
• Obtención del conjunto de divisores de un número. Emparejamiento de divisores.
• Obtención de la serie ordenada de múltiplos de un número.
• Identificación automática (memorización de los números primos menores que 50).
• Aplicación de los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10, 25, …
• Búsqueda de estrategias para averiguar si un número (menor que 1000) es primo o compuesto.
• Descomposición de un número en factores primos.
• Obtención del M.C.D. siguiendo procesos intuitivos o naturales.
– Cálculo de los divisores de cada número.
– Obtención de los divisores comunes.
– Selección del mayor divisor común.
• Aplicación del algoritmo óptimo para el cálculo del M.C.D. de dos números.
• Obtención del m.c.m. siguiendo el proceso natural.
– Explicitación de la serie ordenada de los múltiplos de cada número.
– Obtención de los divisores comunes.
– Selección del menor múltiplo común.
• Aplicación del algoritmo óptimo para el cálculo del m.c.m. de dos números.
• Resolución de problemas de divisibilidad
– Problemas de múltiplos y divisores.
– Problemas de M.C.D. y de m.c.m.
ACTITUDES
• Interés por la exposición clara de informaciones y cálculos numéricos así como por los recursos
que lo facilitan.
• Interés por la investigación de las propiedades y relaciones numéricas.
• Interés por la comprensión de los procesos de cálculo
• Interés por la elaboración de estrategias personales de cálculo mental y escrito.
• Tenacidad y constancia en la resolución de problemas.
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DESARROLLO DE LA UNIDAD
División entera.- Es aquella en la que el resto no es CERO. Con 14 chicos no se puede
hacer un número exacto de equipos de a 6, sobran 2.
División exacta.- Es aquella en la que el resto es CERO. Con 12 chicos se puede hacer un
número exacto de equipos de a 6. Salen dos equipos y no sobra nadie.
1. Relación de divisibilidad.Entre dos números existe relación de divisibilidad si al dividir el mayor entre el menor, el
resto es cero
(Analizar en voz alta la pág. 60)
Hacer los ejercicios de la página 60.
2. Múltiplos y divisores.Cuando entre dos números existe la relación de divisibilidad, decimos que el mayor es
múltiplo del menor y el menor es divisor del mayor.
Ejercicios de la página 61.
3. El conjunto de los múltiplos de un número.El conjunto de los múltiplos de un número se halla multiplicando el número por la serie de
los números naturales.
Ejemplo:
Múltiplos de a:  a*1, a*2, a*3, a*4, a*5. Etc.
Ejercicios de la pág. 62.
4. El conjunto de los divisores de un número.El conjunto de los divisores de un número se halla dividiendo el número por la serie de los
números naturales menores que él y por él mismo.
Ejemplo:
Divisores de 20:  20:1, 20:2, 20:3, 20:4, 20:5, 20:6, 20:7, 20:8, 20:9, 20:10, Etc.
Serán divisores de 20 aquellos en que la división sea exacta: 1, 2, 4, 5, 10 y 20
Nota.- El CERO es múltiplo de todos los números y no es divisor de ninguno.
Ejercicios de la pág. 63.
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5. Propiedades de los múltiplos y divisores.La suma de los múltiplos de un número es múltiplo de ese número.
Ejemplo: 8 es múltiplo de 4 y 12 también es múltiplo de 4. La suma de 8 y 12, que es 20,
también es múltiplo de 4.
LA SUMA DE DOS MÚLTIPLOS DE a ES OTRO MÚLTIPLO DE a
Si a es múltiplo de un número b y b es múltiplo de otro núm. c, entonces a es múltiplo de c
Si c es divisor de un número b y b es divisor de otro número a, entonces c es divisor de a
6. Números primos y números compuestos.
Un número es compuesto si se puede descomponer en factores primos.
Un número es compuesto si además de él mismo y la unidad tiene otros divisores.
Ejemplo.- El número 8 es compuesto, pues además de ser divisible por 8 y por 1, también
los es por 2 y por 4.
Un número es primo si no se puede descomponer en factores primos.
Un número es primo si solo da división exacta al dividirlo por él mismo y por 1.
Ejemplo.- El 13 es primo porque solo da división exacta al dividirlo entre 13 ó entre 1.
Ejercicios pág. 64.
7. Criterios de divisibilidad.a) Divisibilidad por DOS.- Se multiplica el dos por la serie de números naturales.
Un número es divisible por 2 si es par. (acaba en 0, 2, 4, 6 u 8)
b) Divisibilidad por TRES.- Se multiplica el dos por la serie de números naturales Y se
observa que al sumar sus cifras siempre da múltiplo de TRES.
Un número es divisible por 3 si al sumar sus cifras, da múltiplo de 3.
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30
3 x 11 = 33
;
;
;
;
;
;
1 + 2 = 3; Todo número es múltiplo de sí mismo.
1 + 5 = 6;
1 + 8 = 9;
2 + 7 = 9;
3 + 0 = 3;
3 + 3 = 6;
etc.
c) Divisibilidad por CINCO.- Se multiplica el cinco por la serie de números naturales.
Un número es divisible por 5 si acaba en 0, ó en 5.
Ejercicios pág. 65.
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d) ¿Cómo se averigua si un número es múltiplo de otro?- Si al dividir el mayor entre el
menor da división exacta.
8. Descomposición de un número en sus factores primos.a) Se divide por los factores primos en orden creciente: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.,
hasta que nos resulte un cociente igual o menor que el divisor. Si llegamos a un
cociente igual o menor que el divisor y no nos ha dada división exacta, podemos
decir que el número es primo.
Ejercicios pág. 66.
9. Múltiplos y divisores de números descompuestos en factores primos.
a) Los múltiplos de un número contienen todos los factores primos de ese número
Ejemplo: Si 40x5=200; 200 contiene a todos los factores primos del 40 (2x2x2x5)
b) Los divisores de un número contienen algunos de los factores primos de ese número
Ejemplo: Si 40:5=8; 8 contiene a algunos de los factores primos del 40 (2x2x2)
Ejercicios pág. 67.
10. Múltiplos comunes a varios números. Concepto de m.c.m.
11. Cálculo del m.c.m.a) Se descomponen los números en sus factores primos.
b) Se escribe la factorización de cada número en forma de producto de factores primos.
c) Se eligen los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente y el
producto de ellos es el m.c.m.
Ejercicios pág. 68.
Ejercicios pág. 69.
12. Divisores comunes a varios números. Concepto de M.C.D.
13. Cálculo del M.C.D.a) Se descomponen los números en sus factores primos.
b) Se escribe la factorización de cada número en forma de producto de factores primos.
c) Se eligen los factores comunes elevados al menor exponente y el producto de ellos
es el M.C.D.
Ejercicios pág. 70.
Ejercicios pág. 71.
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APUNTES DADOS EL 12-11-02
1. Dos números guardan la relación de divisibilidad si al dividir uno entre otro
el resto es cero.
a) Si a es múltiplo de b; b es divisor de a
2. Cálculo de los múltiplos de un número.- Los múltiplos de un número se hallan
multiplicando dicho número por la serie de números naturales.
Ejemplo: 5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, … }
a) El cero es múltiplo de todos los números, pero no es divisor de
ninguno.
b) Todo número es múltiplo de sí mismo.
3. Cálculo de los divisores de un número.- Para hallar los divisores de un
número se va dividiendo dicho número por la serie de números naturales,
empezando por el uno.
Ejemplo: div (20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }
Como 4x5= 20; consiste en buscar la pareja del 2, que es el 10
(2x10=20) y del 1, que es 20 (1x20=20).
a) El uno divide a todos los números, pero no es múltiplo de ninguno.
b) Todo número es divisor de sí mismo.
4. Concepto de número primo.- Un número es primo si solo es divisible por él
mismo y por la unidad
Ejemplo: Div (5) = { 1, 5 }
Div (7) = { 1, 7 }
Div (11) = { 1, 11 }
Div (13) = { 1, 13 } etc.
a) Criba de Eratóstenes.- Construir la tabla de números primos
menores que 50. ¡Que se la aprendan de memoria!
5. Concepto de número compuesto.- Número compuesto es aquel que tiene más
divisores que él mismo y la unidad.
Ejemplo: Div (4) = { 1, 2, 4 }
Div (6) = { 1, 2, 3, 6 }
Div (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
Div (14) = { 1, 2, 7, 14 } etc.
6. Criterios de divisibilidad.a) Por dos.- Un número es divisible por dos si es par.
b) Por tres.- Un número es divisible por tres si al sumar sus cifras da
múltiplo de tres.
c) Por cuatro.- Un número es múltiplo de cuatro si lo son sus dos
últimas cifras.
d) Por cinco.- Un número es divisible por cinco si acaba en 0 ó en 5.
e) Por seis .- Un número es múltiplo de seis si lo es, a la vez, de 2 y de 3
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